精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十二中学校2026-2027学年高三上学期第一次考试数学试题

哈十二中学高三学年上学期第一次考试数学学科试题 满分100分 考试用时90分钟 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（ ） A. 若，则 B. 任意实数，满足，则 C. 存在一个实数，满足，则 D. 存在一个实数，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 3. 函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若，则使成立的实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性与单调性作出函数示意图，根据图象化简不等式，解得结果. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若， 所以函数示意图如下，由图可得 故选：D 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 4. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①当时，点在第四象限，， 由三角函数定义：，． ②当时，点在第二象限，， 由三角函数定义：，． 综上，． 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合基本初等函数的导数及直线的点斜式方程求解即可. 【详解】求导得，所以曲线在点处的切线的斜率为. 所以曲线在点处的切线为，即. 6. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 8. 已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由同角的平方关系求出的值判断A；由诱导公式求出的值判断B；由两角和的正弦公式求出的值判断C；由二倍角公式求出判断D. 【详解】对于A，因为为第二象限角，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法分析不等式判断A；利用同向不等式可加性判断B；利用同向正数不等式可乘性判断C；利用一元一次不等式的解集得到系数关系，再解一元二次不等式即可． 【详解】由，可得或，而无法确定恒正或恒负，故A错误； 由可得，根据同向不等式可加性有，故B正确； 由可得，根据同向正数不等式可乘性有，故C正确； 已知关于的不等式的解集为，可得，即， 则关于的不等式可化简为，解得，故D正确. 故选：BCD． 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据和可得的图象关于对称，且周期为8，并得到在一个周期所有解析式，作出图象逐一判断即可. 【详解】由可得：的图象关于对称，所以， 又因为，所以， 故，所以的周期为8， 令，则，所以， 令，则，所以 令，则，所以 所以得到在一个周期内所有解析式， 作出在图象并根据周期补充在的图象如下所示： 对于A，，故A不正确； 对于B，当 时，由图可知，故B正确； 对于C，的图象可以由的图像向左平移三个单位， 从而得到图象关于原点对称，故为奇函数，即C正确； 对于D，在同一坐标系作出的图象如下图： 当时，，当时，，由图可知有5个交点， 所以D不正确. 故选：BC 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 函数的定义域是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式组，得且，故函数的定义域为． 13. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数代数形式的四则运算求出复数，再根据共轭复数的定义得到结果. 【详解】对已知等式变形可得 ，  所以的共轭复数. 14. 若函数的增区间为，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题可知函数增区间为，减区间为，利用导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】在上恒成立，恒成立，1； 同理在上恒成立，， 综合得. 故答案为：1 四、解答题（共2题：15题12分，16题15分） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及的对称中心； （2）若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1），对称中心为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到，整体法求出函数的对称中心； （2）由平移和伸缩变换得到，整体法求出函数的单调递增区间. 【小问1详解】 ， 最小正周期为，，故， 所以，令，解得， 故的对称中心为； 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 令，解得， 故的单调递增区间为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. 【小问2详解】 因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. 【小问3详解】 因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十二中学高三学年上学期第一次考试数学学科试题 满分100分 考试用时90分钟 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（ ） A. 若，则 B. 任意实数，满足，则 C. 存在一个实数，满足，则 D. 存在一个实数，满足，则 3. 函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若，则使成立的实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 函数的定义域是_______________． 13. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 14. 若函数的增区间为，则的值为______． 四、解答题（共2题：15题12分，16题15分） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及的对称中心； （2）若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $