16.3乘法公式 第1课时 平方差公式课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“温故知新”回顾多项式乘多项式法则，结合“创设情景”的面积问题与“探究新知”的具体计算实例，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解公式推导脉络。 其亮点在于融合数学眼光中的几何直观与数学思维中的推理意识，通过数形结合（阴影面积推导公式）和从特殊到一般的归纳（计算实例观察规律），培养学生抽象能力与运算能力。分层练习涵盖符号变形、整体代换等题型，助力学生提升公式应用熟练度，教师可借助清晰流程与梯度资源提高教学效率。

第十六章 整式的乘法 16.3乘法公式 第1课时 平方差公式 学习目标： 1.经历平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构特征，能准确识别符合公式特点的整式乘法题型，熟练运用公式进行简便计算与代数式化简。 2.通过多项式乘法运算归纳得出公式，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，提升公式识别能力与快速运算能力。 3.养成观察式子结构、套用公式规范解题的习惯，克服乱用公式、混淆公式结构的易错问题，提升整式运算的准确性与熟练度。 教学重点：理解平方差公式的结构特征，熟练、正确地运用平方差公式进行计算和化简。 教学难点：精准识别平方差公式的适用结构，灵活处理符号、底数变形、整体代换的复杂题型，区分平方差运算与普通多项式乘法。 多项式乘多项式 运算法则 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 文字表示：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 计算原理：乘法分配律转化为单项式×多项式的运算 (x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab 温故知新 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.体现了转化的思想。 (a+b)(m+n) = am +an +bm +bn 温故知新 创设情景 a a S= a·a=a2(m2) 5 a a 5 S= (a-5)(a+5)= （a2-25）m2 探究新知 计算 (1)(x+1)(x-1)=_______； (2)(m+2)(m-2)=______； (3)(2x+1)(2x-1)=_______. 1.观察等式左边的两个二项式有什么特点？ 2.观察等式右边的多项式,你发现了什么？ x2-1 m2-4 4x2-1 探究新知 1.等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反项。 2.等号右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） (a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2 (a+b)(a-b)= a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 讲解新知 思考：能运用平方差公式计算的式子有什么特点？ (1)两个项数相同的多项式相乘，并且这两个多项式内既有完全相同的项a，也有互为相反项b。 (2)等号右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______； (2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是______，宽是______，面积为________________. a2-b2 a+b a-b (a+b)(a-b) 数形结合 例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) 解：原式＝ (－x)2 － (2y+z)2 ＝x2 -(2y+z)(2y+z) 解：原式＝(3x)2－22 ＝9x2－4 (2)（－x+2y+z)(－x－2y-z) 方法小结：应用平方差公式计算的条件： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 例题分析 ＝x2 -4y2-yz-z2 例2. 计算 (x-1)(x+1)(x2+1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 原式= (x2-1)(x2+1) = x4-1 解： 原式= y2-4-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1 (1) (2) 102 98 原式=(100+2) (100-2) =1002-22 =10000-4 =9996 (3) 例题分析 (4) 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005 = 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042 － （20042－12 ) =1 = 20042 例题分析 例 例 解：原式=x4-(1-x4) =2x4-1 当x=-2时，原式=2×（-2）4-1 =2×16-1=31 解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）+1 = （22-1)（22+1)（24+1）+1 = （24-1)（24+1）+1 = 28-1+1 = 256 平方差公式 注意 内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个项数相同的多项式的积才有可能应用平方差公式； 对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. (a+b) (a-b)=a2-b2 课堂小结 1.下面的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎么改正？ (1) (2) (3) (4) (x+2)(x-2)=x2-2 (-a-2)(a-2)=a2-4 (x+2y)(-x-2y)=x2-4y2 (3a+4b)(3a-4b)=9a2-4b2 x2-4 4-a2 -x2-4xy-4y2 9a2-16b2 ( ) ( ) ( ) ( ) × × × × 分层练习 3. 若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为______. 4. 已知x-y=5，则x2-y2-10y的值是______. 5. 若a2＋a-2=0，则(a+2)(a-2)+a(a+2)的值是______. 7cm 25 0 分层练习 2. 若(a+1)(a-1)=35，则a的值是______ ±6 6.计算： (1) (2) (3) (4) 解： (a+3b)(a-3b) 原式=a2-(3b)2 =a2-9b2 (3+2a)(-3+2a) 原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2-32 =4a2-9 (xy+1)(x2y2+1)(xy-1) 原式=(xy+1)(xy-1)(x2y2+1) =(x2y2-1)(x2y2+1) =x4y4-1 (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6) =3x2-5x-10 分层练习 7.运用平方差公式计算： (1) (2) 51×49 200 ×199 原式=(50+1)(50-1) =502-12 =2500-1 =2499 解： 原式=(200+ ) (200- ) =2002- ( )2 =40000- =39999 分层练习 (2+1)(22+1)(24+1) (3) 原式=(22-1)(22+1)(24+1) =(24-1)(24+1) =28-1 =255 解： (4) 102-92+82-72+···+ 22-12 原式=(10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7) +···+(2+1)×(2-1) =10+9+8+7+···+2+1 =(10+1)×10÷2 =55 原式=(10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7) +···+(2+1)×(2-1) =10+9+8+7+···+2+1 =(10+1)×10÷2 =11×10÷2 =110÷2 =55 分层练习 9. 已知a-b=2，b-c=2，a+c=14，求a2-b2的值. 解：∵b-c=2，a+c=14，∴a+b=16 又∵a-b=2，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=16×2=32 例题分析 8.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， Lavf58.20.100 Lavf57.83.100 $