河北廊坊市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数学参考答案 1.B【命题意图】本题考查集合，要求考生掌握全集的概念，会进行集合的交集、补集运算 【解题分析】依题意，M={0,3,4},N={一1,0,3}，所以M∩N={0,3}. 2.A【命题意图】本题考查复数，要求考生掌握复数的几何意义，会进行复数的乘法运算和求复数 的模 【解题分析】依题意知a>0,l(a-)l=|(a十i)[a-(a-i)]|=|-1+ail=√1十a2=2, 所以a2=3,得a=√3（舍去a=-√3）. 3.D【命题意图】本题考查统计数据的数字特征，要求考生掌握方差的概念及求法， 【解题分析】该组数据的平均数为120十片(0-2-15+9+1一5)=118，所以方差为石(2+0+ 132+112+32+32)=52 4.D【命题意图】本题考查三次函数的性质，要求考生掌握三次函数极值的求法， 【解题分析】由fx)-号x+br求导，得f'(x)=2x+b,则f'(反)=0，得6=-4，所以f) x(x2-6),根据三次函数的性质，可知f(x)的极大值为（一2）=-2 2 (2-6)=8 3 31 5.B【命题意图】本题考查实际背景下的平面向量，要求考生理解向量的概念，掌握求解向量模的 问题的方法 【解题分析】易知，当0=30时，F,|=√3；当0=60时，1F2|=2.因为F1与F2的夹角为60°一 30°=30°，所以|F1+F212=|F112+2F1·F2+|F212=(5)2+2×√3×2cos30°+2=13，即 |F1+F2|=13. 6.C【命题意图】本题考查圆柱体中直线与平面所成的角，要求考生掌握线面角的求法. 【解题分析】如图，连接BO,则BOOA',设B'C的中点为D,连接OD, 则O'DLB'C',因为BB'垂直于圆柱底面，O'D在底面内，所以BB'⊥O'D, 从而OD⊥平面BCCB',连接BD,则BD是BO在平面BCCB'上的射 影，所以∠OBD是线OA'与截面BCC'B'所成的角，即∠OBD=石.因为 3 B0=VAA+7,0D-,所以m∠OBD O'D BO√AA+r 解得AA'=√2r,所以圆柱的母线长为√2r 7.D【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，要求考生掌握双曲线离心率的求法， 【解题分析】依题意，当△AMF是以AF为斜边的等腰直角三角形时，其面积最大.设AF的中 点为N,△AMF是等腰直角三角形，MN1一号1AF1=士，S△w-专1AFI·MN1= a+o.所以a+e-b,即a+e2-25=2e2-2a,整理得c-2ac-3a2-0,因为e 4 C,所以e2-2e-3=0,解得e=-1(舍去)或e=3. 8.C【命题意图】本题考查指对幂函数及运算，要求考生会进行指对幂的运算，会利用数形结合的 思想比较代数式的大小 【解题分析】因为b-1=log2a,所以2=2a. 4 因为号h3a-1n2.所以4h32an解得2ae In 4 ln√3 In 4 3 y=n12 n12,所以n6=2a1°-1，解得c2=ln12,即2a=2=c2 In 4 v=2x =ln12 因为21n12<4,如图，在同一平面直角坐标系中，画出函数y= 2x,y=2,y=x2,y=ln12的图象，所以a<b<c. 9.ACD【命题意图】本题考查等差数列，要求考生掌握等差数列的基本性质，会求通项公式，会处 理数列项的正负值问题， 【解题分析】对于选项A,因为a3十a1=2a7,所以由a3十a7十a1=18,得3a7=18,即a7=6,所 以a2十a12=2a7=12,选项A正确；对于选项B,因为a1=一8，所以a7=一8十6d=6,得d= 所以a=一8十子m-1D=子一运项B结误：对于症项C依题意知 7 31 a50, 即 a40, ,s,得号d号即23选项C正瑜：对于连顶D.的为，=a,十d所以 a7-2cd>0, 。=1合，则2≤1一合<3，解得-12<a,≤-6，选项D正确故选ACD 6 10.BCD【命题意图】本题考查解三角形，要求考生掌握正弦定理、三角恒等变换以及基本不等式 的应用 【解题分析】由6cosA=c,结合正弦定理，得sinC=sin(A十B)=sin Beos A,展开整理得 sin Acos B--(-1))sin BeosA(*).当k=1时，osB=0,则B-受，选项A错误：若k= 2,则sin Acos B=- 合sin BeosA,因为csA-g>0,simA>0,sinB>0,所以cosB<0,即 B为钝角，选项B正确：当k=2时，sin Acos B=sin BeosA,即sin Acos B-sin Bcos A=0, 得n(A-B)=0,所以A=B,进项C正确：当k=吉时，由（关）式可知co AcsB≠0，得 tanA=2tanB,因为A,B是△ABC的内角，所以A,B均为锐角，且A>B,所以tan(A一B) tan A-tan B tan B 1 ，当且仅当amB=时，等号成 1+tan Atan B 1+2tan2B tanB十2tanB 22 4 ,所以tan(A-B)的最大值为，选项D正确.故选B 11.ABD【命题意图】本题考查抽象隐曲线，要求考生会判断曲线的对称关系，会判断曲线与直线 的位置关系 【解题分析】方法一：令x十y=s,对于选项A,由y=1一2x,得x十y=1一x=s, 则x2+y2=(x十y)2-2.xy=s2-2(1-s)(25-1),即coss=5s2-6s+2. 同理，对于选项B.得Q0ss=言+号 2 s+。对于选项C 2.5 得c0ss=5s2-12s+8. B 对于选项D,得coss= 9s8 - ,在同一平面直角坐 标系中，如图所示，分别作出各选项中函数y=coss与其对 应的二次函数的大致图象，可以发现A,B,D选项均有交 V=COS S 点，C选项没有交点.故选ABD. 方法二：设点(m,n)为曲线C上的点，因为点(-m,一n)满 足曲线C的方程，所以曲线C关于原点中心对称；因为点(，m)满 足曲线C的方程，所以曲线C关于直线y=x对称；因为点（一n, 一m)满足曲线C的方程，所以曲线C关于直线y=一x对称.设x 0.5 十y=t,在平面直角坐标系中作出方程组 (x2+y2=cos t, 表示的图 x+y=t 象的交点（注：不妨取1=0，若，聋等，为了便于估值，可取元≈3），再 根据对称性可以作出曲线C的大致图象，如图所示，另外根据大致图象，还可以发现曲线C在 由直线y=x士2和y=一x士围成的矩形区域内，再结合四个选项中的直线，可知直线y一 1-受与曲线C没有交点，故选ABD, 12.5【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的标准方程和几何意义. y 【解题分析】由 2, 得y2=4y,得y=0或y=4,所以p=8,则点P到抛物线C的焦点的 y2=2px, 距离为1+号=1+ 8 =5. 11 13. 【命题意图】本题考查基本不等式的应用，要求考生灵活应用基本不等式求最值. 6当 【解题分析】由8a+962=4+12ab,得4=(3b-2a)2+4a≥(36-2a+2a_962 2 且仅当3b-2a=2a,即4a=3b时，等号成立， 则2a-3b-36-14-96)-36=1-4b≥1-2×8=号 14.35 【命题意图】本题考查多面体与多球的相切问题，要求考生掌握正三棱柱有内切球的条 件，会解决多球相切问题， 【解题分析】三棱柱两底面中心连线O,O2的中点是球O的球心，如图， 延长C0,交于AB的中点D,球0的半径R=0,0,=0,D=1, B 则三棱柱的底边长a=2√5，O,C=2,连接OC,过点O作OE⊥平面 E B,C,CB于点E,则E是对角线B,C的中点，易知球心O在直线 A C OC上.作O'F⊥平面B,C,CB于点F,在Rt△CO'F和 Rt△COE中，OC=√5，OO'=R+r=1+r,OE=R=1,OF=r,由 能瓷-5解 1 5 2 15.【命题意图】本题考查三角函数，要求考生掌握三角函数的周期性、单调性等性质，会利用三角 恒等变换化简代数式，会利用三角函数的性质解决值域、不等式等问题. 【解题分析】(1)f(x)=2cosx(cos wx一sin wx) =2c0s2ux一2 cos wxsin wx… 1分 =cos 2wx-sin 2wx+1 2分 =2cos(2x+子)+1. 3分 由函数∫(x)的最小正周期为4x,得T--4x,解得w= 2 4分 (2》由（1）知f(x）=厄c0s(分x+）+1.… 5分 因为x∈[-]，所以吃x+∈[o,] 6分 所以cos(分x+)∈[-9,1]所以0f(x)<反+1， 7分 所以函数f(x)的值域为[0,2+1]. 8分 1 1 1 1 (3)由1)知g(x)+f(x)=sin2x+cos2x+cos2x-sin2x+1=2cos2x+1,…10分 1 因为f(x)十g(x)≥0，所以cos2x≥一2： …11分 所以2元一≤7≤2x+号，k∈Z.得x一≤≤km+7k∈Z.…12分 2π<1 所以该不等式的解集为[红一号，kx十]，k∈Z… 13分 16.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生能解决平面图形的折叠问题，会证明空间图形的平 行、垂直问题，会求空间中的距离和角。 【解题分析】(1)设BF,CE的中点分别为M,N,连接AM,DN, 因为平面ABF⊥平面BCEF,平面CDE⊥平面BCEF, 所以AM⊥平面BCEF,DN⊥平面BCEF,所以DN∥AM.…2分 又CEBF,且BF,AM是平面ABF内的两条相交线， CE,DN是平面CDE内的两条相交线， 所以平面ABF平面CDE.… 4 分 (2)连接MC,可得AM⊥EC,又CE⊥MC, 所以CE⊥平面ACM,则CE⊥AC,… 5分 在Rt△ACM中，AC=√(W3)2+12=2, 所以S△CE= 5AC.CE-3×2X1-=1. 6分 设点D到平面ACE的距离为h,则VDAx= 1 h 7分 易知CM⊥平面CDE,所以CM是三棱锥A-CDE的高， 所以VACDE= 12 8分 由VACDE=VD-ACE得2=3h,所以方-3 所以点D到平面ACE的距离为 9分 (3)如图，以M为原点，分别以MB,MC,MA所在的直线为x轴、y 轴、之轴建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),A(0,0,√3)，C(0,1,0), E(-1,1,0),F(-1,0,0), 所以AC=(0,1,-√3)，AE=(-1,1,-√5)，EF=(0,-1,0),… ……10分号 设平面ACE的法向量为m=(x,y,之)， Am=0,y-=0, 则 即 AE·m=0,-x+y-√5之=0， 可得x=0,可取y=√5，=1， 12分 所以m=(0,5,1). 设平面AEF的法向量为n=(a,b,c), EF·n=0,-b=0, 则 即 Ai.n=0,-a+b-5c=0, 可得b=0,可取a=-√3，c=1, 所以n=(一√3,0,1).… 14分 设平面ACE与平面AEF所成的角为0，则cos0=mm-2X2一4' |m·n11 所以平面ACE与平面AEF夹角的余弦值为： 15分 17.【命题意图】本题考查独立事件的概率，要求考生理解独立事件的概念，能够利用分类讨论解决 独立事件的概率问题. 【解题分析】(1)依题意，X的可能取值为0,2,3,4,5,7， 2分 P(x=0)=(1-)×1-号》°-2P(x=2)-(1-)×号×(1-号)×2-号…3分 pX=)=子×1-号)产-6，P(X=4)=1-)×号×号-3 …4分 PX=)-×号X1号)x2-日PX=)-×号×号- 6分 则X的分布列如下： X 0 2 3 4 6 7 1 12 9 8分 1 1 (2)设乙同学的得分为Y,同理(1)知P(Y=5)= PY-7)= 10分 因为P(X≥4)= 1+1+1=5 3T999 12分 P(Y=5)·P(X=4) 所以乙同学最终赢得比赛的概率为 + P(X≥4) P(Y=7)·[P(X=4)+P(X=5)]_147 P(X≥4) 15T4545 15分 18.【命题意图】本题考查椭圆，要求考生会求椭圆的标准方程，会判断直线与椭圆的相切，会利用 方程思想解决椭圆问题. 【解题分析】(I)设M(xMyM),N(0,yM),P(x,y),依题意知y=yM,…1分 由Ni-M(t>0),得xw=t(x-xM),所以xM=1+, 2分 因为点Mxw)在圆x+y=1上.所以十)t+y=1, 3分 t21 由椭圆C的焦距为25，知1十)又>0，解得1=1或1=一3（舍去）.…5分 （2由1)知椭圆C的方程为十)y=1, 依题意，△Q,QQ2是等腰直角三角形，不妨设直线Q,Q的方程为y=x十m(m>1),…6分 代入椭圆C的方程，整理得5.x2+8m.x十4m2-4=0, 由△=64m2-4X5X4(m2-1)=0,得m2=5,… 8分 -8×/5 4 8 所以xQ= …10分 2×5 ，则△Q,QQ:的斜边长为2lxa,1= /5 厅以△Q,QQ,的面积s三7×9X4-16 555 11分 (3)由椭圆C的方程为+y2=1,知A(-2,0),A2(2,0),F(一3,0)，F2(5,0), 设E(x,y0),直线A,E的斜率为k1,直线A2E的斜率为k2,…12分 则直线AE的方程为y=k,(x+2),令x=0,得D(0,2k1), 则直线A2E的方程为y=k2(x一2)，令x=0,得H(0,一2k2), 13分 则直线HF,的方程为y= -2k2(x+3),① √5 则直线DF2的方程为y= 2k(x-5), ② 14分 ①②两式相乘，得y二31k2(x2一3 因为点E(xo,yo)在椭圆C上，所以x+4y=4,即4y=4一x, …15分 所以k1k2= x0十2x0-2x8-44 叉因为点G的坐标为(u,o).所以v2=号×(-寻）×(u2-3).即2+32=3…16分 所以u2+3u2为定值3.… 17分 19.【命题意图】本题考查导数、数列的综合应用，要求考生能将新定义问题转换为常规问题，综合 利用导数和数列知识解决问题. 【解题分析】(1)因为g(x)=f(x)-x2=e十ex-x2 所以g'(.x)=e'-ex-2x,令h(x)=e-ex-2.x, 1分 则h'(x)=e+e-2=e-1)2 >0,…2分 所以h(x)在R上单调递增.又因为h(0)=0,… 3分 当x<0时，h(x)<0;当x>0时，h(x)>0.… 4分 所以g(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增. 。00000000。 5分 (2)(i)由(1)易知函数f(x)=g(x)十x2在[0，十∞)上单调递增， 由f(a1)=e1十e1=2,解得a1=0,因为{an}是递增数列， 6分 所以要证明an<√2n-1,即证明2n=f(an)<f(√2n-1), 7分 即证明em+e可>2n,令/2n-1=m(m≥1)， 即证明e"十em>m2十1，… 8分 因为g(m)=f(m)-m2=e"+em-m2≥g(1)>g(0)=2, 所以em+em>m2+2>m2+1, 10分 即有em十em>m2+1成立，命题得证. 11分 (iⅱ)由f(an)=e"十e=2n,整理得e2a,-2ne"十1=0， 解得e"=n一n2-1或e"=n十√n2-1,… 12分 所以an=ln(n-√n2-1)(舍去)或an=ln(n十√n-1). 13分 因为an=ln(n十√n2-1)<ln2n,… 14分 所以Sn=a1+a2+…+an<ln2+ln4+…+ln(2n-2)+ln2n, 所以Sn<ln2n十ln(2n-2)十…十ln4十ln2,… 15分 所以25.Cn2mX2+lh[2n-2)x4++ia4X2m-2]+la(2×2m)nln(2n士)） 2nln(n+l),所以Sn<nln(n+1). …17分高三数学考试 本试卷共150分考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， % 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 领 1.已知全集U={-1,0,1,2,3,4),集合M={0,3,4},CuN=1,2,4},则M∩N= A.{4) B.{0,3} C.{0,1,3}》 D.{-1,0,3} 2.在复平面内，复数z=a十i表示的点位于第一象限，若|z(a一z)|=2,则实数a= A.3 B.1 C.√2 D.2 3.临近高考，小明同学把自己高三时期六次数学成绩罗列如下：120,118,105,129， 我 121,115,则这组数据的方差为 A.56 B.336 这 C.312 D.52 ME 4已知x=VE是函数f(x)=}x(2x+3b)的一个极值点，刂fx)的极大值为 A.22 B.3√2 4√2 8√2 C D 3 3 5.如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置， 从绳结O处引出三条绳索OA,OB,OC,固定点A,并使得 OA与铅垂线成60°夹角，B处悬挂拉力为2N的重物，C处 m3 连接测力器，O℃与铅垂线成0夹角.当0=30时，记C处的 位力为F1,当0=60时，记C处的拉力为F2,则|F1十F2|= A.2 N B.√13N C.3 N D.23 N 6.如图所示，圆柱OO的底面半径为r,矩形ABB'A'是轴截面， 0 ∠BOC=∠B'O'C=5若直线OA'与裁面BCC'B'所成的角为 石，则圆柱的母线长为 3 A.2 B.2 C.2r D.√3r _y2 双曲线C:1a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,若以AF为边 直角三角形AMF的面积的最大值为b,则双曲线C的离心率为 A.√2 B.2 C.√3 D.3 8.已知-ln2_2-ln3c2-ln6 In 3 1n4=1n2,若6-1=loga,则正数a,b,c的大小关系是 A.a<c<6 B.c<a<6 C.a<b<c D.6<a<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知{am}是递增的等差数列，公差为d,满足a3十a7十a1=18,且从第5项开始为 正数，则下列说法正确的是 A.a2十a12=12 B若a1=-8,则a.-号n 832 3 C.d∈[2,3) D.a1∈(-12，-6] 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A=kc(k>0),则下列说 法正确的是 A.若k=1,则C为直角 B.若k=2,则B为钝角 C若k=2,则A=B n若&-专，则an(A-B)的最大值为盟 11.已知曲线C:cos(x+y)=x2+y2,则下列直线与曲线C有交点的是 A.y=1-2x B.y=1+2x Cy=1- Dy=1+号 题序 1 2 3 6 7 6 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点P(1,)为直线y=号x(p>0)与抛物线C:y2=2px的一个交点，则点P 到抛物线C的焦点的距离为 13.已知实数a,b满足8a2+9b2=4+12ab,则2a2-3ab-3b2的最小值是 14.球O内切于侧棱长为2的正三棱柱ABCA1B1C1(与五个面均相切)，球O'与球 O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球O'的半径r= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 函数f(x)=2 cos w(COS--sin)(aw>0)的最小正周期为4r,g(x)=sin2x 十cos2x. (1)求w; (2)当x∈[-，元]时，求f(x)的值域： (3)求关于x的不等式f(x)十g(x)≥0的解集 封 线 2 16.(15分) 在如图(1)所示的平面图形中，四边形BCEF是直角梯形，CE∥BF,CE⊥EF,CE =EF=1,BF=2,△ABF和△CDE是两个正三角形.分别沿BF,CE将两个正 三角形折起，使得平面ABF和平面CDE都与平面BCEF垂直，连接AD,AC, AE,得到如图(2)所示的几何体 (1)证明：平面ABF/平面CDE. (2)求点D到平面ACE的距离. (3)求平面ACE与平面AEF夹角的余弦值. E B 图(1) 图(2) 封 线 17.(15分) 甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，规则如下：每人投三次，在A处投一次三分球， 投中得3分，投不中不得分，在B处连续投两次两分球，每投中一次得2分，投不中 不得分.甲、乙两同学投中三分球的概率均为，投中两分球的概率均为？，且每次 投篮互不影响，最终得分较多者赢得比赛. (1)设甲同学的得分为X,求X的分布列和数学期望； (2)在已知甲同学的得分不低于4分的条件下，求乙同学最终赢得比赛的概率. 18.(17分) 过单位圆x2+y2=1上的动点M作MN与y轴垂直并相交于点N,动点P满足 NM=tM丞(t>0),动点P的轨迹是焦距为2，√3的椭圆C. (1)求t的值； (2)过y轴正半轴上的一点Q作两条互相垂直的直线与椭圆C分别相切于点Q1, Q2,求△Q1QQ2的面积； (3)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,E是椭圆C上 的动点，直线AE,A2E与y轴分别相交于点D,H,直线HF1与DF2交于点 G,设G(u,v),证明：u2+3u2为定值. 。 19.(17分) 已知函数f(x)=e十e,定义：对于数列{bn},若f(bn)=2nm,n∈N+,则称{bn} 是函数f(x)的一个“2倍基数列”. (1)讨论函数g(x)=f(x)一x2的单调性. (2)若{an}是递增数列，且是函数f(x)的一个“2倍基数列”，其前n项和为Sn 证明： (i)am<2n-1; (ii)S,<nln(n+1). 弥 封 线