学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江苏扬州专用，范围：新教材苏科版八年级上册第1～2章）

**基本信息** 聚焦苏科版八年级上册第1~2章，以三角形与实数为核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合赵爽弦图文化传承与钢架加固实际应用，检测几何直观、推理意识及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三角形构成、等腰三角形、平方根|尺规作图依据考查体现推理意识| |填空题|10/30|算术平方根、角平分线性质、格点三角形|第12题网格角度计算凸显几何直观| |解答题|10/96|全等证明、动点探究、折叠问题|26题动点等边三角形分类讨论关联中考几何综合趋势，27题“一线三等角”模型强化模型意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列长度的条线段，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（    ） A． B． C．或 D．9 4．已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 6．如图，中，平分平分，过点D作直线平行于，分别交于点，若已知的周长为（    ） A．13 B．12 C．15 D．20 7．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．7根 B．8根 C．9根 D．无数根 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9．16的算术平方根是___________． 10．若＝2，则x＝___． 11．等腰三角形的一个角是，则它的一个底角的度数是___________． 12．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      13．如果，那么_________． 14．若，，是的三边，化简：______． 15．如图，在△ABC中，AB=AC=9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC=6cm，则△BCE的周长是__________ cm． 16．如图，在中，平分，，垂足为．若的面积为12．，则的长为______．    17．如图，已知点，在上，点在上，且，若，则的度数是_____． 18．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，若当的最小值为时，以的长为___________． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 19．（本题8分）计算： (1) (2) 20．（本题8分）求下列x的值 (1) (2) 21．（本题8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 22．（本题8分）如图，已知，求作一点，使到的两边的距离相等，且． 要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法） 23．（本题10分）如图，，，，，求的度数． 24．（本题10分）如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，求的值． 25．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 26．（本题10分）如图，等边的边长为，现有两动点分别从点同时出发，点沿折线向终点运动，点沿折线向终点运动，已知点的速度为，点的速度为，当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．    (1)当两点重合时，求出此时的值； (2)当点均在边上运动时，连接，能否得到以为底边的等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)在点的运动过程中，当以点及中的某一顶点为顶点构成的三角形是等边三角形时，请直接写出此时t的值． 27．（本题12分）某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 28．（本题12分）如图，长方形纸片中，，，，，． 【操作说明】 如图1，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． （1）试探究重叠部分的形状，并说明理由． （2）求面积的最小值． 【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （3）如图3，在线段上找一点Q，在线段上找一点H，使得为等边三角形． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列长度的条线段，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（    ） A． B． C．或 D．9 4．已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 6．如图，中，平分平分，过点D作直线平行于，分别交于点，若已知的周长为（    ） A．13 B．12 C．15 D．20 7．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．7根 B．8根 C．9根 D．无数根 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9．16的算术平方根是___________． 10．若＝2，则x＝___． 11．等腰三角形的一个角是，则它的一个底角的度数是___________． 12．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      13．如果，那么_________． 14．若，，是的三边，化简：______． 15．如图，在△ABC中，AB=AC=9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC=6cm，则△BCE的周长是__________ cm． 16．如图，在中，平分，，垂足为．若的面积为12．，则的长为______．    17．如图，已知点，在上，点在上，且，若，则的度数是_____． 18．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，若当的最小值为时，以的长为___________． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 19．（本题8分）计算： (1) (2) 20．（本题8分）求下列x的值 (1) (2) 21．（本题8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 22．（本题8分）如图，已知，求作一点，使到的两边的距离相等，且． 要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法） 23．（本题10分）如图，，，，，求的度数． 24．（本题10分）如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，求的值． 25．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 26．（本题10分）如图，等边的边长为，现有两动点分别从点同时出发，点沿折线向终点运动，点沿折线向终点运动，已知点的速度为，点的速度为，当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．    (1)当两点重合时，求出此时的值； (2)当点均在边上运动时，连接，能否得到以为底边的等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)在点的运动过程中，当以点及中的某一顶点为顶点构成的三角形是等边三角形时，请直接写出此时t的值． 27．（本题12分）某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 28．（本题12分）如图，长方形纸片中，，，，，． 【操作说明】 如图1，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． （1）试探究重叠部分的形状，并说明理由． （2）求面积的最小值． 【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （3）如图3，在线段上找一点Q，在线段上找一点H，使得为等边三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： ◆ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 10. 11 12 13. 14. 15. 16. 17. 18. (本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题8分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (①) (2) 21.(8分) 22.(8分) C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 1)】 2) (3) 26.(10分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) (1) 图2 (2) B 图3 (3) C O B 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) (1) D BG 0 BG C E A F A 图1 图2 (2) (3) D G M E F 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列长度的条线段，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形； B、∵，∴，，能组成三角形； C、∵，∴，，不能组成三角形； D、∵，∴，，不能组成三角形． 故选：B． 2．在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可利用含角的直角三角形的性质求解，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可知. 【详解】解：如下图所示， 在中，，，， ． 故选：D． 3．等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（    ） A． B． C．或 D．9 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据两个非负数的和为零，从而可求得a与b的值，从而可求得等腰三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴等腰三角形的两腰长不可能是3， ∴等腰三角形的两腰长为6，底边长为3， 从而其周长为， 故选：B． 4．已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 【详解】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 6．如图，中，平分平分，过点D作直线平行于，分别交于点，若已知的周长为（    ） A．13 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】根据平行线性质和角平分线定义得出∠EDB＝∠EBD，推出BE＝ED，同理DF＝CF，求出△AEF的周长＝AB＋AC，代入求出即可． 【详解】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴△AEF的周长是AE＋EF＋AF ＝AE＋ED＋DF＋AF ＝AE＋BE＋CF＋AF ＝AB＋AC ＝5＋7 ＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线定义，关键是推出AE＋EF＋AF＝AB＋AC． 7．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可． 【详解】解：如图所示：与全等的三角形有、、、、、、，共7个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 8．如图是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．7根 B．8根 C．9根 D．无数根 【答案】B 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°， ∴∠GEF=∠FGE=20°， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°就不存在了． 所以一共有8个． 故选择：B． 【点睛】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9．16的算术平方根是___________． 【答案】4 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10．若＝2，则x＝___． 【答案】8 【分析】根据立方根的性值计算即可； 【详解】∵＝2， ∴； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键． 11．等腰三角形的一个角是，则它的一个底角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键． 分角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：若底角为，则它的一个底角的度数是； 若顶角为，则它的一个底角的度数是； 综上所述，它的一个底角的度数是或． 故答案为：或 12．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 13．如果，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据，可得出 ，进而即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若，，是的三边，化简：______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系可得、，再化简绝对值即可解答． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：、， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AB=AC=9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC=6cm，则△BCE的周长是__________ cm． 【答案】15 【详解】∵DE⊥AB，且平分AB， ∴EA=EB，EB+EC=AC； ∴△BCE的周长=AC+BC=9+6=15； 故答案为15. 16．如图，在中，平分，，垂足为．若的面积为12．，则的长为______．    【答案】4 【分析】过点D作，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为F，   的面积为12，， ， ， 平分，，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．如图，已知点，在上，点在上，且，若，则的度数是_____． 【答案】/72度 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟记三角形角度有关性质是解决问题的关键．设，先由等腰三角形性质、外角性质得到，进而求出，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， 解得， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 18．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，若当的最小值为时，以的长为___________． 【答案】a 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 过点C作，使，连接，证明，可得，当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长， 又的最小值为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：a 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 19．（本题8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算； （1）根据算术平方根，进行计算即可求解； （2）先化简绝对值，然后根据实数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．（本题8分）求下列x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4，接着把方程两边同时开平方，即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，进而解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（本题8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、立方根的定义．根据平方根、立方根的定义即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2， ，， 解得：，， ∴， 的平方根是． 22．（本题8分）如图，已知，求作一点，使到的两边的距离相等，且． 要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法） 【答案】 如图： 【分析】分别作出的平分线，线段的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】画出的平分线，画出线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求 【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，熟练掌握角平分线，线段垂直平分线的画法是解题关键． 23．（本题10分）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． 首先求证，进而得到，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，即． 24．（本题10分）如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，推出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 的中垂线交于点， ， 在与中， ， ， ，， ， ． 25．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【详解】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 26．（本题10分）如图，等边的边长为，现有两动点分别从点同时出发，点沿折线向终点运动，点沿折线向终点运动，已知点的速度为，点的速度为，当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．    (1)当两点重合时，求出此时的值； (2)当点均在边上运动时，连接，能否得到以为底边的等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)在点的运动过程中，当以点及中的某一顶点为顶点构成的三角形是等边三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)能，当时，是以为底的等腰三角形 (3)为秒或秒时，是等边三角形 【分析】（1）设点运动秒后，两点重合，表示出的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （2）证出，由全等三角形的性质可得，则，列出方程，求出的值即可； （3）分两种情况：①设点运动秒后，是等边三角形；②设点运动秒后，是等边三角形；分别列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是的边长为等边三角形，点的速度为，点的速度为， ∴， ∴点从的运动时间为，点从的运动时间为， ∵当有一点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴运动时间的取值范围为：， 根据题意，点运动的路程为：，点运动的路程为， ∵点从点移动，点从点移动，若两点重合， ∴，解得，， ∴点运动秒时重合． （2）解：能，当时，是以为底的等腰三角形，理由如下， 根据题意作图如下，    ∴，， 若是以为底的等腰三角形，则， ∴，则， 又∵，且 ∴， ∴， ∴，解得，， ∴当点运动秒时，此时， ∴， ∴当时，是以为底的等腰三角形． （3）解：①设点运动秒后，如图1，    则， 当时，是等边三角形，即，解得，， ∴当点运动秒时，是等边三角形； ②设点运动秒后，如图2，    则， 当时，是等边三角形，即，解得，， ∴当点运动秒时，是等边三角形； 综上所述，为秒或秒时，是等边三角形． 【点睛】此题是三角形的综合问题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（本题12分）某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 【答案】(1) 证明：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (2) 解：，证明如下： 由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，最后进等量代换即可证明； （2）根据（1）的证明思路即可解答； （3）过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F，由（1）可得可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18且的长为9， ∴，即，解得：， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 28．（本题12分）如图，长方形纸片中，，，，，． 【操作说明】 如图1，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． （1）试探究重叠部分的形状，并说明理由． （2）求面积的最小值． 【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （3）如图3，在线段上找一点Q，在线段上找一点H，使得为等边三角形． 【答案】 （1）解：为等腰三角形，理由： 长方形纸片沿线段折叠， ， ∵， ， ， 为等腰三角形． （2）； （3）点与点即为所求： 【分析】本题主要考查了尺规作垂线、长方形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）利用长方形对边平行的性质，结合折叠前后角相等，通过等量代换得出两角相等，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出边长最小时面积最小，进而计算； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，过作于点，交于点，交于点，连接，则为等边三角形． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得， 的面积， 当最小，即最小值时，的面积取得最小值， 当时， 取得最小值，为， ∴的面积最小值为． （3）理由如下： 由折叠及作图，可得，， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分) y 2 6 7 8 B D B B C B 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9.4 10.5 11.70°或55°12.135 13.15.39 14.2a-2c 15.15 16.4 17.72° 18.a 三、解答题（本题共10小题，共96分，） 19. 【详解】(1)解：/16--2+-8 =4-4-2(2分) =-2;(4分) (2)解：32-2-3 =3/2-3-V26分) =3/2-3+V2 =4V2-3(8分) 20.【详解】(1)解：4x2-16=0, 4X=161分) x=4 (2分) x=±2：(4分) (2)解：“x+13+27=0 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 六x+1P=-27(6分) .x+1=-3,(7分) .x=-4.(8分) 21.【详解】解：.2a-1的算术平方根是3,3a+b-9的立方根是2， ∴.2a-1=9,3a+b-9=8,(2分) 解得：a=5,b=2,(4分) :.2a+3b=2×5+2×3=16,(6分) ∴.2a+3b的平方根是±4.(8分) 22.【答案】 如图： G D 【分析】分别作出∠A的平分线，线段AB的垂直平分线，其交点即为所求.(4分+4分) 【详解】画出∠A的平分线AD,画出线段AB的垂直平分线GH,交于点P,则点P即为所求 23.【详解】解：.AB=AC,DB=EC,AD=AE, ∴.△AEC≌ADB SSS,(6分)(8分) .∴.∠EAC=∠DAB,(8分) 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠EAC-BAC=∠DAB-BAC,即∠1=∠2=20°.(10分) 24.【详解】解：.AB=AC=9, .∠B=∠C,(1分) .'∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, ∴.∠BAD=∠CDE,(2分) .'AE的中垂线交BC于点D, .AD=ED,(4分) 在△ABD与△DCE中， ∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=DE ∴.△ABD≌△DCE(AAS),(8分) ∴.CD=AB=9,BD=CE, CD=3BD, ∴.CE=BD=3.(10分) 25. 【详1a)解：对于1 1-是 2525 5 (1分) 对干1-品 1-点- 64648 (3分) 2解：1-x1-×1-6x×1 99 2500 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 49 34 50 (4分) 50 (6分) (3)解：对被开方数通分并化简： 1 2n+1 n+1 n+12-2n+1 n+12 n2+2n+1-2n-1(8分) n+1 n n+12 n n+1 n为正整数 n =n, 即1 2n+1= n. (10分) n+1n+1 (n+12 n+1 26.【详解】(1)解：，△ABC是的边长为7cm等边三角形，点M的速度为1cms,点N的速度为 2.5cm/s, ∴.AB=BC=AC=7cm, ∴点M从A→C→B的运动时间为7+7÷1=14(s),点N从B→A→C→B的运动时间为 7+7+7÷2.5=8.4s(1分) :当有一点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴.运动时间的取值范围为：0≤t≤8.5， 根据题意，点M运动的路程为：t,点N运动的路程为2.5t, 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,点M从点A移动，点N从点B移动，若M、N两点重合， t+7=2.5t,解得，t=14 1 (2分) .点M、N运动 4秒时重合.(3分) (2)解：能，当t=8s时，△AMN是以MN为底的等腰三角形，理由如下， 根据题意作图如下， ∴.CM=t-7cm,BN=21-2.5t,(4分) 若△AMN是以MN为底的等腰三角形，则AM=AN, ∴.∠AMN=∠ANM,则∠AMC=∠ANB, 又：∠C=∠B,且AC=AB ∴.△AMC≌△ANB AAS,(5分) ..CM=BN. ∴t-7=21-2.5t,解得，t=8s, ∴.当点M、N运动8秒时，此时CM=BN=8-7=1cm, MN=BC-CM-BN=7-1-1=5cm, ∴.当t=8s时，△AMN是以MN为底的等腰三角形.(6分) (3)解：①设点M、N运动t秒后，如图1， 图1 AM=tcm,AN=7-2.5tcm, 当AM=AN时，△AMN是等边三角形，即t=7-2.5t,解得，t=2s, ∴.当点M、N运动2s秒时，△AMN是等边三角形：(8分) ②设点M、N运动t秒后，如图2， 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 图2 AM=tcm,CN=2.5t-14cm), 当CM=CN时，△CMN是等边三角形，即7-t=2.5t-14,解得，t=6s, ∴当点M、N运动6秒时，△CMN是等边三角形： 综上所述，t为2秒或6秒时，△AMN是等边三角形.(10分) 27.【答案】(1) 证明：由题意可得AE⊥EF,BF⊥EF, ∴.∠AEF=∠BFE=90°， ∴.∠EAC+∠ECA=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠BCF+∠ECA=90°， .∠BCF=∠EAC, 在△AEC和△CFB中， ∠AEC=∠BFC=90° ∠EAC=∠BCF AC=BC ,△AEC≌△CFBAAS,(3分) ∴AE=CF,CE=BF ∴EF=CE+CF=AE+BF.(4分) (2) 解：EF=BF-AE,证明如下： 由题意可得AE⊥EF,BF⊥EF, ∴.∠AEF=∠BFE=90°， ∴∠EAC+∠ECA=90°， ∠ACB=90°， ∴.∠BCF+∠ECA=90°， .∠BCF=∠EAC, 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△AEC和△CFB中， ∠AEC=∠BFC=90° ∠EAC=∠BCF (6分) AC=BC ∴△AEC≌△CFBAAS, .'.AE=CF,CE=BF, EF=CE-CF=BF-AE.(8分) (3)解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于点B,过点A作AE⊥CD于点F, D 由(1)可得△BFC≌△CEA AAS, ∴AE=CF,CE=BF, :∠ADC=45°，AF⊥CD, ,△AED是等腰直角三角形， ..AE=DE, :△ACD面积为18且CD的长为9， CDAE=18,时×9AE=18,解得：A5=4,0分) .'AE=DE=4, ,CD的长为9， ..BF=CE=CD-DE=9-4=5. 5aW0=CD-BF= (12分) 28.【答案】 (1)解：△ABC为等腰三角形，理由： .长方形纸片DEFG沿线段AB折叠， .∴.∠BAC=∠BAF,(1分) :DG‖EF, ∴.∠BAF=∠ABC,(2分) 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∴.∠BAC=∠ABC, ∴.△ABC为等腰三角形.(4分) (2)8cm2;由(1)得BC=AC, .'△ABC的面积= BC×DE=1×4BC=2AC, 2 .当BC最小，即AC最小值时，△ABC的面积取得最小值，(6分) ∴.当AC⊥DG时，AC取得最小值，为AC=DE=4cm, :△ABC的面积最小值为号×4×4=8到cm.(8分) (3)理由如下： 由折叠及作图，可得PD=PE,PE=ED, ∴PE=PD=DE, ∴△DEP是等边三角形： ∴.∠DEP=∠DPE=60°， QH⊥EP,四边形DEFG是长方形， .∠EPQ=∠EDQ=90°， EQ=EQ :.Rt△DEQ≌Rt△PEQ(HL),(10分) &∠DEQ=∠QEP3<DEP=30, ∴.∠EQD=∠EQP=90°-30°=60°， ∴.∠GQH=180°-∠EQD-∠EQP=60°， DG‖EF, ∴∠QHE=∠GQH=60°=∠EQH, ∴.△QEH是等边三角形.(12分) 点Q与点H即为所求： G 、H 818 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 9．_______________ 10．_________________ 11．___________________ 12．___________________ 13．______________ 14．_________________ 15．___________________ 16．___________________ 17．__________________ 18．__________________ （本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分） （1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） (1) (2) 21.（8分） 22. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） (1)______________，______________ (2) (3) 26.（10分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（12分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $