3.2.1探索相似三角形的条件之相似三角形的性质 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以相似三角形性质为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一性质到动态综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似比与周长比、面积比关系，对应角相等|选择题1-5直接考查核心性质，培养抽象能力与运算能力| |能力提升|相似判定（平行线分线段）、实际应用（小孔成像）|选择题6-7结合图形情境，填空题8-9强化比例推理，发展推理意识| |综合应用|动态几何（点运动）、代数几何综合|填空题10含最值问题，解答题13结合一元二次方程，体现应用意识与创新意识|

3.2.1探索相似三角形的条件之相似三角形的性质 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共7小题） 1．若△ABC∽△A'B'C'，相似比为3：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．9：4 2．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：4 3．如图，△ABC∽△DEF，且∠A＝83°，则∠D的度数是（　　） A．37° B．83° C．120° D．60° 4．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 5．若△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4，则下列说法错误的是（　　） A．∠B＝∠E B． C． D． 6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：DB＝2：3，那么能够判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 7．我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 二．填空题（共3小题） 8．若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝　 　 ． 9．如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD，AE，CE，若△ABC∽△ADE，∠ADE＝45°，∠ACE＝21°，则∠CAE＝ 　 　 ． 10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝　 　 ； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 11．如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比为2：3． （1）已知AE＝4，求AC的长； （2）已知△ADE的面积是8，求四边形BCED的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 3.2.1探索相似三角形的条件之相似三角形的性质 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．若△ABC∽△A'B'C'，相似比为3：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．9：4 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2， ∴△ABC与△A′B′C′的周长的比为3：2． 故选：A． 2．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：4 【解答】解：∵BD＝2，AD＝1， ∴AB＝AD+DB＝3， ∴AD：AB＝1：3， ∴△ADE与△ABC的相似比为1：3． 故选：B． 3．如图，△ABC∽△DEF，且∠A＝83°，则∠D的度数是（　　） A．37° B．83° C．120° D．60° 【解答】解：因为△ABC∽△DEF， 所以∠A＝∠D， 因为∠A＝83°， 所以∠D＝83°． 故选：B． 4．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【解答】解：∵相似三角形面积比为相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9． 故选：C． 5．若△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4，则下列说法错误的是（　　） A．∠B＝∠E B． C． D． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4， ∴∠B＝∠E，，， ∴，，， ∴选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意， 故选：D． 6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：DB＝2：3，那么能够判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上， ∵AD：DB＝2：3， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴或， 故选：B． 7．我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【解答】解：设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴， 解得x＝4， 即人向暗室前进2米． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 8．若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝　27　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且， ∴， ∴， 则S△DEF的值为27， 故答案为：27． 9．如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD，AE，CE，若△ABC∽△ADE，∠ADE＝45°，∠ACE＝21°，则∠CAE＝ 　24°　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝21°， ∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD， ∴∠BAD＝45°﹣21°＝24°， ∴∠CAE＝24°． 故答案为：24°． 10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝　　 ； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　 ． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1． ∴CE， 故答案为：； （2）∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝8， ∴CP的最小值为8＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共3小题） 11．如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比为2：3． （1）已知AE＝4，求AC的长； （2）已知△ADE的面积是8，求四边形BCED的面积． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比2：3， ∵， ∵AE＝4， ∴AC＝6； （2）∵△ADE∽ABC，且△ADE与△ABC的相似比2：3， ∴， ∵△ADE的面积是8， ∴△ABC的面积为18， 则四边形BCED的面积是：18﹣8＝10． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　4　 ，OB＝　3　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 可得：x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∵OA＞OB， ∴OA＝4，OB＝3； 故答案为4，3； （2）设点E的坐标为（m，0）， 则OE＝|m|， ∵△AOE∽△DAO， ∴， ∴， ∴|m|， ∴m＝±， ∴点E的坐标为：（，0）或（，0）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/28 14:14:23；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $