27.2（第2课时）反比例函数的图象和性质的综合运用（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

### 基本信息 聚焦反比例函数图象性质，通过四类型分层设计，从基础图像判断到综合几何应用，梯度递进强化知识迁移与推理能力。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一|一次/二次函数与反比例函数图像综合判断|10道选择，结合函数系数与图像分布，培养几何直观与抽象能力| |类型二|函数值与自变量大小比较|28道选择填空，通过点坐标分析增减性，强化推理意识与运算能力| |类型三|面积问题|18道选择填空，结合矩形、三角形等图形与k的几何意义，发展空间观念| |类型四|一次函数与反比例函数几何综合|24道解答与选择，涉及交点、面积计算及不等式解集，提升模型观念与应用意识|

27.2(第2课时)反比例函数的图象和性质的综合运用（解析版） 目 录 类型一、一次/二次函数与反比例函数综合判断 1 类型二、比较反比例函数值或自变量的大小 9 类型三、面积问题 21 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 37 类型一、一次/二次函数与反比例函数综合判断 1．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 3．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 4．二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即，然后根据一次函数与反比例函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即， ∴反比例函数中，图象经过第一、三象限； 一次函数中，所以该函数图象经过第一、二、三象限； ∴符合题意的只有C选项； 故选:C． 5．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 6．已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，判断反比例函数图象所在象限，一次函数与反比例函数图象综合判断等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据，分、两种情况讨论，分别得出两个函数图象的大致位置，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，一次函数过第一、二、三象限， 反比例函数在第一、三象限，故A符合； 当时，一次函数过第二、三、四象限， 反比例函数在第二、四象限，没有选项符合， 故选：A． 7．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 8．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直线的方向以及与y轴交点、双曲线的位置决定系数k的符号．是解题的关键． 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】 解：A、， 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值相同，故此选项正确； B、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过二、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项错误； C、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项不正确； D、 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三象限，过原点， 则，， k的取值不同，故此选项错误． 故选：A． 9．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 10．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 类型二、比较反比例函数值或自变量的大小 11．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 12．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 13．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 14．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 15．若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 16．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 17．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的符号判断函数图象所在象限，再根据各点横坐标的范围比较值大小，用到性质：时，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】∵ 函数中，， ∴ 函数图象的两个分支分别在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、在第二象限，点在第四象限，可得，， ∴ ． 18．反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的性质比较函数值大小，当时，反比例函数图象在第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，先判断各点所在象限，再比较大小． 【详解】解：∵反比例函数为 ，且 ， ∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ∵点 ，的横坐标都小于， ∴ 都在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点 的横坐标， ∴在第四象限， ∴， 综上可得：． 19．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，时函数图象位于第二、四象限，同一象限内随增大而增大，先判断三点所在象限，再比较函数值大小. 【详解】解：∵ 反比例函数， ∴ 函数图象分别在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大. ∵ ，点D、E都在第二象限， ∴ ， ∵ ，点F在第四象限，∴ , ∴ . 20．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 22．已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定反比例函数的图像位置与增减性，再结合各点横坐标的符号判断的正负，最后比较同一象限内的函数值大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵，，， ∴点在第二象限，点在第四象限． ∴，，，可得且． 又∵，根据函数增减性可得． ∴三者大小关系为． 23．已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 24．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 25．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵， ∴该反比例函数图象在第二象限和第四象限，且在每个象限内，随着增加而增加， ∵，在该反比例函数图象上， ∴点、在第四象限，且， ∴． 26．若点，都在反比例函数上，且，则，的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再结合判断两点所在象限，根据象限内点的坐标特征比较和的大小. 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ，即． 27．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出和，再计算二者的差，结合判断差与的大小关系． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 28．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】可证明，则反比例函数的图象位于第二、四象限，根据点A和点B的横坐标可确定点A和点B所在的象限，进而得到的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 点的横坐标为， 点在第四象限，可得， 点的横坐标为， 点在第二象限，可得， ，即． 29．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 30．若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，的横坐标都小于，两点都在第二象限，且， ． 31．如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数的表达式，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数的表达式即可； （2）分别求出当和当时的自变量的值，根据反比例函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵反比例函数（）在第一象限内随着的增大而减小， ∴当时，x的取值范围为． 32．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 33．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式； （2）将点代入函数中，求出a，b，c的值进行比较． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴； （2）解：∵点，，都在图象上， ∴， ∴． 34．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征． （1）将、分别代入反比例函数解析式，可得的值，再用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据“、、为双曲线上的三点”，可求出，，，即可比较它们的大小． 【详解】（1）解：把代入得：， ， ， 把代入得：， ， ， 把，代入得： ， 解得， ； （2）解：、、为双曲线上的三点， ，，， 而， ． 类型三、面积问题 35．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 36．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 37．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 38．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 39．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 40．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设点，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意可设点， ∵轴， ∴， ∴； 故选A． 41．如图，为等边三角形，点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的面积为（   ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和等边三角形的性质是解题的关键． 过点A作于点C，根据等边三角形，得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于点C，    ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵反比例函数 ∴， ∴的面积． 故选：B． 42．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 43．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 44．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 45．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 46．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． 【答案】 【分析】作 轴， 轴，垂足分别为 ，根据反比例函数 值的几何意义，得 ，求出 的值即可． 【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为 ， ∵边 的中点 横坐标为 ， ∴， ∴点 纵坐标为， ∵平行四边形， ∴点 纵坐标为， 则， 由， 根据反比例函数 值的几何意义，得， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 47．如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，得到，然后利用反比例函数系数k的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵轴于点A， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据轴，，得出四边形是矩形，根据矩形的性质及，设，则，，根据点在反比例函数的图象上得出，，根据列方程求出的值即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 49．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 51．如图，反比例函数的图象经过的顶点B，边交y轴于点C，且C为的中点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例，三角形中线的性质，过B作轴，根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据平行线分线段成比例定理可求出，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过B作轴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 52．如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数k的几何意义是解决本题的关键． 延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据平行四边形的性质，易证，根据反比例函数k的几何意义，可知，，即可求出的面积． 【详解】解：如图所示，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， 的面积． 故答案为：4． 53．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 轴， ， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点， 四边形是矩形， 点在函数的图象上， ， ， 故答案为：． 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 54．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 55．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，设设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 56．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 57．如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 58．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 59．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 60．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 61．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 62．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 63．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 【答案】 【分析】连接，，求出线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，设，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B与点关于直线对称， ∴，． ∵， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 则点纵坐标为． 设， ∵， ∴， 解得， ∴D点纵坐标为． 64．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 65．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 66．如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 67．如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果． 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 68．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 69．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先将点B代入求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求解； （2）即一次函数值大于反比例函数值，观察图象，写出x的取值范围即可求解； （3）设一次函数与y轴交于C点，可以看成由底均为的、组成，根据三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 70．如图，已知反比例函数与直线在同一平面直角坐标系中． (1)若两个函数图象只有一个公共点，求值； (2)若两个函数图象交于、两点，求线段中点的纵坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）将函数图象的交点问题转化为一元二次方程根的问题，再利用根的判别式求出值； （2）利用根与系数的关系求解线段中点的横坐标，再代入一次函数解析式求得纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，化简得， 又只有一个公共点， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即， ，解得． 答：的值为． （2）解：设、，则，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得， 设线段的中点为， 为线段中点， ． 点在直线上， 将代入直线方程可得：． 答：线段中点的纵坐标为． 71．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) ，的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，先把已知点代入反比例函数求值，再求出点坐标，最后把点和点坐标代入，求一次函数表达式； （2）函数值比较大小，当一次函数和反比例函数的自变量相同时，要求函数值，利用图像法观察可进行判断； （3）最短路径问题，作关于轴的对称点，把转化为，当，，三点共线时，最小 . 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象过点， ∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则， ∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵， ∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）∵点在直线上, 且横坐标为， ∴，即， ∵直线与轴交于点， ∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴， ∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 72．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 73．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)求． 【答案】(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）先求出点M坐标，再代入中求解即可； （2）联立方程组求得两个函数的另一个交点坐标，结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部位的点的横坐标的取值范围即可解答； （3）求出点B的坐标，然后利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴， 将代入中，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：解方程组，得或， 经检验均为所列方程组的解， ∴两个函数的另一个交点坐标为， 由图知，当时，的取值范围为或； （3）解：∵当时，， ∴，则， ∴． 74．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 75．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 1．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 4．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 6．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 7．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 8．如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的特殊性质，可分别求出线段、、的长度，设，用含有的代数式表示点和点的坐标，再将两点坐标分别代入反比例函数关系式，即可建立方程求出的值，进而确定反比例函数中的系数． 【详解】解：过点M作，垂足为N，则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴点，， 又∵反比例函数的图象恰好经过点F，M， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 10．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)；面积4 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． （3）解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 11．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为2或6 【分析】（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ∵， ， ，， ∴， 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； ②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ∴，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 1．如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； (3)点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值求出点的坐标； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据，进行求解即可； （3）设点，分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； （2）解：设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， （3）解：设点， 、 ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或. 2．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【答案】(1) (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据题意得出轴，轴，确定轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，设点坐标为，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点坐标为，点坐标为，得出坐标为，点坐标为，设直线的函数表达式为，确定直线的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接交于点，根据矩形的性质得出，确定，，再由等边对等角得出，，利用三角形外角的性质及等量代换得出，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； （2）略． （3）略． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2(第2课时)反比例函数的图象和性质的综合运用（原卷版） 目 录 类型一、一次/二次函数与反比例函数综合判断 1 类型二、比较反比例函数值或自变量的大小 4 类型三、面积问题 7 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 12 类型一、一次/二次函数与反比例函数综合判断 1．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 类型二、比较反比例函数值或自变量的大小 11．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 12．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 13．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 14．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 15．若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 16．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 17．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（     ）． A． B． C． D． 18．反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 19．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 20．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 22．已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 23．已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 24．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 25．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 26．若点，都在反比例函数上，且，则，的大小关系是______（用“”连接）． 27．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 28．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 29．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 30．若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 31．如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 32．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 33．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列． 34．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系． 类型三、面积问题 35．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 36．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 38．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 39．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 40．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 41．如图，为等边三角形，点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的面积为（   ）    A．8 B． C．4 D． 42．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 43．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 44．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 45．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 46．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． 47．如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 48．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 49．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 50．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 51．如图，反比例函数的图象经过的顶点B，边交y轴于点C，且C为的中点，则________． 52．如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是________． 53．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为______． 类型四、一次函数与反比例函数的几何综合 54．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 55．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（    ） A． B． C． D． 56．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 57．如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 58．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 60．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 61．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 62．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 63．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 64．如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 65．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 66．如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 67．如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 68．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 69．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 70．如图，已知反比例函数与直线在同一平面直角坐标系中． (1)若两个函数图象只有一个公共点，求值； (2)若两个函数图象交于、两点，求线段中点的纵坐标． 71．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 72．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 73．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)求． 74．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 75．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 1．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 6．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 7．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 8．如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 10．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 11．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 1．如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； (3)点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 2．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $