精品解析：吉林长春市第四十五中学2026——2027学年度上学期九年级数学学科B第一次大练习

长春市第四十五中学2026--2027年度上学期 九年级数学学科B第一次大练习 一．选择题 本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 如图，小明想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题 本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若是二次函数，则________． 10. 如图，在中，，，则______． 11. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=_____． 12. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 14. 二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 三．解答题 本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 17. 如图，点、分别在的边上，，． （1）仅用圆规和无刻度直尺，在图中作的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） （2）利用（1）中所画图形，求证：四边形是菱形． 18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 在以上成绩统计表中，__________，__________，__________． （2）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 19. 如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 20. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 21. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． （2）在图②中的边上找到点，连结，使： （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 22. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 23. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 24. 若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）的值为_________； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第四十五中学2026--2027年度上学期 九年级数学学科B第一次大练习 一．选择题 本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 2. 函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 4. 如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 5. 如图，小明想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点定义判定为的中位线，利用三角形中位线定理计算的长． 【详解】解：点分别为的中点，  是的中位线，  ，  ，  ． 6. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 7. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 8. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二．填空题 本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 10. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，直接建立两个已知角的等量关系求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 即． 11. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=_____． 【答案】30°． 【解析】 【详解】由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°． 故答案是：30° 12. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【详解】解：外侧两竹条，的夹角为，半径， ． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 14. 二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 三．解答题 本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 【答案】小王原计划每小时骑行20公里 【解析】 【分析】设小王原计划每小时骑行x公里，根据“提前1小时到达目的地”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设小王原计划每小时骑行x公里，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：小王原计划每小时骑行20公里． 17. 如图，点、分别在的边上，，． （1）仅用圆规和无刻度直尺，在图中作的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） （2）利用（1）中所画图形，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）解：所求图形如图所示． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义与平行线的性质得到，因此，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形，进而可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 在以上成绩统计表中，__________，__________，__________． （2）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而甲组的方差大于乙组的方差， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）先求出乙组数据的方差，根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10， 中间两个数的平均数是，则中位数； 重新排列乙组数据为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10， ， 数据7出现了四次，次数最多，故众数． 【小问2详解】 略． 19. 如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 【答案】证明：， ，， ， ， 即， ， ∵点在圆上， ∴直线与圆相切. 【解析】 【分析】根据等边对等角证明，，根据切线的判定定理证明，即，即可得证结论． 【详解】略 20. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】（1） （2） 千米 【解析】 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【小问1详解】 解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 21. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． （2）在图②中的边上找到点，连结，使： （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：如图所示即为所求， （3）解：如图所示即为所求， 【解析】 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为​意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为​且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【小问1详解】 解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． 【小问2详解】 解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴​， ∴． 【小问3详解】 解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 22. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数与反比例函数的交点即可得出结果； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． ∴的解为； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 23. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 【答案】问题解决： （1）证明：∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）； 方法应用： 【解析】 【分析】问题解决：（1）利用证明，即可得出结论； （2）连接，当三点共线时，有最小值，由（1）知，则有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 方法应用：如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】问题解决： （1）略 （2）连接， 当三点共线时，有最小值， 由（1）知，则有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴； 方法应用： 解：如图作，使得米．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，米， ，， ∴， 在中，米， ∴钢丝绳与长度之和的最小值为米． 【点睛】本题考查两点之间线段最短、矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 24. 若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）的值为_________； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 【答案】（1） （2）当时，；当时，； （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数解析式，解方程求出的值． （2）先得到完整一次函数解析式，根据一次函数得出函数单调递增，分、两种情况，利用纵坐标差为列方程求解 （3）①根据原点中心对称、轴写出矩形顶点坐标，设边长列周长方程，求出后得到点坐标；②先写出矩形各边对应的直线，结合图象分类讨论线段与矩形边仅有两个公共点的边界条件，解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵过， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数的解析式， ∵， ∴随增大而增大， 点横坐标为，纵坐标为， ①当时，最高点为，最低点为， ， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ， 解得； 综上，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：①如图， ∵，矩形以原点为中心，轴， ∴矩形对角顶点：，，， ∴，， ∵矩形周长为， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 故点坐标为或 ②由①可得矩形的各顶点：，，， ∴直线为， 如图，当不在点左侧时，且与轴不重合时，线段与矩形的边有且只有两个公共点， ∵点横坐标为， ∴， 解得， ∵与轴不重合时， ∴， ∴， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $