精品解析：四川省射洪中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

射洪中学高2024级高三上期入学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解即可. 【详解】集合，则. 故选：D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 6. 位于西部地区的A，B两地，据多年的资料记载：A、B两地一年中雨天占的比例分别为6%和8%，两地同时下雨的比例为2%，则A地为雨天时，B地也为雨天的概率为（ ） A. B. C. 0.18 D. 0.12 【答案】B 【解析】 【分析】记A地，B地下雨的事件分别为A，B，两地同时下雨的事件为AB，根据条件利用条件概率公式计算即得. 【详解】记A地，B地下雨的事件分别为A，B，两地同时下雨的事件为AB， 则有， 于是由条件概率公式得A地为雨天时，B地也为雨天的概率. 故选：B 7. 设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，， 而，所以先减小后增大. 故选：D 8. 已知，．设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 下列判断正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数则 C. 计算： D. 已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用同一函数的定义判断A项；根据分段函数式由内到外求值判断B项；利用对数的运算性质计算判断C项；利用根式有意义和对数函数的单调性计算判断D项. 【详解】对于A，因与定义域，对应关系与值域均相同，故是同一个函数，即A正确； 对于B，因，即，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由有意义，可得，，解得，即， 又因在上单调递增，故其值域为，则，故D错误. 10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 11. 已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 4是的一个周期 B. 的图象关于中心对称 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、周期性，判断AB正误；根据求导法则，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，判断CD正误. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以由可得， 所以，所以是的一个周期；A正确； 对于B：若的图象关于中心对称，又是的一个周期， 所以的图象关于中心对称，所以既是偶函数，又是奇函数， 所以，而满足的偶函数不一定是， 所以B错误； 对于C：因为是偶函数，所以，所以， 即是奇函数，又，即， 所以，即关于对称，C正确； 对于D：因为是奇函数，所以， 又由，可得， 所以是的一个周期，所以，D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为_______________． 【答案】24 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由，得，， 所以所求常数项为24. 故答案为：24 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可. 【详解】随机变量服从正态分布，且， 所以， 所以， 故答案为： 14. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，故在上单调递减， 由，可得，，即， 因关于的不等式在上有解， 故当时，有解，即有解， 因为，所以， 即的取值范围为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【小问1详解】 ，则， ，切点是， 故切线方程是，即； 【小问2详解】 令，解得：或， ，，在的变化如下： 0 2 3 0 0 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 1 在和上单调递增，在上单调递减， 最大值是，又，， 在的最大值是， 在在最小值是. 16. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 28 36 52 56 78 （1）求关于的线性回归方程； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？ 参考公式：，. 参考数据：，，. 【答案】（1）；（2）92.5万元. 【解析】 【分析】(1)利用最小二乘法求得回归直线方程为；（2）当时，万元，即得预测的销售额. 【详解】（1）因为，， 所以 ， ， 因此所求回归直线方程为. （2）当时，万元.所以预测销售额为92.5万元. 【点睛】本题主要考查最小二乘法求回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17. 已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则，故， 所以， 即，所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）令即可得出答案； （2）判断出函数在上单调递增，然后任取，且，则，作差，结合已知条件可判断出的符号，由此可证得结论成立； （3）首先令得到，不等式可化为，利用函数的单调性脱去，不等式转化为，最后利用复合函数的值域求解即可. 【小问1详解】 令得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令得，即， 所以不等式可化为，即， 由（2）可知函数在上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以， 所以满足题意的的取值范围是. 18. 国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 每天体育锻炼时间不低于1 总计 男生 30 女生 10 总计 100 （1）根据统计数据完成以上2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1的人数为，求的分布列和数学期望. （3）若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于1的人数为的概率为，当取得最大值时，求的值. 附参考数据及公式：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，不能推断该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异； （2）分布列见解析，1.8； （3）6. 【解析】 【分析】（1）由分层抽样的等比例性质求出100名学生中男女生的人数，进而完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得到结论； （2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的k值. 【小问1详解】 高二有400名学生（其中男生240名），则抽取100名学生中男生名，女生40名， 2×2列联表如下： 每天体育锻炼时间低于1 每天体育锻炼时间不低于1 总计 男生 30 30 60 女生 10 30 40 总计 40 60 100 则， 所以在犯错误的概率不超过的条件下，不能推断该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异； 【小问2详解】 100名学生中“每天体育锻炼时间不低于1”的人数为60人， 因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于1”的人数为6人， 而的所有可能取值为0，1，2，3. ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望. 【小问3详解】 将频率视作概率则，所以， 由得：， 解得，又，故. 19. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. （3） 【解析】 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【小问1详解】 由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高三上期入学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 6. 位于西部地区的A，B两地，据多年的资料记载：A、B两地一年中雨天占的比例分别为6%和8%，两地同时下雨的比例为2%，则A地为雨天时，B地也为雨天的概率为（ ） A. B. C. 0.18 D. 0.12 7. 设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 8. 已知，．设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 下列判断正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数则 C. 计算： D. 已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 11. 已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 4是的一个周期 B. 的图象关于中心对称 C. 关于对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为_______________． 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 14. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 16. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 28 36 52 56 78 （1）求关于的线性回归方程； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？ 参考公式：，. 参考数据：，，. 17. 已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 18. 国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 每天体育锻炼时间不低于1 总计 男生 30 女生 10 总计 100 （1）根据统计数据完成以上2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1的人数为，求的分布列和数学期望. （3）若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于1的人数为的概率为，当取得最大值时，求的值. 附参考数据及公式：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $