四川省大数据智学领航联盟2026-2027学年高三上学期入学定时模拟训练数学试题

绝密★启用前 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，能被4整除”的否定是 A．，不能被4整除 B．，能被4整除 C．，不能被4整除 D．，不能被4整除 2． A． B． C． D． 3．已知为纯虚数，且的实部为，则 A． B． C． D． 4．函数的图象在处的切线方程为 A． B． C． D． 5．已知，，，则 A． B． C． D． 6．若为等差数列的前项和，且，，则的最小值为 A． B． C． D． 7．若对任意，，恒成立，则有 A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的两个焦点分别为，，则 A． B．，在轴上 C．的离心率为2 D．直线与没有公共点 10．已知集合，则 A．满足的有8个 B．集合中有5个元素 C．当时， D．“”是“”的必要不充分条件 11．已知函数，定义域为，则 A．在区间上单调递减 B．的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C．在区间上的最大值为 D．方程在区间上恰有两个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆，直线，若与相切，则________． 13．已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，若周长的最大值为18，则________． 14．在正方体中，，的中点分别为，，且该正方体所有顶点都在球的表面上，若点到平面的距离为2，则球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线经过点． （1）求的方程； （2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 16．（15分）具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新知生产力发展的重要驱动力．已知2018～2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）． 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 机器人市场规模 0.89 1.23 1.70 2.36 2.90 3.30 3.83 4.50 自动驾驶市场规模 2.03 2.07 2.35 3.08 3.65 4.18 4.80 5.23 （1）求2018～2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的60%分位数； （2）从2018～2025年中任取3个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18．（17分）已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的最大值； （3）设，求数列的前项和． 19．（17分）已知函数的定义域为，导函数为，定义集合． （1）若为偶函数，证明：； （2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）； （3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三入学定时模拟训练 数学参考答案 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】ACD（每选对1个得2分） 10．【答案】BCD（每选对1个得2分） 11．【答案】ACD（每选对1个得2分） 12．【答案】0 13．【答案】21 14．【答案】 15．（1）解：因为经过点，所以，（2分） 解得，故的方程为．（5分） （2）证明：由已知及（1）知，， 直线轴，所以，（8分） 设，由，，共线得， 所以，（11分） 所以直线的斜率为，即直线轴．（13分） 16．解：（1）这两组数据都是按照从小到大排列的， 所以2018～2025年中国机器人市场规模的中位数为．（3分） 因为， 所以自动驾驶市场规模的60%分位数是第5个数3.65．（6分） （2）2018～2025年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份有2018年、2019年、2023年、2024年共4个年份，（7分） 所以的可能取值分别为0，1，2，3，（8分） ，， ，，（12分） 所以的分布列为 0 1 2 3 （13分） ．（15分） 17．（1）证明：如图1，取的中点，连接，， 由三棱锥是正三棱锥，可得，， 所以，，（2分） 因为，，平面，所以平面，（3分） 因为平面，所以，（5分） 因为在平行四边形中， 所以．（7分） （2）解：解法一：在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高，以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴建立如图1所示的空间直角坐标系．（8分） 因为是边长为的正三角形，所以，，设， 则，，，，（9分） 所以，，，（10分） 设平面的法向量， 则即 取，得．（11分） 设平面的法向量， 则即 取，得．（12分） 设平面与平面的夹角为， 则．（13分） 解得或．（14分） 所以或．（15分） 解法二：由（1）得， 由已知可得， 如图2，作于，连接，则，（9分） 所以或其补角为平面与平面的夹角，（10分） 设，在中，，， 所以，（11分） 所以，（12分） 因为， 所以．（14分） 解得或．（15分） 18．（1）证明：因为， 所以，（2分） 所以，（4分） 又，（5分） 所以数列是首项为1、公比为2的等比数列．（6分） （2）解：由（1）得，， 所以，（7分） 则，（8分） 所以当时，，，当时，，当时，，， 所以，（11分） 所以数列的最大值为．（12分） （3）解：因为， 所以 ，（14分） 所以 ．（17分） 19．（1）证明：因为定义域为的为偶函数，所以． 两边求导得，所以，（2分） 所以 ．（4分） （2）解：由，，， 得，，，（5分） 是偶函数，且是周期为的周期函数，且时，，（7分） 因为， 所以由函数的单调性及对称性可得的取值范围是，．（9分 （3）解：对任意，，当时，有， 即时，， 所以在任一区间上都不单调递减，（11分） 设，则． 因为，所以， 所以，（12分） 当时，恒有，（13分） 当时，由得，即， 即，（14分） 设，则当时，，不满足题意，（15分） 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，又，（16分） 所以，， 所以的取值范围是（为正奇数）．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $