精品解析：黑龙江绥化市海伦市第一中学2027届高三上学期开学测试数学试题

海伦市第一中学2026-2027学年度第一学期开学测试 高三数学 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，即，解得，则， 由，得到，则， 所以， 故选：D. 2. 设函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据，代入解析式中求值即可. 【详解】因，则， 则，故. 故选：A 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解. 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得. 则. 故选：C. 4. 已知是等差数列的前项和，若，．则（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列设出公差，根据等差数列的求和公式以及通项公式，建立方程组，解得首项与公差，结合通项公式，可得答案. 【详解】设公差为，由，，则，解得， 所以. 故选：D. 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量垂直的性质得出向量的数量积为0，从而得出的关系，再根据投影向量公式计算． 【详解】， ，解得， 向量在向量方向上的投影向量为：， 故选：B． 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦的差角公式、倍角公式和同角三角函数间的关系，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到， 因为，，则，， 所以， 又，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 8. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，函数的最小正周期为，可求得，可判断A选项正确；进而可得函数的解析式，根据余弦函数的图像性质，逐项判断选项B、C、D即可. 【详解】根据题意，已知函数的最小正周期为， 根据周期公式，即，解得，又，所以，故A选项正确； 所以，其单调递增区间为， 解不等式得，故B选项错误； 其对称中心的横坐标满足，解得， 所以其对称中心为，当时，为，故C选项正确； 由，解得对称轴为，当时，为，故D选项正确. 故选：ACD 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，．则的最小值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：7. 13. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围. 【详解】由正弦定理得：， 由二倍角公式得： ， ， 由和差化积公式可得：， 即， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以或（舍去）， 即A=2B， ， 由正弦定理可得：， 由题意得：，解得：， ，解得： 又 综上： , 所以， 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围. 14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有两个极值点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在零点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，利用三角函数恒等式整理化简方程，可得答案. （2）根据余弦定理建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 由，则， 可得， 由，即，则，即， 根据，解得. 【小问2详解】 根据余弦定理可得， 由，，，则，解得， 所以的面积. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到，再根据正弦函数的性质求最小正周期和对称轴方程. （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用导数研究函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【小问1详解】 ． 最小正周期． 令，解得， 所以的对称轴方程为； 【小问2详解】 时，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，对求导： ， 令，解得 ， 令，解得 ，即在内单调递增； 令，解得 ，即在内单调递减； 所以.所以， 即实数的取值范围是. 17. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； 【小问2详解】 由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 恒为，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ii）因为， 所以， 下面证明， 即证， 令，则， 令， 则， 故在上单调递增， 故， 所以，即，所以， 当时，， 当，令 ， 令， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故， 综上，. 【解析】 【分析】（1）结合新定义，由求，由此可得结论； （2）（）求导判断函数的单调性，假设具有性质，结合定义及单调性推出矛盾，可得结论； （ii）先得到，证明对数平均不等式，由此可得，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论. 【小问1详解】 定义域为， 对任意的，且， 有， 即， 因为，所以，故， 故，故； 【小问2详解】 （i）略 （）略 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19. 某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100分）： 睡眠质量得分 是否定期锻炼 高于85分 不高于85分 合计 定期锻炼 15 5 20 不定期锻炼 5 25 30 合计 20 30 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联？ （2）从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期锻炼”的人数的分布列． 附：，其中． 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联 （2） 的分布列为 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列. 【小问1详解】 零假设：“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”没有关联， 经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海伦市第一中学2026-2027学年度第一学期开学测试 高三数学 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，若，．则（ ） A. B. 4 C. D. 7 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，．则的最小值为______． 13. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 17. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 19. 某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100分）： 睡眠质量得分 是否定期锻炼 高于85分 不高于85分 合计 定期锻炼 15 5 20 不定期锻炼 5 25 30 合计 20 30 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联？ （2）从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期锻炼”的人数的分布列． 附：，其中． 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $