第13章 专题训练二 三角形角的平分线的夹角模型-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（人教版·新教材）

121川川2树勾·八年级数学·上 专题训练二 三角形有 类型1三角形两个内角平分线的夹角 模型展示 模型示例：如图，在△ABC中，∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点D. A B 结论：∠BDC=90°+ 2∠A. 1.(2025衡水桃城区期末)如图，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交 于点O,∠A=60°，则∠BOC的大小为() A.110° B.120°C.130° D.150° 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠BAC的平 分线BD,AD相交于点D.若外角∠ACQ 的度数是100°，则∠D的度数是() 4 D 1009 B C A.140° B.130° C.120° D.100° 类型2三角形两个外角平分线的夹角 模型展示 模型示例：如图，在△ABC中，BF,CF分别 是△ABC的外角∠PBC,∠QCB的平分线. 结论：∠BFC=90°- 2<A. 角的平分线的夹角模型 3.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平 分线交于点E,∠AEC=70°，求∠B的 度数. D 4.如图，∠MON=90°，点A,B分别在OM, ON上，AE平分∠MAB,BE平分∠NBA. 当点A,B在OM,ON上的位置变化 时，∠E的大小是否变化？若∠E的大小保 持不变，请说明理由；若∠E的大小变化， 求出变化范围 M B N 类型3三角形一内角平分线与一外角平分 线的夹角 模型展示 模型示例：如图，在△ABC中，BD,CD分 别平分∠ABC,∠ACE. 结论：∠BDC= 2<A. 5.如图，BP是△ABC中 ∠ABC的平分线，CP 是△ABC的外角的平 20° 509 分线，若∠ABP=B 20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= A.70 B.80° C.90° D.100 6.如图，∠CBF,∠ACG是△ABC的外 角，∠ACG的平分线所在的直线分别 与∠ABC,∠CBF的平分线BD,BE交于 点D,E. (1)求∠DBE的度数. (2)若∠A=70°，求∠D的度数. B 类型4三角形角平分线与高的夹角 模型展示 模型示例：如图，在△ABC中，AE平分 ∠BAC,AD⊥BC,∠B>∠C. B DE 结论：∠DAE=2∠B-∠C), 7.小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分 ∠BAC,AD⊥BC于点D.猜想∠B,∠C, ∠EAD的数量关系， (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解 题思路，于是尝试代入∠B,∠C的值 求∠EAD的值，得到下面几组对应值： 第十三章三角形1川13 ∠B 10° 30° 30° 20° 20 ∠C 70 70° 60 60 80° ∠EAD 30 15° 20° 30° 上表中a= 于是得到∠B, ∠C,∠EAD的数量关系为 (2)小明继续探究，在线段AE上任取一点 P,过点P作PD⊥BC于点D(如图2)，请 尝试写出∠B,∠C,∠EPD之间的数量关 系，并说明理由 (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母位 置，如图3，过EA的延长线上的一点F作 FD⊥BC交CB的延长线于D,当∠ABC= 80°，∠C=24时，∠F的度数为 ED 图1 ED E BD 图2 图3参考答案 》》》》》》》 7.A 第十三章 三角形 8.解：△ABC和△EFD的三条高如图所示 13.1 三角形的概念 基础达标 1.A 2.△CDF,△CBD△BEF ∠BCE CE B △ABC,△ABD,△ACE 3.B4.C 能力提升 能力提升 1.B2.D3.C 图1 图2 4.③④ 1.B2.B (2)如图2，连接AP,则S△ABC=S△ABP 3.解：，CD=CA=CB, 5.解：S△ABc=2AB·CE= .△ABC,△BCD,△ACD为等腰三角形 2BC·AD. SAACP,六2AB·CD=ZAB·PF 4.解：(1)如图所示，以AB为边的三角形能画3 '.AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm, 个：△EAB,△DAB,△CAB 2 AC.PE,.AB=AC,..CD=PF-PE 2X4X6=2X8·AD. ∴AD=3cm. D 6.解：(1)①如图1，当高AD在△ABC的内部 6.解：(1)角平分线 时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70 (2).DE∥BC,∠DEB=34°，..∠EBC= 208=00° 34,.BE是△ABC 的角平分线， ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠ABC=2∠EBC=68° ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50 B 7.解：(1)如图所示，EF,DG即为所求作 综上所述，∠BAC的度数为90°或50°. (2)△DAB是等腰三角形，△EAB,△CAB 是钝角三角形 13.2与三角形有关的线段 E D C B D 13.2.1三角形的边 G 图1 图2 基础达标 (2)由(1)得△ABC是直角三角形或钝角三 DF 1.B2.B 角形. 3.解：(1)2 (2),AD为△ABC的中线，BE为△ABD的 13.3 三角形的内角与外角 (2)当三角形框架的边长为2,3,4时， 所需费用为6+8+10=24（元）： 中线，.S△ABD= SAB,SADE 13.3.1 三角形的内角 当三角形框架的边长为2,5,4时 2 SAAUD,六SAHDE=有SAAE,:△ABC 第1课时 三角形的内角和 所需费用为6十10+15=31（元）. 基础达标 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共 1.B2.B3.454.C5.B 需24+31-55（元）， 的面积为40，BD=5,六S△sDe=2BD· 6.解：设另外两个内角中，较小的内角为x°，则 答：购买铁条共需55元 4.A5.C EF= FX5·EF= 4 ×40=10,.EF=4, 较大的内角为(x十8)°. 根据题意，得x十(x十8)十132=180. 6.稳定性 即△BED中BD边上的高EF的长为4. 解得x=20..x十8=28. 能力提升 8.解：(1)4 ∴这个三角形三个内角的度数分别是20°， 1.B2.D3.B (2)①当△BDE的周长-四边形ACDE的周 28°，132 4.小三角形两边的和大于第三边5.21 长=2cm时，即(BE十BD+DE)-(AEH 7.解：在△ABC中，∠A=65°，∠ACB= 6.解：当4cm为腰长时，三边长为4cm,4cm, AC+DC+DE)=2.AD是中线，.BD 72°，，∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180° 6cm,4十4>6，∴.a=6, DC,∴.BE=AE+AC+2.又，'AB=10cm 65°-72°=43.∠ABD=30°，.∠CBD= 当4cm为底边长时，三边长为5cm,5am,4cm, AC=6 cm,BE=AB-AE,.AB-AE= ∠ABC-∠ABD=13°，.'CE平分∠ACB, .4+5>5 a=5,综上，a=6或5. AE+AC+2,.10-AE=AE+6+2,∴ ∴.∠BCE= ∠ACB=36.,∴.∠BEC= 7.解：(1)a,b,c是△ABC的三边长 AE=1 cm. ,.a十c>b,b+c>a,∴.a-b+c>0,a ②当四边形ACDE的周长-△BDE的周长 180°-∠CBE-∠BCE=180°-13° b-c<0,.a-b+c+a-b-c 2cm时，即(AE+AC+DC+DE)一(BE+ 36°=131 (a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+ BD+DE)=2,,AD是中线，∴.BD=DC 能力提升 b十c=2c. ∴.AE+AC=BE+2.又：'AB=10 cm, 1.B2.B3.A4.B ②粥方程组为121，解得8：录据三 AC=6 cm,BE=AB-AE,,'.AE+AC= 5.75 2a-b= AB-AE+2,.AE+6=10-AE+2, 6.解：(1)△ABC是“特征三角形”.理由如下 角形的三边关系得5-2<c<2十5，即3<c AE-3cm.综上，线段AE的长为1cm或 .在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°， 7,c为偶数，c=4或6，.这个三角形 ,∴.∠C-180°-30°-50°=100° .∠C 的周长为2+5十4=11或2+5十6=13. 2∠B.∴.△ABC是“特征三角形” 8.解：(1)第一段的长不能为3cm 专题训练一三角形的中线、 (2)在△DEF中，∠D=96 ,∴.∠E+∠F 理由如下： 高线的运用 180°-96=84°.△DEF是“特征三角形” 根据题意，第一段长acm,第二段的长(3a一 1.C2.A 且∠E是“次特征角”，①当∠D=2∠E时， 2)cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=3.解：：AD为△ABC的中线，△ABC的面积 2∠E=96°.∴.∠E=48.②当∠F=2∠E (14-4a)cm,当a=3时，3a_27,14 时，∠E十2∠E=84°..∠E=28°.综上所 4a=2,3十2<7，.三根木棒不能制作一个 为24，S△ABD=2S△ABC=12,BE为 述，∠E的度数为48或28 三角形木框，∴第一段的长不能为3cm. 1 微专题1 (2)符合条件的CP的整数长度为3cm或4cm △ABD的中线，∴.S△ABE= 13609 或5cm. 12=6,AE=3,BF为△ABE中AE边上 2.解：(1)6 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 (2)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,① 基础达标 的高，∴7×3BF=6,BF=4. 霜胡平分我P和C印相交 1.C2.B3.①③4.A5.50 4.2 6.证明：AD是△ABC的角平分线，5.解：(1)如图1，连接AP,则SAA=S△A即十 ∠D+ ∴.∠BAD=∠CAD.0:PM∥AC,PN∥ S△ACp,2AC·BD=2AB·PF+ ∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+ AB,∠APM=∠PAN,∠APN ∠P,即2∠P=∠D+∠B,又：∠D=50°， ∠PAM.∴.∠APM=∠APN.∴.PA平 分∠MPN. AC PE,AB=AC,.BD=PE+PF. ∠B=40°，.2∠P=50°+40°，∴.∠P=45°. (3)2∠P=∠D+∠B. 第2课时直角三角形的两个锐角互余 4.解：∠E的大小保持不变，等于45°.理由如下：4.解：作图步骤 .∠MON=90°，.∠0AB+∠OBA=90°. (1)取AB,BC,CD,AD四边的中点G,E, 基础达标 .∠OAB+∠MAB=180°，∠OBA F,H. 1.B2.83.B ∠NBA=180°，，.∠MAB+∠NBA=180°+ (2)连接AE,CG,，得△ABC的重心P;连接 4.证明：，∠ACB=90°，，.∠ACD+∠BCD= 180°-90°=270°.AE,BE分别平分 AF,CH,得△ACD的重心Q:连接BH, 90..∠ACD=∠B,∴.∠B+∠BCD=90 ∴.∠BDC=90°，即CD⊥AB.∴.CD是 ∠MAB和∠NBA,∴.∠EAB= 2∠MAB, DG,得△ABD的重心R;连接BF,DE,得 △BCD的重心S. △ABC的高， 能力提升 ∠EBA= ∠NBA.∴.∠EAB+∠EBA= (3)连接PQ,RS交于O点.如图所示， O点即为所求 1.C2.C 3.40 2（∠MAB+∠NBA)=2X270°=1359， 4.解：∠AFD=152°，，.∠DFC=180° ∴.∠E=180°-（∠EAB+∠EBA)=180° ∠AFD=28°.，FD⊥BC,∴.∠FDC=90° 135°=45°.∴.∠E的大小保持不变，等于45° G ) .∠C=90°-28°=62°， … ∠B=∠C 5. .∠B=62°.DE⊥AB,∴.∠BED=90 6.解：(1)，BD,BE分别为∠ABC,∠CBF的 ∴.∠EDB=90°-62°=28°..∠EDF B 180°-∠EDB-∠FDC=180°-28 平分线，.∠DBG= 2∠ABC,∠EBG= 90°=62° 5.解：(1)15 2∠CBF,·∠DBE=∠DBG+∠EBG= 第十四章全等三角形 (2)①△ABD是“准互余三角形”， 1 理由：：AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC -×(∠ABC+∠CBF)=90° 14.1 全等三角形及其性质 2∠BAD,.'∠ACB=90°，，.∠BAC+∠B= (2),∠ACG是△ABC的外角，∴.∠ACG 基础达标 90°，∴.2∠BAD+∠B=90°，∴.△ABD是 ∠ABC=∠A=70°，.BD,CD分别为1.B2.C3.C “准互余三角形” ∠ABC,∠ACG的平分线，∴.∠DBG= 4.△CBD CB BD∠CDB5.D6.C ②，△ABE是“准互余三角形”，∴，∠EAB+ 7.解：(1)△ADE≌△BCF,AD=8cm 2∠B=90°或2∠EAB+ ∠B=90°，∠B 2∠ABC,∠DCG=3∠ACG,·.∠D= .BC=AD=8cm,又CD=6cm,∴.BD= 24°，，.∠EAB=42°或33°，当∠EAB=42 BC-CD=8-6=2(cm). ∠B-24时，∠EAC=90° ∠B一 ∠EAB ∠DCG-∠DBG= 24,当∠EAB=33°，∠B=24时，∠EAC 2 X(∠ACG (2)'△ADE≌△BCF,∠A=30°，∠E ∠ABC)=35 80°，，.∠B=∠A=30°，∠F=∠E=80°， 90°-∠B-∠EAB=33°，∴.∠EAC=33 7.解：(1)20 2∠EAD=∠C-∠B ,∴.∠BCF=180°-（∠B+∠F)=180°-(30°+ 或24°. (2)∠EPD ∠C-∠B 80°)=70° 13.3.2三角形的外角 理由如下： 能力提升 基础达标 如图，过点A作AF 1.B2.C3.C4.A 1.C2.C3.B4.C5.50° BC于点F,PD⊥BC 5.506.20 6.解：∠BAC=68°，AE是∠BAC的平分线， AF⊥BC,.∠PDC ∠AFC=90°，，∴.PD∥AF 7.解：(1)3 ∠CAE=2∠BAC=34°，'∠ACD= ,.∠EPD=∠EAF, (2)①△ABC≌△DEB,.∠A=∠D .·△ABC的内角和为 35°，∠C=∠DBE=60°.∠A+∠ABC+ 116°，∠ACD=∠CAE+∠AEC,∴.∠AEC 180,,.∠BAC= B E D ∠C=180°，..∠ABC=180°-∠A-∠C= ∠ACD-∠CAE=116°-34°=82 85°.∴.∠DBC=∠ABC-∠DBE=85 7.解：设三角形的三个外角的度数分别为2x, 180°-∠B-∠C, 1 60°=25 4x,3x,则2x十4x十3x=360°， AE平分∠BAC,.∠BAE= 2 ∠BAC= ②.'∠AEF是△DBE的一个外角，.∠AEF 解得x=40°， 90°-∠B+∠C ∠D+∠DBE-35°+60°=95.∠AFD是 4.x=160°， 同时∠BAF=90°-∠B, 2 △AEF的一个外角，.∠AFD=∠A+ .它的最小内角的度数为180°-160°=20° ∴∠EAF-∠BAF-∠BAE=∠C-∠B ∠AEF=35°+95°=130 能力提升 2 8.解：(1)'△ABD≌△EBC,∴.BD=BC 1.A2.C3.D4.B 5.360°6.22.5 ∠EPD,综上所述，∠EPD=-∠C-∠B 3 cm,AB=EB=2 cm..DE=BD-EB= 1 cm 7.:(1)在△ABC中，∠C=30°，∠ABC (3)28 (2)BD与AC垂直.理由如下： 38°，∴.∠CAB=180°-（∠C+∠ABC) '△ABD≌△EBC,.∠ABD=∠EBC.又 180°-(30°+38)=112°，AD是∠CAB的 综合与实践 确定匀质薄板的 点A,B,C在一条直线上，，∠ABD十 平分线，.∠CAD= ∠CAB= 重心位置 ∠EBC=180°. ,.∠EBC=∠ABD=90 2 2 基础达标 ∴.BD与AC垂直 112°=56 1.D2.B (3)直线AD与直线CE垂直.理由如下 (2):BE是△ABD的高，∠BED=90°，又 3.解：(1)平行四边形的重心是两条对角线的 如图，延长CE交AD .∠DBE=20°，，.∠ADB=180° 交点 于点F, △ABD≌ (∠BED ∠DBE)=180°-(90°+20)=70 F ∠ADB是△ACD的一个外角， (2)把模板分成两个长方形，连接各自的中心： △EBC,∴.∠D=∠C .∠ADB= 把模板重新分成两个长方形，得到连接各自中 由(2)知∠EBC= ∠C+∠CAD,.∠C=30°，∴.70°=30° 心的第二条线段， ∠ABD=90°，.在 ∠CAD,∴.∠CAD=40°，：AD是∠BAC的 平分线，∴.∠BAC=2∠CAD=80,在 两条线段的交点G即为重心，如图所示 Rt△ABD中，∠A+ A- ∠D=90°...∠A+ △ABC中，∠ABC=180°-（∠C+∠BAC)= ∠C=90°.∴∠AFC=90°.∴.直线AD与直 180°-(30°+80°)=70°. 线CE垂直 微专题2 14.2 三角形全等的判定 1.1352.不合格 专题训练二三角形角的 第1课时 三角形全等的判定一(SAS) 平分线的夹角模型 基础达标 1.B2.B 1.D 2.A 3.D 4.B 5.AB=CD 3.解：AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA, 能力提升 6.证明：∠BAE=∠CAD,.∠BAE+ 1.A ∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= ∴.∠EAC= 2∠DAC,∠ECA= 2∠FCA. 2.2.2 ∠EAD,在△ABC与△AED中， .∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180° 3.解：设△ABC的重心坐标为(x,y), AB-AE ∠BCA=360°-（∠BAC+∠BCA)=360 A(2,1),B(-3,4),C(-1,-1) ∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS). 2 (180°-∠B)=180°+∠B. 2+(-3)+(-1) AC=AD. x- ∴.∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA)=180 3 3 能力提升 1+4+(-1) 4 2(∠DAC+∠FCA)=180°- 2(180° y= 1.D2.B 3 3.SAS4.905.34° ∴△AC的直心坐标为(-子，吉) 6.解：(1)证明：ABCD,.∠BAE=∠FCD, ∠B)=90°-2∠B=70°，∠B=409 AF=CE,∴.AE=CF 参考答案川川活19