17-2 用公式法分解因式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦公式法分解因式，涵盖平方差公式和完全平方公式。通过草坪面积问题导入，从整式乘法逆向思维引出因式分解，以“想一想”“特点分析”搭建学习支架，引导学生逐步掌握公式应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过实例剖析（如x⁴-y⁴分解）训练数学思维，结合能力训练题（如配方求x、y值）提升数学语言表达。采用“一提二套三查”步骤总结，帮助学生形成严谨思维，教师可借助分层例题和系统训练提升教学效率。

用公式法分解因式 模块一： 平方差公式法 如图,一块草坪被分成三部分,你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? 想一想：多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗? 是a,b两数的平方差的形式 整式乘法 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b) 例1.分解因式： (1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2 解：(1) 原式＝(2x)2－32 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(2x＋3) (2x－3) (2) 原式＝[(x＋p)＋(x＋q)] [(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q) 解题技巧：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式分解因式. 例2.分解因式： (1) x4-y4 (2) a3b-ab 解：(1) 原式＝( x2 )2 - ( y2 )2 ＝( x2 + y2 )( x2 - y2) 检查是否还有能 继续分解的因式， 若有，继续分解 ＝(x2 + y2)(x + y)(x - y). (2) 原式＝ab(a2 - 1) 先提公因式， 再套用公式分解 ＝ab(a + 1)(a - 1). 1.下列由左边到右边的变形，（     ）是分解因式． A．a(x+1)=ax-a B． C．2x-2=2(x-1) D． C 2.若(3x+2)(x+p)=m ，则下列结论正确的是（       ） A.m=6 B．n=1 C．P=-2 D．mnp=3 B 3、分解因式 （1）﹣8m3+24m2n﹣18mn2； （2）（1-3a）2﹣2（1﹣3a）； （3）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）； 解：（1）﹣8m3+24m2n﹣18mn2 ＝﹣2m（4m2﹣12mn+9n2） ＝﹣2m（2m﹣3n）2； （2）（1﹣3a）2﹣2（1﹣3a） ＝（1﹣3a）（1﹣3a﹣2） ＝（1﹣3a）（﹣3a﹣1）； （3）（a﹣b）（x﹣y）-（b﹣a）（x+y） =（a﹣b）（x﹣y）+（a-b）（x+y） ＝（a﹣b）（x﹣y+x+y） ＝2x（a﹣b）； 4.计算下列各题： (1)1032－972； (2)56.52×6－43.52×6. 解：(1)原式＝(103＋97)×(103－97)＝1200； (2)原式＝6×(56.52－43.52) =6×(56.5＋43.5)×(56.5－43.5) ＝6×100×13=7800. 5.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 原式=-40×5=-200. 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 模块二： 完全平方公式法 多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？ （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项、第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍 三项 完全平方式的特点： 完全平方式: 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例1.分解因式： (1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2 16x2+24 x+9= (4x)2 + 2·4 x·3 + 32 a2 + 2 · a ·b + b2 解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32 =(4x+3)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2 例2.分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 有公因式要先提公因式； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62 =(a+b-6)2 用整体的思想进行因式分解. 把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 ，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 1.运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解,公式中的a可以是 (　　) A.2x2 B.4x2 C.2x D.4x 2. 若x2-(a+1)x+36=(x+6)2,则a的值为 (　　) A.-13 B.-11或13 C.11或-13 D.11 C A 3.分解因式: (1)-x2-4y2+4xy; (2)(x-1)2+2(x-5). 解：(1)原式=-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. (2)原式=x2-2x+1+2x-10 =x2-9 =(x+3)(x-3). 4.若n为正整数，则代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个正整数的平方，这个正整数为___________．（用含n的代数式表示） 5.已知：a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a，b满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，则△ABC的周长为_____． 9 n2＋3n＋1 6.若，求x ，y 的值． 解： ， ∴ x+4=0，y-3=0 ∴x=-4,y=3 ． 【解决问题】已知 ，求 的值 将61拆分成 25和36，可得 根据完全平方公式得： m=-5,n=6 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. $