2.1认识一元二次方程-2.2一元二次方程的解法 综合练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念与解法的系统性整合，以题载法构建“定义-形式-解法-迁移”逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5、填空11-13|定义辨析、系数确定|从定义到一般形式的概念生成| |解法应用|单选6-9、填空14-15、解答17-18|直接开平方法、因式分解法、公式法|解法与方程特征的匹配推导| |方法迁移|单选10、填空16、解答19-21|换元法、十字相乘法、新定义转化|代数变形与模型思想的迁移应用|

2.1认识一元二次方程-2.2一元二次方程的解法 综合练习 一、单选题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 6．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 7．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 8．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 9．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 11．一元二次方程的解是______． 12．把方程化为一般形式是__________． 13．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 15．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 16．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三、解答题 17．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．解方程： (1) (2) (3) (4) 19．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 20．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 21．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D A C C B C 1．C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2．B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 4．B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 5．D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 6．A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 7．C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 8．C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 9．B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 10．C 【分析】本题结合新定义“倍根方程”，考查一元二次方程的解法和根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足倍根方程定义， ①正确； ②的两根为，， 方程是倍根方程，分两种情况： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 解方程可得，， 即，， 因为，所以该方程是倍根方程，故③正确， ④设的两根为， 由根与系数的关系得： ，即，得， ，即， 将代入得， 两边同乘，整理得，故④正确； 综上，①③④正确． 11．4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 12． 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 13． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 14．且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 15． 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 16．3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 17．(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 18．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解： 即或 解得，． （2） 即或 解得，． （3） 这里，， ∴ ∴，． （4） 即或 解得，． 19．(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 20．(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $