3.3 相似三角形判定定理的证明-同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学相似三角形判定定理同步练，通过基础巩固、中档提升、综合拔高三层设计，实现从单一判定到分类讨论的知识进阶，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定应用|选择题1-4直接考查相似三角形判定条件，夯实基础| |中档|性质与判定结合|“一线三等角”（选择7）结合图形变换，提升综合应用能力| |综合拔高|分类讨论与动态问题|解答题20-21通过动点运动分类讨论，培养逻辑思维与空间观念|

3.3 相似三角形判定定理的证明 一、选择题： 1.如图，四边形是平行四边形，则图中与相似的三角形共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么(    ) A. B. C. D. 3.如图，若，则下列各式错误的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么(    ) A. B. C. D. 5.已知中，，，点是边上一点不与，重合，过点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 6.如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为(    ) A. B. C. D. 7.（一线三等角）如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连结，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：∽； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是  (    ) A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学正确 C. 甲和丙同学正确 D. 三个同学都正确 8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是(    ) A. B. C. D. 9.（拔高题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点若，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.在中，，，点在边所在的直线上，且，过点作，交边所在直线于点，则的长为          ． 11.如图，在中，，且，，则的值是          ． 12.如图，在四边形中，平分，要使∽，还需添加一个条件，你添加的条件是          只需写一个条件，不添加辅助线和字母． 13.如图所示的是某位同学用带有刻度的直尺单位：在数轴上作图的方法，若图中的虚线互相平行，则点表示的数是          ． 14.一架人字梯及其部分侧面示意图如图所示已知，，，，则的长为          ． 15.（拔高题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是          ． 三、解答题： 16.本小题分如图，已知，，，． 求的长．求证：． 17.本小题分如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，．求的值求的长． 18.本小题分如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且． 如果，，，求的长；如果，，求的长． 19.本小题分如图，在中，，是边上一点，连接． 要使，还需要补充一个条件是          只要求填一个 若，且，，求的长． 20.（分类讨论）本小题分如图，在中，，，点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动．，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．求线段的长；用含的代数式表示当与的一边平行时，求的值． 21.（分类讨论）本小题分如图，已知，两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动，动直线从轴开始以每秒个单位长度的速度向上平行移动，且轴，分别与轴、线段交于点，，连接，，动点与动直线同时出发，当点运动到终点时，直线也同时停止运动设运动时间为秒．求时，的面积． 直线、点在运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于若存在，请求出此时的值若不存在，请说明理由． 当为何值时，与相似 参考答案和解析 1.  2.  3.  4. 5. 【解析】如图，过点作的平行线，或作的平行线，或作的垂线，或作使得，共条直线，故选D． 6. 【解析】 ，， ， ，， ∽， ， ． ， ， 故选B． 7. 8. 【解析】【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例过点作平行横线的垂线，交所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例解答即可．  【解答】 解：过点作平行横线的垂线，交所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则，即， 解得：． 9. 【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例得出，根据∽，得出，则，进而可得，根据，得出∽，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【解答】 解：四边形是正方形，，， ，，，， ， ，∽， ，则， ， ， ∽， ， 点为的中点，即 在中， ， 故选：． 10.或  【解析】【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理．此题可以分为当点在边上时与当点在边的延长线上时去分析，由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的长． 【解答】 解：如图，当点在边上时， ，，，， ， ，即：， ； 如图，当点在边的延长线上时， ，，， ， ， ， 即， ； 的长为或． 11. 【解析】，，， ，，故答案为． 12.答案不唯一  13.  【解析】如图，，，， ，，， ，点表示的数是． 14. 15. 16.【小题】 ， ， ，， ， ． 【小题】 证明：，， ，， ， ． 17.【小题】【小题】  18.【小题】 【小题】 19.【小题】 等 【小题】 20.【小题】解：在中，，，，，． 【小题】 当点在上，时，，  即，解得；  当点在上，时，，即，解得  综上所述，当与的一边平行时，的值为或． 21.【小题】， ． 又， ， ． 当时，． ， ． 【小题】不存在理由如下： 由知，，， ， 整理，得， ， 方程没有实数根． 不存在某一时刻，使得的面积等于． 【小题】由题意，得，． 在和中， ． 分两种情况讨论： ， ，即，解得 ， ，即，解得． 当或时，与相似． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $