6.2 反比例函数的图象与性质（分层作业）数学北师大版九年级上册

6.2 反比例函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）反比例函数的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．2 C．3 D．1 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 6．（24-25九年级上·全国·期末）若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，轴，反比例函数的图象经过线段的中点C，若的面积为6，则k的值是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 8．（2025·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 9．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若反比例函数的图象有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 10．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是 ． 11．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知反比例函数，结合图象可得：当时，y的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为 ． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 16．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 1．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点，点分别在轴和轴上，轴，轴，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 4．（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(   ) A． B． C． D． 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D．若矩形的面积为8，则k的值为（   ）． A．8 B．4 C．2 D． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若反比例函数的图象上有，两点，则（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接、，若的面积为2，则（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏常州·期末）小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图象与性质，得到的结论中正确的是（   ） A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图象在第一、三象限 C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D．它的图象是轴对称图形，对称轴是轴 10．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支过的中点D交于点E，连接，若的面积为8，则 ． 10．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为 ． 12．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点P为反比例函数图象上一点，连接，，，则有，求点P的坐标． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D在反比例函数的图象上，对角线平行x轴，坐标原点O为的中点，若，则k的值为（   ） A．50 B．75 C．90 D．105 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 3．（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 反比例函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数的图象特点求解即可． 【详解】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是 故选：D 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数与几何图形面积的关系，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）反比例函数的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质，当系数为正时，随的增大而减小，需满足，即，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小， ∴，解得， 选项中只有A选项满足，而B、C、D选项的值均不小于1，不符合条件， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，故图象经过点，正确； B：因，反比例函数图象位于第一、三象限，正确； C：当时，函数在每一象限内随的增大而减小，因此，选项C中“随的增大而增大”的结论错误； D：当时，的值趋近于0且小于1（如时），故，正确； 故选：C． 6．（24-25九年级上·全国·期末）若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，根据即可判断结果． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ， 点在第四象限， ， ， 点，都在第二象限内， ， ． 故选：B． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，轴，反比例函数的图象经过线段的中点C，若的面积为6，则k的值是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】如图，连接， ∵轴，反比例函数的图象经过线段的中点，若的面积为6， ， 故选：B． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的增减性解答即可，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每个象限内随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）若反比例函数的图象有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据反比例函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，，以此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴，即， ∵图象在第一象限， ∴． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知反比例函数，结合图象可得：当时，y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象，找出图象位于直线左侧部分的点的纵坐标取值范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，y的取值范围是或， 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，正确理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数k值几何意义进行解答即可． 【详解】解：如图，过点A作轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 16．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． （1）设点A的坐标为，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论； （2）首先由，得到在每个象限内，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为． ∵长方形面积为12，                                      ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 1．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点，点分别在轴和轴上，轴，轴，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、矩形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点P在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 3．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 4．（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， 在和中， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选：D． 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D．若矩形的面积为8，则k的值为（   ）． A．8 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过作于，设，得，，可得，即得，，进而根据矩形的面积列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若反比例函数的图象上有，两点，则（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，结合各选项条件逐一分析． 【详解】解：A、当时，和均为负数，点和均在第三象限，在第三象限内，增大时，的值减小，例如，，则，，此时，选项A正确； B、当时，可能存在的情况，例如，，则，，此时但，故选项B错误； C、当时，为负数，为正数，此时，，显然不成立，选项C错误； D、当时，需和均为正数且，但在第一象限内，增大时减小，若，则，导致，矛盾，故选项D错误． 故选：A． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接、，若的面积为2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数比例系数k的几何意义求出m，n的值，然后代入计算解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：D． 9．（24-25八年级下·江苏常州·期末）小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图象与性质，得到的结论中正确的是（   ） A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图象在第一、三象限 C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D．它的图象是轴对称图形，对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数，函数解析式，分析函数自变量的取值范围、图象位置、增减性及对称性，逐一验证即可． 【详解】解：A：函数中，分母在时为0，无意义，故自变量取值范围是，而非全体实数，故不符合题意； B：当时，，位于第一象限； 当时，，图象位于第二象限， 因此图象在第一、二象限，而非第一、三象限，故不符合题意； C：分情况讨论： 当时，，增大则减小， 当时，，增大（趋近于0）时，减小，增大，故不符合题意； D：将替换为，得，函数值不变，故图象关于轴对称； 故选：D． 10．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支过的中点D交于点E，连接，若的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与几何的综合题，求得点E的坐标为是解决问题的关键．设，则，根据点D在反比例函数的图象上，可得D点的坐标为，所以；过点E作于点N，交于点M，则，已知的面积为8，，根据三角形的面积公式求得，即可求得；设，则，证明，根据相似三角形的性质求得，即可得点E的坐标为，根据点E在反比例函数的图象上，可得，解方程求得k值即可． 【详解】解：设，则， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 过点E作于点N，交于点M，则， ∵的面积为8，， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过作轴于点，过作轴于点，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得的值． 【详解】解：， ， ， 可设， ， ， 过作轴于点，过作轴于点， ；， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①减小，② (3)①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点P为反比例函数图象上一点，连接，，，则有，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，可求得，于是可得，将代入反比例函数，可求得，于是可得反比例函数的解析式； （2）先求出、两点坐标，进而求出、的长，过点作轴于点，过点作轴于点，由可得，即，解得，因而点的纵坐标为或，将或代入，可得或，由此即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，将代入，得： ， ， 将代入反比例函数，得： ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：对于一次函数， 令，则， 解得：， ， ， 当时，， ， ， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 即：， 解得：， 点的纵坐标为或， 将或代入，得： 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积公式，解一元一次方程，求一次函数的函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______． 【答案】(1)第四组， (2)图见解析 (3) 【分析】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式； （2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可； （3）令，代入，得，由此即可求出的值． 【详解】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下： 通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了）， 设，把代入，得：， ， 关于的函数表达式为； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：令，代入，得：， ， 长方体A的受力面积至少为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，求自变量的值，用表格表示变量间的关系等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D在反比例函数的图象上，对角线平行x轴，坐标原点O为的中点，若，则k的值为（   ） A．50 B．75 C．90 D．105 【答案】B 【分析】过点作轴点，由菱形的性质可得，又由轴，是的中点，，可证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点， 是的中点，是菱形， ， ， 轴，O为的中点 ∴， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∵， ， ， ∵，均垂直轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 【答案】（）；（）一、三；（）；实际应用： 【分析】（）根据分母不等于即可求解； （）根据题意即可判断求解； （）仿照深入思考解答即可求解； 实际应用：设，由等高三角形可得，即可得，得到，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了配方法在最值问题中的应用，函数的基本知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：（）函数的自变量的取值范围是， 故答案为：； （）∵当时，，当时，， ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （）当时， ， ∴当时，即时，有最大值是， 故答案为：； 实际应用：设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，有最小值是， ∴四边形面积的最小值为． 3．（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 (3)点P的坐标为或，， 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图象上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数图象过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$