2.5.1 直线与圆的位置关系讲义-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点1：直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【注意】代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 知识点2：用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 【注意】建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单． 考点一　判断直线与圆的位置关系 考点二　由直线与圆的位置关系求参数 考点三　直线与圆的位置关系求距离的最值 考点四　过圆上一点的圆的切线方程 考点五　过圆外一点的圆的切线方程 考点六　切线长的问题 考点七　切点弦及其方程 考点八　已知切线求参数 考点九　圆的弦长与中点弦 考点十　已知圆的弦长求方程或参数 考点十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 考点十二　直线与圆的实际应用 考点十三　圆内接三角形的面积 考点十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 考点一　判断直线与圆的位置关系 1．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 3．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 考点二　由直线与圆的位置关系求参数 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为_____ 8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，.若，则b的取值范围是____. 考点三　直线与圆的位置关系求距离的最值 9．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 11．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 12．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 考点四　过圆上一点的圆的切线方程 13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 14．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 15．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 16．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 考点五　过圆外一点的圆的切线方程 17．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 18．（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 19．（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 20．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 考点六　切线长的问题 21．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 23．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 24．（2026·河北张家口·二模）（多选）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 考点七　切点弦及其方程 25．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 26．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 27．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 28．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点八　已知切线求参数 29．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 30．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 31．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 32．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 考点九　圆的弦长与中点弦 33．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 34．（25-26高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________. 35．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 36．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 考点十　已知圆的弦长求方程或参数 37．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 38．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 39．（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 40．（2026·山东烟台·模拟预测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 考点十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 41．（2026高三·全国·专题练习）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 42．（25-26高二下·云南德宏·期末）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 43．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 44．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 考点十二　直线与圆的实际应用 45．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 46．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 47．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 48．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 考点十三　圆内接三角形的面积 49．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 50．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 51．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 52．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 考点十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 53．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 54．（25-26高一下·浙江宁波·期中）（多选）动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 55．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 7．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 8．（25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·全国·阶段检测）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·陕西西安·期末）（多选）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 12．（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 13．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 15．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 16．（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 18．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 19．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点1：直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【注意】代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 知识点2：用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 【注意】建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单． 考点一　判断直线与圆的位置关系 考点二　由直线与圆的位置关系求参数 考点三　直线与圆的位置关系求距离的最值 考点四　过圆上一点的圆的切线方程 考点五　过圆外一点的圆的切线方程 考点六　切线长的问题 考点七　切点弦及其方程 考点八　已知切线求参数 考点九　圆的弦长与中点弦 考点十　已知圆的弦长求方程或参数 考点十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 考点十二　直线与圆的实际应用 考点十三　圆内接三角形的面积 考点十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 考点一　判断直线与圆的位置关系 1．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【分析】根据消元后判别式的符号或圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系. 【详解】法1：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法2：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 3．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确； 对于B，∵点在圆内，， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确； 对于C，∵点在圆外，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误； 对于D，∵点在直线上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确． 解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：． 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交； 如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确． 考点二　由直线与圆的位置关系求参数 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 6．（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由圆上恰有个点到直线的距离为，推出圆心到直线的距离为，再结合直线过点，得出点到圆心的距离不小于，计算各选项点到圆心的距离即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 7．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为_____ 【答案】 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为：    8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，.若，则b的取值范围是____. 【答案】 【分析】变形得到A表示一个以为圆心，为半径且的半圆，表示斜率为1的一条直线，结合点到直线距离公式和图象可得临界情况，从而得到答案. 【详解】因为，所以， 即， 将两边平方并化简，得，， 所以A表示一个以为圆心，为半径且的半圆. 表示斜率为1的一条直线. 因为，所以直线与半圆没有交点， 结合图象可得，当直线过点时，可得，解得. 当直线与半圆相切时，可得，即， 结合图象可知，不符合题意，舍去，即. 所以若，则b的取值范围是. 故答案为： 考点三　直线与圆的位置关系求距离的最值 9．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 10．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 11．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 12．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 考点四　过圆上一点的圆的切线方程 13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 14．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 15．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 16．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 考点五　过圆外一点的圆的切线方程 17．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 18．（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【分析】先设出过点的切线斜率为k，结合圆心到切线的距离等于半径得到关于k的方程，再利用两直线夹角公式计算夹角的正切值. 【详解】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 19．（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先把圆方程配方求出圆心(2,3)与半径,由两条切线互相垂直推得动点到圆心距离为2,即在以圆心为定点、2为半径的圆上,再转化为直线与该圆有公共点,利用圆心到直线距离不大于半径列不等式,化简解得的取值范围. 【详解】圆的方程：，配方得：，因此圆的圆心为，半径. 设点，过引圆的两条切线互相垂直，则两条切线与半径构成正方形. 圆心到点的距离：. 即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆：. 直线上存在点，等价于直线与圆有公共点. 故圆心到直线的距离，距离公式：. 平方化简：，展开得：. 整理得：. 20．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 考点六　切线长的问题 21．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 22．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 23．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 24．（2026·河北张家口·二模）（多选）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项； 对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解； 对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解； 对于D，根据结合选项C即可求解. 【详解】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 考点七　切点弦及其方程 25．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    26．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 27．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心的坐标为，则，再结合，得到，联立求出，得到圆心，再求半径即可； （2）由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可． 【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则， 因为，是圆上的两点，所以， 所以，即， 由得即， 则圆的半径， 故圆的标准方程为； （2）因为，，所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以， 所以四边形的面积，解得. 28．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    考点八　已知切线求参数 29．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 【答案】1（的任何一个值都行） 【分析】首先分析直线所过的定点，再作出曲线的图象，由题意结合临界情况即可求解. 【详解】直线变形为，所以直线恒过点， 曲线两边平方化简得， 如图，作出曲线的图象， 过点的直线与半圆交于端点时，这时直线与曲线有2个交点，斜率， 直线绕点逆时针旋转到与半圆相切时（不包括相切），都有2个交点， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得：或（舍去）， 所以满足直线与曲线有2个不同交点的的取值范围是. 30．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 31．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 32．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 考点九　圆的弦长与中点弦 33．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 34．（25-26高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________. 【答案】 【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【详解】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为： 35．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【答案】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式可求圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得弦长. 【详解】圆方程可化为，圆心，半径. 弦心距， 所以. 36．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 考点十　已知圆的弦长求方程或参数 37．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 38．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 39．（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. 40．（2026·山东烟台·模拟预测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 考点十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 41．（2026高三·全国·专题练习）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 【答案】C 【分析】点在圆内，可求得最短弦长和最长弦长，即弦长的取值范围，再利用圆的对称性即可. 【详解】由可得， 点在圆内，且点A与圆心间的距离， 则过点A的最短弦长为，最长弦长为， 由此可得过点A的弦长的范围为，在间的整数共有15个，由 圆的对称性可知过点A弦长在间的弦长为整数的直线共有条， 则弦长在间且为整数的直线共有条． 42．（25-26高二下·云南德宏·期末）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 43．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点， 圆的圆心，半径，由，得点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，则最短弦长； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由，得， 直线的方程为，即. 44．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 考点十二　直线与圆的实际应用 45．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 46．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 47．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 48．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 考点十三　圆内接三角形的面积 49．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 50．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式分析可知当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 51．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 52．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意，设，，利用直线与圆相切，利用几何法可得出关于的等式，可求出的值，由此可得出圆的方程； （2）（i）分析可知的面积为，利用三角形的面积公式可求出的大小，分析可知直线的斜率存在，设该直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值即可； （ii）对两直线的斜率是否存在进行分类讨论，求出、，再利用四边形的面积公式可求得的最小值. 【详解】（1）设点，， 因为圆与直线相切， 所以点到该直线的距离为，因为，解得， 故圆的方程为. （2）（i）因为的面积为，，所以的面积为， 即，所以， 若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意， 所以圆心到直线的距离为， 易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为， 此时；    当直线、的斜率都存在时， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则， 同理可得， 所以 ， 综上所述，，即四边形面积的最小值为. 考点十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 53．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 54．（25-26高一下·浙江宁波·期中）（多选）动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，将的方程整理为含参数的分组形式，令的系数和常数项同时为0，解得定点判断；对B，由两直线恒垂直，交点轨迹本是以两直线定点连线为直径的圆，但圆上的点无法通过有限实数取到；对C，将分式化简为，利用几何意义求出的范围，进而求得原式最小值为；对D，将转化为乘以点到直线的距离，得最小距离对应点取不到，最大距离对应点存在，进而得取值范围. 【详解】对于A：对动直线整理得，令，得定点， 代入方程验证恒成立，A正确； 对于B：对，整理得，令，得定点； 对任意，由可知， 所以交点的轨迹是以为直径的圆，圆心为中点，又， 所以圆方程为， 但点满足圆方程但无法通过有限实数取到， 轨迹缺一个点，不是完整的圆，B错误； 对于C：，是点与定点连线的斜率， 连线方程为，则，解得， 因此原式最小值为，且对应点在轨迹上，能取到最小值，C正确； 对于D：（是点到直线的距离）， 圆心到直线的距离，圆半径为， 因此， 距离为对应切点，不在轨迹上，故； 最大距离对应点，在轨迹上，因此，D正确. 55．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 56．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 3．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题知即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 5．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 6．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 7．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 8．（25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可得的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点P的坐标，由点P到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设， 则以为直径的圆的方程为， 化简可得， 与已知圆的方程相减可得的方程为， 由直线的方程为， 联立两直线方程可解得，， 故线段的中点， ∴点到直线的距离， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即. 故选：C 9．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 10．（25-26高二上·全国·阶段检测）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长. 【详解】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 11．（25-26高一下·陕西西安·期末）（多选）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 12．（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 13．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【分析】选项A，将直线方程整理为参数项与常数项分离的形式，建立关于的方程并求解，即可得到定点坐标；选项B，通过圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式建立关于的方程并求解；选项C，求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，所以代入对应值计算即可；选项D，利用勾股定理表示切线长，根据点到圆心的距离最小时切线长最小，代入公式计算即可. 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误.    选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确.    14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 16．（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据条件得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 17．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 18．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 19．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $