山东省实验中学2026-2027学年第一学期高三开学调研测验数学试题

数学试题答案 2026.08 1-5 CACBD 6-8ABB 9.ABD 10.BC 11.ACD 12.-28 13.2 14.27 15.1)在aABC中，AB=3,BC=25,cosB=5 3 由余弦定理可知AC2=AB+BC2-2,AB-BCc0sB=9+12-2x3x25×5=9, 3 放AC=3..2分 再由余弦定理得c0sA=4B+4C2-BC2_9+9-12_61 2·AB·AC 2×3×31831 4分 (2)以A为坐标原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 则40,0，B3,0),由AC=3,cosA=3得C0,22). D在BA延长线上，设AD=1>0,则D(-t,O), B BC=(-2,2W2),由DE11BC,设DE=(-2,2N2),则E(-1-22,2W2) 由4E14C,得征-4C=0,故(1-2x1+(25小x25=0→-1+61=0今元=67分 是6=4网-名25- 3 已知DB=6,则51=6→1=32，则=2 3 .10分 代入得E(42,2,而C0,22), 故CE=V0+42}2+(22-22=V(33+82)+(12-8V2)=√45=3513分 16.(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，PAI平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, AP⊥AB,AP⊥AD, APC平面PAD,ADC平面PAD,AP∩AD=A, AB1平面PAD，3分 ABC平面PAB, 平面PAB⊥平面PAD. 4分 (2)(i)证明：在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BCIIAD, PA=AB=√2，AD=1+V3,建立空间直角坐标系如下图所示， A0,0,0),B(N2,0,0,CV22,0,D0,1+5,0,P00,2) 若P,B,C,D在同一个球面上， 答案第1页/共8页 则OP=OB=OC=OD, 在平面xMy中，A(0,0),B(N2,0,C(2,2,D(0,1+5, 线段CD中点坐标F √2V3+3 2 直线CD的斜率：=1+5-2_-5- 0-22 直线CD的垂直平分线EF斜率：飞= 2-6+V2 V3-12 当y-1时1.62}53，解：-0,0a 在立体几何中，O(0,1,0), ZA oP=V02+P+(0-2)j D 10B=0-2+P+02 解得：lOP=OB=OC=oD=3, 0c=0-2j+0-2y+0 BL KX 0Dl=V02+1-1-3+02 点O在平面ABCD上 10分 (i)法一：AC-(N2,2,0小，P0=(0,1-√2)，设直线4C与直线P0所成角为0， AC.PO ..cos0 0+2×1+0 2 4CP2+2+0x0+P+(2可 314分 直线AC与直线P0所成角的余弦值为V 3 15分 法二：由几何知识得，PO=V3,AB⊥AD,BCIAD,∴AB⊥BC, 在Rt△ABC中，AB=V2,BC=2,由勾股定理得，AC=√AB2+BC =2列+2=6， 过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C,连接AC,PC, 则OC=AC=√6，直线AC与直线PO所成角即为△POC中∠POC或其补角. .12分 PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,PA∩AC=A,·.PA⊥AC, 答案第2页/共8页 在Rt△ABC中，AB=√2，BC=BC+CC=2+1=3,由勾股定理得， AG=VAB+BC=VV2'+32=而， 在Rt△APC中，PA=V2,由勾股定理得， PC=VPP+AC-2+而=3， -->D 在△POC中，由余弦定理得，PC=PO2+OC-2PO.OC cos∠POC, 即(3=(5+(N6'-23x6cos∠PoG 解得：cos∠POC= ..14分 3 直线AC与直线PO所成角的余弦值为：cos∠POC= 2 15分 3 a+b2=10 c22 17.(1)由题可知，A(0,-b),B(a,0),所以{e== a 3 ,解得a2=9,b2=1,c2=8, c2=a2-b2 故椭圆C的标准方程为十；… .4分 9 (2)(①)设R(xo,y0),易知m≠0， 达如出故 6=m,且>0. 因为A(0,-),AR4=3,所以V+(+×Vm2+(n+=3, m+n+1,所以%=+2-m㎡2-r 3m m2+(n+12, 3m 所以点R的坐标为 n+2-m2-n2 m2+n+12’m2+(n+12 9分 法二：设R=,>0,则ARA=3→2m2+(n+1]=3,所以 PP 3 R = m2+a+1,服=天MP=(m,n+1) 3m 3(n+1) m2+(n+12'm2+(n+1 故 点R的坐标为 3m n+2-m2-n m2+(n+1’m2+(n+1 .9分 答案第3页/共8页 n+2-m2-n2 (因为k= m+a+1_n+2-m-,k-分由ka=3kw可得 3m 3m m m2+(n+1)2 3_n+2-m-,化简得m+㎡+8-2=0，即m2++4}=18(m≠0）12分 3m 所以点P在以N(0,4)为圆心，3√2为半径的圆上（除去两个点）， Pg为O到圆心N的距离加上半径， 13分 法一：设(3cos0,sin0),所以N-(3cos0}+(sin0+4}=9cos20+sin20+8sin0+16 =8cos20+1+8sin0+16=801-sin20)+8sin0+17=-8sin20+8sin0+25=-8sin0- +27≤27， 当且仅当sin9=)时取等号，所以P=V27+3W2=3(3+V2) 15分 法二：设Q(eo小.测要+6=1,1QN=6+6+4=9-9%+哈+8%+16=-8y后+8y%+25 =8%-月+27≤27，当且仅当%-时取等号.散P0=27+35=35+列15分 18.(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)1-0.5）=0.686… 3分 (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为=[1-(1-p)°]q, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为L=[1-（Q-q)门]p2,5分 0<p<9, ∴.-D=q3-(g-pq)3-p3+(p-pq)3 =(g-p(g2+p9+p2）+(p-q)[p-p9)2+(g-pq)2+(p-p9)g-p9)] =(p-g)3p2q2-3p2g-3pg2） =3pg(p-q)(pg-p-q)=3pg(p-q)[1-p)1-q)-1]>0, 印>，应该由甲参加第一阶段比赛.9分 (若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， PX=0)=0-p'+[1-0-p]0-g°， P(X=5)=[1-(1-p)]C9-(1-9}. 答案第4页/共8页 PX=10)=[1-0-p)°]Cq20-q), PX=15=[1-0-p)]g2, ∴E(X)=15[1-0-p)2]g=15(p23-3p2+3pg 13分 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E(Y)=15(g3-3g2+3g）p… .15分 ∴.E(X)-E()=15[p9(p+9)(p-q)-3pg(p-q] =15(p-q)pg(p+q-3), 因为0<p<9,则p-9<0,p+g-3<1+1-3<0, 则(p-q)Pg(p+9-3)>0, 应该由甲参加第一阶段比赛.… .17分 19.(1)f(x)=xe+a+b,x∈R,知f0)=-2×0+1=1且f(0)=0e°+a0+b=b,可得b=1: 由f'(x)=(x+)e+a,则切线的斜率为f(0)=1+a=-2,解得a=-3:故a=-3,b=1.…3分 (2)由(1)知，f(x)=xe-3x+1, f(x+m)-f(x)-m=(x+m)e*tm-xe*-3(x+m)+3x-m =(x+m)e*tm-xe*-4m, 故题意可转化为(x+m)e+m-xe-4m>0对任意xeR+恒成立， .4分 法：令g(x)=(x+m)e+m-xe*-4m,x>0, 则g')=(x+m+1etm-(c+1)e=e[(x+m+1)e”-(x+)], 当m>0时，由x+m+1>x+1>0且em>1>0, 则(x+m+1)e"-(x+I)>0,即g'(x)>0, 则g(x)在(0，+o)上单调递增，又g(0)=mem-4m, 要使g(x)>0对任意xeR+恒成立， 则me"-4m≥0，解得m≥2ln2; 当m=0时，f(x+m)-f(x)=0>0不成立： 当m<0时，0<em<1,x+m+1<x+1,且x+1>0, 则(x+m+1)e-(x+)<(x+1)e-(x+)=(x+1(e"-1)<0, 即g(x)<0,则g(x)在(0，+o)上单调递减， 答案第5页/共8页 又当x→+0时，g(x)→-0，不满足题意； 综上所述，m的取值范围为[2h2,十0）.9分 法二： 不等式Gx+mlem-e-4m>0可转化为c+me"-心-4m>0, e 即x+m)e-x>0对任意xeR*恒成立， 当m=0时，f(x+m)-f(x)=0>0不成立； 当m<0时，设h)=(x+m)e-x-。F,x>0, 当x→+0时，由m<0,可知em-1<0, ()=(em 1)x+memo 这与h(x)>O对任意xeR+恒成立矛盾： 当0<m<2n2时，h(0)=me"-4m=m(e"-4)<0, h(2In 2)=h(In 4)=(m+In 4)e"-In4-m>(m+In4).1-In4-m=0, 由h=e-1+4”>0,故在0，o)上单调递增， 故(x)在(0，+o)上存在唯一零点，设为x, 且当0<x<无时，<h)=0,即+me”-e-4m<0, 此时不等式f(x+m)-f(x)>m不成立： 当m≥2n2时，h(=c"-1+4m>0, 则h(x)在(0，+o)上单调递增， 由x>0,故h(x)>h(0)=me"-4m≥0， 不等式x+me”-一x->0，即了c+m-f)>m恒成粒 综上所述，m的取值范围为[2h2,十0）：9分 (3)法一：设F(x)=f(x+k)+f(k-x)-2f(k),x>0, 则F'(x)=f'(x+k)-f'(k-x)=(x+k+1)e+-(k-x+1)e-x =(x+k+1)e++(x-k-1)e-x, (x)=(x+k+l)e+(x-k-1)e**, 答案第6页/共8页 则x'(x)=(x+k+2)e++(2+k-x)e“-x, 其中F(0)=0,F'(0)=0,t'(0)=2k+2)e 当k=-2时，x'(x)=xe-2+(-x)e2-x=xe2(e-e)>0, 则F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F(x)>F'(O)=0, 故F(x)在(0，+o)上单调递增，故F(x)>F(O)=0, 即当x>0时，f(x+k)+f(化-x)>2f(k)恒成立，满足题意：.12分 当k>-2时，设p(k)=(x+k+2)e++(2+k-x)e-x =[e(k+x+2)+e(k-x+2)]e =[(e+e）k+2)+x(e-e]e, 由x>0,k>-2,可知e+e>0且k+2>0, 则(e+e)k+2)+x(e-e）>0,可知p)在(-2，+o)上单调递增， 故pk)>p(-2)=xe-2+(-x)e2-r=xe2(e-e)>0,即t'(x)>0, 故F(x)在(0，+o)上单调递增，故F'(x)>F'(0)=0, 故F(x)在(0，+o)上单调递增，故F(x)>F(O)=0, 即当x>0时，f(x+k)+f(k-x)>2f(k)恒成立，满足题意： …14分 当k<-2时，此时x'(0)=2(k+2)e<0,又F'(0)=0, 则存在正实数x,使得x∈(0，x),F(x)<0, 则F(x)在(O,x)上单调递减，则F(x)<F(O)=0, 即当0<x<,f(x+月+f(k-)<2f),不满足题意；.16分 综上所述，k之-2，即k的最小值为-2..17分 法二：由f(x+k)+f(k-x)>2f(k)可得 (k+x)e-3+x)+1+(k-x)e--3k-x)+1>2(ke-3k+l), 则(k+x)e+(k-x)e-r>2ke,即(k+x)e+(k-x)e>2k, 则k(e+e-2)>x(e-e): 由x>0,可知e+e>2,则e+ex-2>0, 故原不等式可转化为k> xex-e） ete*-2 11分 答案第7页/共8页 xe'-e) (cu 由+e*-2 G-a ei-e e'-1 设G(x)= xe+,x>0, e-1 则G闲=-[+e+e--ee+l_c产-2c-1 (e-月 (e-2 设M(x)=e2x-2xe-1,x>0,令1=e, 则H(0=2-21lnt-1,t>1, 由H'()=2t-21+ln)=2t-1-lnt), 再令Pt)=t-1-lnt,t>1, Pr0=1号>0，放0在+树上单河道#。 故P)>P()=0,则H'(t)>0,故H()在(I,+∞)上单调递增， 所以H()>HI)=0,即M(x)>0,G(x)<0, 故G(x)在(0,0）上单调递减，… .15分 又由洛必达法则可知1imG)=-1mx+1e+1=-2, x-0 故要使当x>0时，k>G(x)恒成立，则k≥-2， 即k的最小值为-2..17分 答案第8页/共8页绝密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2026~2027学年第一学期 高三开学调研测验 数学试题 2026.08 (本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设一组样本数据x1,2,.,xm的方差为0.01，则数据10x1,10x2,,10xn的方差为( A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 2.已知平面向量ā，万满足=1，d-2=2且(6-2a)1B,则=() A.6 B.3 2 c. D.Z 3.已知某棱台的上、下底面均是有一个内角等于60°的菱形，上、下底面边长分别为2和3，体积为 1 2,则该棱台的高为() A.25 B.2 C.3 D.1 4.把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不 同组，丙、丁同组，则分组方案共有() A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 5.抛物线E:y2-2x(p>O)的焦点为F,过抛物线E上的一点A作准线的垂线，垂足为B,若直线BF 的方程为y=-x+1,则AF=( A.5 B.4 C.3 D.2 6.已知圆x2+(y-3)2=2(">0)上到直线V3x+y+3=0的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是 ( 数学试题第1页共4页 A.(2,4) B.(2,4] C.[2,4] D.(4,+oo） 7.设函数f(x)=sin(x-p)(0>p>-2π)，若将y=f(x)的图象沿x轴的负方向平移30个单位长度， 所得图象与y=f(x)的图象关于x轴对称，则满足条件的P的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 8.设U={《:,名2，)x∈{-2，-11,2，i=1,2,3}为空间中64个点构成的集合点P1,山，)，记样本空间 2=C{P.从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对2中的每个点A(x,x,),令 X()=x+x2+x,则X的数学期望值为( A B C.0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知i为虚数单位，复数z=i-√5，则下列说法不正确的是() A.z的共轭复数z=i+万 B.z的虚部为i C.=2 D.z2=4-2√3i 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=(x2-3)e*,则() A.f(-I)=-2e B.f(x)的零点个数为3 C.f(x)的极值点个数为2 D.若方程f(x)=t有三个实数根，则1的取值范围是(-2e,-3)U(3,2e) 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，E,F分别为棱BB,C℃的中点，G是棱B,C上的 D 一个动点，M为侧面BB,CC上的动点，则下列说法正确的是( G B A.点G到平面AEF的距离为定值 B.若DM⊥MC,则BM的最小值为2 C.若AG=xAA+yAE+zAD,且x+y+z=1,则点G到直线AF的距离 为f7 3 D,直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为 「5o 15’10 第川卷（非选择题，共92分） 数学试题第2页共4页 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.(（-}水cx+的展开式中5的系数为 （用数字作答). B,设双曲线C:兰-@>0.b>0的左右焦点分别为尽、E,过乃作平行于y轴的直线交C于A,9 两点，若1F4=13,AB=10,则C的离心率为 14.已知集合A={xx=2n-l,n∈N},B={xx=2”,n∈N}.将AUB的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列an}.记Sn为数列{an}的前n项和，则使得S,>12a成立的n的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知在△ABC中，AB=3,BC=2N5,cosB= 3 (1)求cosA: (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DEBC,AE⊥AC,若DE=V6,求CE. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD; (②)设PA=AB=V2,BC=2,AD=1+V5,且点P,B,C,D均在球O的球 面上 (i)证明：点O在平面ABCD内； (i)求直线AC与PO所成角的余弦值. 1以.已肉满国C号+长=a>60的腐心事为之华，下顶点为水右顶有为A|上而. 3 (1)求C的方程： (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足APAR=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）： (i)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQI的最大值 数学试题第3页共4页 18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中 一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分：若至少投中一次，则该队进入 第二阶段第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩 为第二阶段的得分总和，某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为P,乙每次投中的概率 为9，各次投中与否相互独立。 (1)若p=0.4,9=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<9, ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19.已知函数f(x)=x+r+b,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-2x+1. (1)求a,b; (2)当x>0时，f(x+m)-f(x)>m,求m的取值范围； (3)当x>0时，f(k+x)+f(k-x)>2∫(k),求k的最小值. 数学试题第4页共4页