四川省大数据智学领航联盟2026-2027学年高三上学期入学定时模拟训练数学试题

绝密★启用前 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.命题“3n∈{1,2,3}，n2能被4整除”的否定是 A.3n∈{1,2,3}，n2不能被4整除 B.3n{1,2,3},n2能被4整除 C.Hn∈{1,2,3}，n2不能被4整除 D.Vn使{1,2,3}，n2不能被4整除 .11π.11π 2.sin -tan- 6 3 3 A.2 D.- 3 2 3.已知：为纯虚数，且(2-)(+i)的实部为4，则z C-w5 D.- 5 2 4.函数f(x)=x-x4的图象在x=-1处的切线方程为 A.5x-y+7=0 B.5x-y+3=0 C.3x+y+5=0 D.5x-y=0 2 5.已知a=l血3,6=0.320，c=lgan0.23,则 A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c SC·高三数学第1页（共4页） 6.若Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3+ag>0,S,<0,则Sn的最小值为 A.S4 B.Ss C.S D.S 7.若对任意a,be(0,+m）,a+√3ab≤t 恒成立，则x有 A最大值时 B最大值子 C.最小值号 D最小值写 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b):(a+c):(b+c)=4:5:6,且AD=2DB, 则c防·话 AB? 265 A.294 B.163 294 C.31 294 D、1 294 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知双曲线C号名1的两个熊点分别为5,5，则 A.|FF2|=42 B.F1,F2在y轴上 C.C的离心率为2 D.直线y=√3x与C没有公共点 10.已知集合A={1,-2,3,-4.,则 A.满足BU{-4}=A的B有8个 B.集合{xlx=m-n,m∈A,n∈A}中有5个元素 C.当B={yly=√x-√x-3}时，A∩B={1} D.“m∈{mlA∩{xlm<x<m+1}=○}”是“me[-4,-3]U[1,2]”的必要不充分条件 11.已知函数f(x)=e*sinx,定义域为[0，+oo),则 A)在区间？，到）上单润递减 B.f(x)的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为eπ的等比数列 C/(x)在区间0，+o)上的最大值为号。号 D.方程f(x)=e"在区间[0，+o)上恰有两个解 SC·高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,直线l:mx-y+1-2m=0(m∈R),若l与C相切，则m= 13.已知椭圆C:=1(a>12)及点A(2,0),B(2,3),点P是C上与A,B不共线的动点，若 a+4 a △PAB周长的最大值为18，则a= 14.在正方体ABCD-A,B,C,D1中，AB,AA,的中点分别为E,F,且该正方体所有顶点都在球0的表面 上，若点C到平面OEF的距离为2，则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分)已知抛物线C:y=2px(p>0)经过点P(2,-4) (1)求C的方程； (2)若C的焦点为F,O为坐标原点，直线PF与C交于另一点Q,直线PO与C的准线交于点R, 证明：直线QRLy轴， 16.(15分)具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新知生产力发展的重要驱动 力.已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如 下表（数据经过加工处理） 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 机器人市场规模 0.89 1.23 1.70 2.36 2.90 3.30 3.83 4.50 自动驾驶市场规模 2.03 2.07 2.35 3.08 3.65 4.18 4.80 5.23 (1)求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的60%分位数； (2)从2018~2025年中任取3个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上 的年份个数为X,求X的分布列与期望 SC·高三数学第3页（共4页） 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，三棱锥P-ABD是底面边长为 2√3的正三棱锥， (1)证明：PD⊥DC; (2)若平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为，求PA. D 18.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+1 n+4 n S (山)证明：数列t)是等比数列； (2)若6.=3，求数列{6.}的最大值： (3)设cn=(n+5)Sn,求数列{cn}的前n项和Tn 19.（17分)已知函数f(x)的定义域为R,导函数为f'(x),定义集合Am={xlf'(x)≥f'(m)}. (1)若f(x)为偶函数，证明：CrA-E{xl-xEAm}; .10 (2)若f代x)=(x-2k)°-3(x-2k),x∈[2k-1,2k+I),k∈Z,且3∈A,求m的取值范围（结果用k表示）； (3)若f(x)=a*log.e+log.e+2-ax+2(a>0,且a≠1，n为正奇数），且对任意m1,m2,当m1<m2时， 有Am,CAm,求a的取值范围（结果用n表示）. SC·高三数学第4页（共4页）高三入学定时模拟训练 数学参考答案 1.【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，可知“n∈{1,2,3}，n2能被4整除”的否定是“Vne{1,2,3}, n2不能被4整除”.故选C. 2.【答案】C 【解折1血n号-君哥}4m哥引（引m引-（引-月=号数选c 6 3 3.【答案)B 【解析】设=i(beR,且640，则（2-)()=(2-6i)(6+1)i=66+(26+2)i,所以6+0=}，解得6=子，则 2.故选B. 4【答案】B 【解析】因为fx)=x-x,所以f'(x)=1-4x3,所以f(-1)=-2f'(-1)=5,所以f(x)的图象在x=-1处的切线方 程为y+2=5(x+1),即5x-y+3=0.故选B. 5.【答案】D 解析】a=lh号<h1=0,0<0,32”<0.32°=1，c=1oga20.23>1oga0.32=l,所以a<b<c.故选D 6.【答案】B 【解析】由S,= 9(a,+ag） 2 =9a,<0,得a,<0.又a5+a6=atag>0,所以a6>0.因此公差d=a6-a3>0,数列单调递增， 前n项和S,在n=5时取得最小值.故选B. 7.【答案】A =2,所以y3a3 【解析】因为a+√/3ab≤a+a+36_3a+3b 4+6≤2当且仅当a=36时取等号，由已知得二≥a+y3a 恒 2 x a+b 成立，所以上≥3 反产2,0<≤)故选A 4 8.【答案】D [a+b=8t, 【解析】因为(a+b):(a+c):(b+c)=4:5:6,设a+b=8t,则{a+c=10t,解得a=3t,b=5,c=7t,所以cosC= b+c=12t, SC·高三数学第1页（共7页） 2四-号因为=0-，所应回号希运 2×3t·5t AB2 AB? 492 3 5(-25 21 492 3294故选D. 9.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】双曲线C中a=√2，b=√6，c=22,|F,F=2c=42,故A正确；F,F2在轴上，故B错误；离心率e=C=2, 故C正确；y=√3x是C的渐近线，与C没有公共点，故D正确.故选ACD. 10.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】B={1,-2,3}或B={1,-2,3,-4},有2个，故A错误；该集合中的元紫有0,2,3,5,7，共5个，故B正 左+亏∈(0，]，所以An8=1,故C正：确当A<m+1!=⑦时，m的取值范固 确；因为左-√3=3 是(-o,-5]U[-4,-3]U[-2,0]U[1,2]U[3,+oo),所以“mEimlAn{xlm<x<m+1}=☑}"是“me[-4,-3]U [1,2]”的必要不充分条件，故D正确.故选BCD. 11.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析]求导得f(x)归e(os-血)=ee+),令f()>0,即co(+)>0,解得-+2km<x牙 2km,keZ,又≥0，故0≤x<牙或+2hm<x置+2m,keN,令fP()<0.即eass+牙）<0，解得牙+2m<< 平2m,keN,放八=)在区同0，引(+2km学42)4eN上单调道增，在区间（子+2子+2， keN上单调递减，故A正确；由A知极大值点为x=牙+2nm(ueN),对应的极大值M,=?+2m 。层n-号子。产则安。放B维展侵2eN,商 B知，任2≤侣-只，因此风)在定义镜上的最大值是号。于放C正确：由A知)-如产在区 问0，引上单调选增，在区间[子，羽上单调還减因为0)=m)=0)-。5>。,所以直线y6 与曲线y人)在区间[0，]上恰有两个交点当：e(m,+@)时，兽≤，即)<。，所以方程 e- f(x)=e在区间[0，+o)上恰有两个解，故D正确.故选ACD. SC·高三数学第2页（共7页） 12.【答案】0 【解析】由题意圆心C(2,3),半径r=2,若1与C相切，圆心到直线1的距离4=12m-3+1-2m:一2=2.解 √m2+1 /m2+1 得m=0,此时直线l为y=1. 13.【答案】21 【解析】由C的方程可得C的右焦点为A,点B在C内，设C的左焦点为A',△PAB的周长为|AB|+|PA|+ |PB|=3+|PA+|PB|=3+2√a+4+PB|-|PA'|≤3+2√a+4+|BA'|=8+2√a+4,当P为BA'的延长线与C的 交点时取等号，所以8+2√a+4=18,解得a=21. 14.【答案】144π 【解析】如图，设该正方体的棱长为a,O为对角线BD,的中点，延长F0与CC,交于点L,则L为CC,的中点，取 BC的中点M,则平面OEF就是平面EFLM(取A,D,的中点G,C,D,的中点H,则平面OEF截正方体所得截面 就是正六边形EFGHLM).设ACnBD=N,EMOBD=P,则点C到平面OEF的距离就是点N到平面EFLM的距 离，即点N到直线OP的距离，在直角三角形ONP中，ONP=/2g 4,0ps 4 ,所以点N a√2a 到直线OP的距离为 6。=60=2.所以a=45,所以球0的表面积为4mX 24=E 2 =144π. 4 H D 15.(1)解：因为C经过点P(2,-4),所以(-4)2=2p·2,(2分) 解得p=4,故C的方程为y2=8x.(5分) (2)证明：由已知及(1)知P(2,-4),F(2,0), 直线PF⊥x轴，所以Q(2,4),(8分) 设(-2，w）.由P0,R共线得分号 所以y0=4,(11分) 所以直线QR的斜率为0，即直线QR⊥y轴.(13分) SC·高三数学第3页（共7页） 16.解：(1)这两组数据都是按照从小到大排列的， 所以2018-2025年中国机器人市场规模的中位数为236+290=2.6.(3分) 2 因为60%×8=4.8， 所以自动驾驶市场规模的60%分位数是第5个数3.65.(6分) (2)2018~2025年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份有2018年、2019年、2023年、 2024年共4个年份，（7分) 所以X的可能取值分别为0,1,2,3，(8分) C 1 CC 3 P(X=0)= P(X=1)= C14 C2 1 P(X=2)= CiC 3 P(X=3)= 4,(12分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 (13分) 1 14 14 1 ,3 3 13 E(X)=0x4+1x宁+2x7+3x42(15分) 17.(1)证明：如图1，取AB的中点E,连接DE,PE, 由三棱锥P-ABD是正三棱锥，可得DA=DB,PA=PB, 所以DE⊥AB,PE⊥AB,(2分) 因为DE∩PE=E,DE,PEC平面PDE,所以AB⊥平面PDE,(3分) 因为PDC平面PDE,所以PD⊥AB,(5分) 因为在平行四边形ABCD中AB∥DC, 所以PD⊥DC.(7分) (2)解：解法一：在线段DE上取点O,使得D0=20E,连接OP,则OP为三棱锥P-ABD的高，以0为原点，直线 OE为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴建立如图1所示的空间直角坐标系.(8分) 因为△ABD是边长为2√5的正三角形，所以|0E|=1,IOD=2,设|OP|=h, 则B(1,√3,0)，C(-2,23,0),D(-2,0,0),P(0,0,h),(9分) 所以P8=(1,5,-h),P元=(-2.23，-h),i=(-2,0,-h),(10分) 设平面PBC的法向量m=(1,y1,名)， SC·高三数学第4页（共7页） rm·PB=0,fx+√31-ha,=0, 即 mP元=0.-2x,+231-h,=0, 取=1，得m=15,分)(11分) 设平面PDC的法向量n=(x22,2), n·Pi=0,f-2x2-h2=0, 则 即 .pt=0,l-2x2+23y2-ha,=0, 取=1，得1.0，别 .(12分) 设平面PBC与平面PDC的夹角为O, P n·n 1 则cos0= Imn .(13分) 446 1.4 6 1+ 解得h2=5或14.(14分) 所以|PA|=P⑦1=√4+h2=3或|PA|=3√2.(15分) ↑2 B 图1 解法二：由(1)得PD LDC, 由已知可得△PBC≌△PDC, 如图2，作DF⊥PC于F,连接BF,则BF⊥PC,(9分) 所以∠BFD或其补角为平面PBC与平面PDC的夹角，(10分) 设PA=u,在△PCD中，PD=a,CD=25, 所以PC=√PD2+CD=√a2+12,(11分) 所以BF=DF=PD·CD.23a PC√a2+12 ,(12分) 因为BD=2√5， SC·高三数学第5页（共7页） 24n2 12 所以cos∠BFD-BF+DF-BD22+12 2BF·DF 24a2 哈(u分 a2+12 解得a=3或3√2.(15分) A B 图2 18.(1)证明：因为a1-n+4g n 2n+ 所以Sn1=Sn+a+l= Sn,(2分) n SI 所以(m+1(n+2）2 n(n+1),(4分) 又高号1.5分别 所以数列{一 S 是首项为1，公比为2的等比数列(6分) (2)解：由(1)得n+)1x2=2,8=n(a+1）·2 所以b,=n(n+1) 2-1 31,(7分) 则61-6，=(n+1)(n+2) ()·(8分) 30n(n+1).2 所以当n≤3时，ba+1-bn>0,b1>bn,当n=4时，b,=b4,当n≥5时，b+1-bn<0,b+1<bn 所以b,<b2<b<b4=b5>b6>b,>…,(11分) 160 所以数列6,1的最大值为6，=6，=27(12分) (3)解：因为Sn=n(n+1)2-1, 所以cn=n(n+1)(n+5)2-1=n(n+1)[2(n+2)-(n-1)]2a-1 =(n+1)(n+2)2"-(n-1)n(n+1)2,(14分) 所以Tn=1×2×3×2-0+2×3×4×22-1×2×3×2+…+n(n+1)(n+2)2"-(n-1)n(n+1)2-1 =(n+1)(n+2)2.（17分) SC·高三数学第6页（共7页） 19.(1)证明：因为定义域为R的f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x). 两边求导得-f'(-x)=∫'(x),所以f'(-x)=f'(x),(2分) 所以CAn={xf'(x)<f'(-m)}={xl-f'(x)>-f'(-m)} ={xf'(-x)>f'(m)}C{xf'(-x)≥f'(m)}={xl-x∈Am}.(4分) (2)解：由f(x)=(x-2k)3-3(x-2k),x∈[2k-1,2k+1),keZ, 得f'(x)=3(x-2k)2-3,x∈[2k-1,2k+1).k∈Z,(5分) f'(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，且x∈[-1,1)时f'(x)=3x2-3,(7分) 因为r9(), 所以由面数了✉的单调性及对称性可得的取值范围是26-号，2+号引k∈Z(9分) （3)解：对任意m1,m2,当m1<m2时，有Am,二Am, 即m,<m2时f'(m2)≥f'(m,), 所以f'(x)在任一区间上都不单调递减，(11分) 设g(x)=f'(x),则g'(x)≥0. 因为f代x)=alog.eloge*2-a+2,所以f'(x)=(n+2)(a"loge"*1-x*1), 所以g(x)=(n+1)(n+2)(a*-ax“)≥0，(12分) 当x≤0时，恒有g'(x)>0,(13分) 当x>0时，由g'(x)≥0得a*≥ax",即xlna≥In a+nln x, 即xlna-nlnx-lna≥0，(14分) 设h(x)=xlna-nlnx-na,则当0<a<1时，h(2)=lna-nln2<0,不满足题意，(15分) 当a>1时，h'(x)=lna-” 当e(0,。时，h()<0,4()单调递减，当e。树时，A()>0.A(e)单调递增， 所以a()≥A≥=0，又a(1)=0,(46分) 所以。 =1,a=e", 所以a的取值范围是{e}(n为正奇数).(17分) SC·高三数学第7页（共7页）