17.2 用公式法分解因式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用公式法分解因式”，核心讲解平方差公式与完全平方公式的应用。课堂通过情境引入，关联整式乘法与因式分解的逆向变形，回顾提公因式法等旧知，引导学生探究复杂多项式的分解方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于结合图形变换（如正方形剪拼验证平方差公式）培养几何直观（数学眼光），例题分步解析并强调分解后检查培养推理意识（数学思维），用“两数是平方，减号在中央”等口诀简化公式记忆（数学语言）。实例丰富，如综合提升题融合多种方法，助力学生发展转化能力，教师可借助结构化内容提升教学效率。

17.2 用公式法分解因式 1.能用平方差公式及完全平方公式进行二次因式分解(指数为正整数).(重点) 2.掌握公式的结构特征和选用合适的方法进行因式分解；培养观察、分析、转化的能力，培养逆向思维.(难点) 学习目标 情境引入 我们知道，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，我们学习了因式分解的三种方法：提公因式法、运用平方差公式法、运用完全平方公式法，对于复杂的多项式怎么进行分解因式呢？ 新知导入 【思考】多项式 a2-b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 整式的乘法 因式分解 平方差公式 两数的平方差的形式 整式乘积的形式 4 归纳总结 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【注意】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2  ( )2的形式. 5 探究新知 如图，在边长为a米的正方形上减掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a米 b米 a米 b米 a-b米 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 6 例题练习 分解因式：  aba+1a1  x²  y²x  yx  y  aba² 1 (2)原式 1 x4 y4 2 a³bab 1 原式  (x²)²(y²)² a²  b²  (a + b)(a  b) = x²y²x²y² 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查. 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 探究新知 多项式 a²2abb²和a²2abb² 有什么特点？ （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式 8 例1 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是 A.1－a2 B.－x2－16 C.a2b2－m2n2 D.a2－9b2 √ 解析　A项，1－a2 ＝(1＋a)(1－a)，故该选项不符合题意； B项，－x2－16＝－(x2＋16)，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； C项，a2b2－m2n2 ＝(ab＋mn)(ab－mn)，故该选项不符合题意； D项，a2－9b2 ＝(a＋3b)(a－3b)，故该选项不符合题意. 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：(　)2－(　)2的形式.简单说成“两数是平方，减号在中央.” 反思感悟 (1)(x-1)+b²(1-x); 解：原式=(x-1)-b²(x-1)=(x-1)(1-b²)=(x-1)(1+b)(1-b). (2)16m⁴-1; 解：原式=(4m²-1)(4m²+1)=(2m+1)(2m-1)(4m²+1). (3)(a²-4a)²+8(a²-4a)+16; 解：原式=(a²-4a+4)²=[(a-2)²]²=(a-2)⁴ . (4)(m²+mn+n²)²-(m²-mn+n²)² . 解：原式=(m²+n²)²+2mn(m²+n²)+m²n²-(m²+n²)²+2mn(m²+n²) m²n²=4mn(m²+n²). 提升题 5.分解因式： 一 6.在将x²-4x-5 分解因式时，李老师讲了如下方法： =(x+1)(x-5). … … … … … … 第四步 ( 1 ) 从 第 一 步 到 第 二 步 逆 用 了 什 么 乘 法 公 式 ： 完 全 平 方 公 式 ， 从 第 二 步 到 第 三 步 逆 用 了 什 么 乘 法 公 式 ： 平方差公式 (2)仿照上例分解因式：x²+2x-3. =(x-2+3)(x-2-3) … … … … … … 第三步 解 ：x²-4x-5 =x²-4x+4-4-5… … … … … … 第 步 =(x-2)²-9… … … … … … 第二步 解 ：x²+2x-3=x²+2x+1-1-3=x²+2x+1-4=(x+1)²-4 =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1). 例题练习 分解因式： 分析： (1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式； (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 例题练习 分解因式： 分析： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将 a+b 看成一个整体，设 a+b = m，则原式化为m2-12m+36. 解： (2) 原式 = (a+b)2-2·(a+b) ·6+62 = (a+b-6)2. 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2；  例3 解　(a＋b) 2－4a2＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b). (2)(x＋p)2－(x＋q)2； 解　(x＋p) 2－(x＋q) 2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q). (3)9(m＋n)2－(m－n)2； 解　9(m＋n)2－(m－n) 2＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n). (4)1012－992. 解　1012－992＝(101＋99)×(101－99)＝400. 分解因式： (1)－2xy－x2－y2； 跟踪训练3 解　－2xy－x2－y2＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2. (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋25； 解　(x＋y)2－10(x＋y)＋25＝(x＋y－5)2. (3)4－12(x－y)＋9(x－y)2. 解　4－12(x－y)＋9(x－y)2 ＝22－2×2×3(x－y)＋[3(x－y)]2 ＝[2－3(x－y)]2＝(2－3x＋3y)2. 简便计算： (1)1002－2×100×99＋992； 例4 解　1002－2×100×99＋992＝(100－99)2＝1. (2)342＋34×32＋162. 解　342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2 500. 当堂检测 A 当堂检测 8 任务：运用完全平方公式分解因式. 活动1：观察下面两个式子，回答以下问题. 问题1：每个多项式有几项？ 问题3：中间项和第一项、第三项有什么关系？ 问题2：每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项. 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍. (1) a2+2ab+b2 (2) a2－2ab+b2 思考：如何将完全平方式分解因式？ 完全平方公式： 把整式乘法的完全平方公式等号两边互换位置就得到： (a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2. a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2. 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 注意:公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式. 解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除.因式要分解到各项都不能再分解为止. 反思感悟 (1)求证：对于任意整数n，多项式的值都能被16整除. 跟踪训练4 证明　 ＝ ＝8 ＝16， ∴多项式的值都能被16整除. 4.同号两实数a，b满足，若为整数，则ab的值为( ) A.1或 B.1或 C.2或 D.2或 解析：，，，.，，.为整数，为平方数，或0，解得或1.故选A. 5.已知m，n满足，，则__________. 解析：.，，，.故答案为8. $