3.3相似三角形判定定理的证明 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以相似三角形判定定理为核心，通过基础-提升-拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课巩固需求 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-8题、填空11-14题）|平行线分线段成比例、相似判定条件直接应用|以花架等生活情境（如第7题）考查基础计算，培养几何直观| |提升层（选择9-10题、填空15题、解答16-20题）|相似性质与判定综合应用|结合角平分线（第9题）、多线相交（第18题），强化推理意识| |拓展层（解答21-22题）|作图与探究延伸|无刻度直尺作图（第21题）、角平分线分线段成比例拓展（第22题），发展创新意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.3相似三角形判定定理的证明 一、 选择题（每小题3分共30分） 1.(本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,下列式子中，不成立的是 D ADAE AB AC AB AC AD AE A.DB EC B.DB EC C.AD AE D.DB AC 2.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE∥BC,以下结论正确的是 A.AB:AD=DE:BC B.AD:DB=DE:BC C.AD:DB=AE:EC D.AE:AC=AD:DB 3.(本题3分)已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定 DE∥BC 的是() D DE AD CECF AD AB BD BF A.BC AB B.EA FB C.AE AC D.DA FC 4。（本题3分)如图，直线 ,直线AC和DF 被，4，所裁，B=5,BC=6,EF=4,则 DE 的长为() A D B E一l2 C 13 10 A.3 B.3 C.4 D.2 5.(本题3分)如图，己知AB‖CD,AD与BC相交于点E.若CE=2BE,AD=6,则AE的长为 A< B D A.1 B.2 C.2 D.3 AD 6.(本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC,若Sc=9SAe'则AB的值（） D A 1 1 B.3 C.9 D. AC4 7.(本题3分)如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，己知AB∥CD∥EF,CE5, DF =40 cm m,则BF的长为() O F G H 图1 图2 A.32 cm B.40 cm C.50cm D.72cm 8.(本题3分)图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 BD 4 AB∥CD∥EF,已知CE=45cm,DF=5,则AC的长度是(）cm ALB E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 9.(本题3分)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G, D为AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 10.(本题3分)如图，已知直线a∥b∥C,直线m交直线a、bc于点ABC,直线n交直线abc AB 1 EF 于点D尽R,若BC=2,则DE=( ) n 1 A.2 B.3 D. 二、填空题（每小题3分共15分） 11.(本题3分)如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以点C为圆心， AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE∥BC,则AE= D B 12.(本题3分)在△ABC中，点AE分别在AB、AC上，DE∥BC,AD=2,DB=4,AE=3,则 AC的长为 13.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,若AD=2,AB=6,则 DE BC A D 14.(木题3分)如图，若5，AB=6,BC=4,DE=9,则EF长为 E B 15.(本题3分)如图，已知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE= A E 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，ABI‖CDI‖EF,如果AC=2,AE=5,DF=3.6,求线段BD的长. Al\B 17,（本题7分)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DEAC,EF‖AB (1)求证：△BDE∽△EFC AF 1 (②)若FC2,BC=6,求BE的长. 18、(木题8分)如图，直线，，分别交直线于点48，G交直线于点品乃且4 5、D O B E (1)若AB=5,BC=2,DF=10.5,求EF的长： 2点0是直线与的交点，若OB:BC=3:2,CF=15,求BE的长. 19.(本题8分)如图，在△MBC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上的一点，DE交 AD 2 AF于G,AB3,AB=5,求： D∠G B F AG (1)AF:(2)AC的长. 20.(本腿8分)如图，已知直线小5分别截直线于点4及G截直线于点ABR且 1214 (1)如果AB=4,BC=8,DE=6,求EF的长： (②)如果DE:EF=2:3,AC=15,求AB的长. 21.(本题9分)新考法无刻度直尺作图，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A,B,C的坐标分 别是2,5)，（4,2)（←1，） C (1)画出△ABC关于x轴对称的△ABC: (②)以点0为对称中心，画出△ABC △A,B,C2 的中心对称图形 ③)借助网格，用无刻度直尺画出线段EP,使点8在线段4C上，点P在线段BC上，且EF 22.(本题9分)阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务 年×月*日 星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所 成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例. 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分 AB BD ∠BAC交BC于点D,求证：AC=DC E A 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方 B D B 图1 图2 法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E. BA BD AE=DC(依据)，∠BAD=∠E:∠ACE=∠CAD :AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD ∠E=∠ACE.AC=AE BA BD AB BD 4c=DC,即AcDC· 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长线交 于点D,那么能不能参照上述方法求出线段AB,AC,BD,DC之间的比例关系呢？ … 任务：(1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指 AB 1 (2)如图3，在。4BC中，AC=2,请你作出边BC的一个三等分点D(要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹，标明字母)· A (3)求出【拓展探究】中，线段，，， 之间的比例关系. 图3 AB AC BD DC 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.3相似三角形判定定理的证明 一、选择题（每小题3分共30分） 1.(本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,下列式子中，不成立的是 () D ADAE AB AC AB AC AD AE A.DB EC B.DB EC C.AD AE D. DB AC 解：：'DE∥BC AD AE DBEC,选项A成立，不符合题意： AB AC DB EC, 选项B成立，不符合题意； AB AC ADAE,选项C成立，不符合题意： AD AEAE DB EC AC,选项D不成立，符合题意：故选：D. 2.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE∥BC,以下结论正确的是 D B C A.AB:AD=DE:BC B.AD:DB=DE:BC C.AD:DB=AE:EC D.AE:AC=AD:DB 解：，DE∥BC, .△ABC△ADE,AD:DB=AE:EC,故C正确， .AB:AD=BC:DE,AE:AC=AD:AB,故A,B,D错误.故选C. 3.(本题3分)已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定 DE∥BC 的是() E B DE AD CE CF ADAB BD BF A.BC AB B.EA FB C.AE AC D.DA FC DEAD 解：A、BC=AB,不能判断DE∥BC,本选项不符合题意； CE CF B、EA=FB,可以判断EF‖AB,不能判断DE∥BC,本选项不符合题意： AD AB AD AE C、AE=AC,即ABAC,能判断DE∥BC,本选项符合题意； BD BF D、DAFC,可以判断DF∥AC,不能判断DE∥BC,本选项不符合题意： 故选：C 4. (本腿3分)如图，直线，直线4C和DF被，，所截，B=5,8C=6,F=4,则 DE 的长为() A D B E -13 10 A.3 B.3 C.4 D.2 4214 解：，直线 直线4C和DF被，，所裁， AB DE ·BCEF, AB=5,BC=6,EF=4, 5 DE .64’ 解得：DE=1 3·故选：A 5.(本题3分)如图，已知AB‖CD,AD与BC相交于点E,若CE=2BE,AD=6,则AE的长为 D A.1 B.2 C.2 D.3 解：ABICD BE AE ·CEDE' CE=2BE,AD=6,DE AD-AE, BE AE 2BE 6-AE 解得：AE=2,经检验符合题意.故选：B AD 6.（本题3分)如图，在△ABC中，DE∥BC,若Sc=9SAo’则AB的值（） 1 B.3 1 C. 解：DE∥BC, .△ADE-△ABC S△ABc=9S△AE SAADE=1 (AD21 SaMc9,即AB 9. AD 1 AB3·故选：B AC 4 7.(本题3分)如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF,CE5, DF =40 cm BE 则 的长为() A D F G H 图1 图2 A.32cm B.40cm C.50cm D.72cm 解：：AB∥CD∥EF, BD AC 4 DF CE 5 :BD-号DF=×40=32(em). .4 5 BF=BD+DF=32+40=72(cm).故选：D 8.(本题3分)图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 BD 4 AB∥CD∥EF,已知CE=45cm,DF-5,则AC的长度是(）cm: 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 解：AB∥CD∥EF, BDAC DF CE' BD 4 .CE=45cm' DF=5, 4AC …545’ ∴.AC=36cm.故选：B 9.(本题3分)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G, D为AB中点，连接DF延长交AC于点B.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() F B A.2 B.3 C.4 D.5 解：：BF平分∠ABC, .∠ABF=∠GBF ,AF⊥BF, ∴，∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， ∠ABF=∠GBF BF=BF ∠BFA=∠BFG' △BFA≌ABFG(ASA) ∴.BG=AB=12,AF=FG, .GC BC -BG =8, ..AD=DB,AF =FG .DE∥BC AD=AE=1 ∴.DBEC .AE=EC, .AE=EC,AF=FG .'EF C=4.放选：c 1 10.(本题3分)如图，己知直线a∥b∥c,直线m交直线a、bc于点A、BG,直线n交直线a、bc AB 1 EF 于点&R若BC2,则DE() B -C 1 A.2 B.3 c.3 解：：a∥b∥c, DE AB 1 EF ·EF=8C2,即DE-2.故选：A 二、填空题（每小题3分共15分） 11.(本题3分)如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以点C为圆心， AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE∥BC,则AE= E B 解：由作法可知，CE=AD=2, .DE//BC, AD AE BD CE i=2, :AE=4 12.(本题3分)在△ABC中，点DE分别在AB、AC上，DE∥BC,AD=2,DB=4,AE=3,则 AC的长为一一 解：如图， A B4 DE∥BC, AD AE .ABAC, 又，AD=2,DB=4,AE=3, .AB=AD+DB=2+4=6, 23 .6AC, 解得AC=9」 13.(本题3分)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,若AD=2,AB=6,则 DE BC D B 解：：DEI/BC, ∴.△ADEP△ABC, DE AD BC AB' AD=2,AB=6, DE_2_1 .BC63· 1.（本题3分)知图，若4,8=6，BC=4,DE=9,则F长为 ,44243 解： AB DE ·BCEF, 69 .4EF’ 解得：EF=6, 故答案为：6. 15.(本题3分)如图，己知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE=_, 解：AC∥EF∥DB, CE AF ·DEBF' AF:BF=2:3, CE 2 DE3· CECE 22 CD CE+DE 2+35, CD=15, CE=15×2=6 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，ABCDI‖EF,如果AC=2,AE=5,DF=3.6,求线段BD的长. D 解：AC=2,AE=5 .CE=3 AB II CDI EF, AC BD CE DF' DF=3.6. 2 BD .33.6’ ∴BD=2.4 17.(本题7分)如图，在△ABC中，点D,B,F分别在AB,BC,AC边上，DEI‖AC,EF‖AB B (1)求证：△BDE∽△EFC. AF 1 (2)若FC=2,BC=6,求BE的长. (1)证明：：DE‖AC,EF‖AB. .∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, ∴.△BDE∽△EFC: AF 1 (2)解：FC2,EFI‖AB, BE AF 1 ·ECFC2' 、B空二BC, .BC=6, BE=,x6=2 1 3 18.(本题8分)如图，直线，2， ,名，5分别交直线于点48，G交直线5于点区R且 2W O 12 F 13 (1)若AB=5,BC=2,DF=10.5,求EF的长： @点0是直线与的交点，若0B:8C=3:2,CF=15,求E的长. l. 4I42I43 (1)解：由题意可知， EF BC DF AC' AB=5,BC=2,DF=10.5, EF 2 .10.55+2’ EF=3: 2∥1 (2)解：由题意可知， .BE∥CF, ..OBEAOCF OB BE ..OC CF OB:BC=3:2, OB 3 0C5' 3 BE .515’ .'BE=9 19.(本题8分)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上的一点，DE交 AD 2 AF于G,AB3,AE=5,求： D∠G E B F AG (1)AF;(②)AC的长. AD 2 (1)解：DE∥BC,AB3' AG AD 2 :AF AB3 AG 2 即AF3: AD 2 (2)DE∥BC,AB3' AE AD 2 ..AC AB 3, AE=5, AC=15 2. 20.(本题8分)如图，已知直线小分别截直线于点4、及G,截直线5于点人瓜R且 12I43 ()如果AB=4,BC=8,DE=6,求EF的长： (②)如果DE:EF=2:3,AC=15,求AB的长. *41213 (1)解： AB DE BCEF· AB=4,BC=8,DE=6, 46 8EF· EF=12; (2)解： 412143 AB DE BC EF DE:EF=2:3, AB2 BC3· ∴.AC=AB+BC=15 ∴.AB 2x15=6 21.(本题9分)新考法无刻度直尺作图，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A,B,C的坐标分 别是2,5).（4,2)（←1,1） Ri -----1--上 ---1---小--} (1)画出△ABC关于x轴对称的△4BC: (2)以点O为对称中心，画出△ABC △A,B,C2 的中心对称图形 借助网格，用无刻度直尺画出线段FF,使点E在线段4C上，点F在线段BC上，且EF- (1)如图所示，△4BC即为所求： O B (2)如图所示， △A4B,C即为所求： (3)如图所示，EF即为所求。 B 22.(本题9分)阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务， ×年×月日 星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所 成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例. 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分 AB BD ∠BAC交BC于点D,求证：ACDC E A 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方 B D B D 图1 图2 法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E. ，BABD :AEDC(依据)，∠BAD=∠E,∠ACE=∠CAD: :AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠ACE.AC=AE BA BD AB BD ACDC,即ACDC: 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长线交 于点D,那么能不能参照上述方法求出线段AB,AC,BD,DC之间的比例关系呢？ … 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指 AB 1 (②)如图3，在。4BC中，AC=2,请你作出边BC的一个三等分点D(要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹，标明字母)· A 图3 (3)求出【拓展探究】中，线段AB,AC,BD,DC之间的比例关系. (1)解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例)： (2)答案不唯一， 如答图1，点D即为所求 B D 答图1 (3)如答图2，过点C作CE‖AD,交BA于点E. P B C D BA BD 答图2 AE DC ∠AEC=∠PAD∠ACE=∠DAC AD平分∠PAC, .∠PAD=∠DAC ,∴.∠AEC=∠ACE.∴.AE=AC AB BD ACDC