精品解析：河北省沧州市部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数学 本试卷共4页、满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在处的导数为（ ） A. B. e C. D. 2e 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 6. 定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 双曲线的渐近线方程有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（ ） A. 直线与底面所成的角的正切值为2 B. 直线与平面所成角的最大值为 C. 存在点，使直线与母线平行 D. 存在点，使直线与母线垂直 11. 已知数列共有10项，，且满足，则满足条件的所有不同数列（ ） A. 必有一项为0 B. 个数为56 C. 最多有连续8项构成等差数列 D. 数列所有项和最小为30 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 壹元、拾元人民币各一张，伍元人民币两张，一共可以组成________种币值． 13. 已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________． 14. 若复数满足，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． （1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 16. 如图，在等腰梯形中，，且，为底边的中点，现将沿翻折，点翻折至空间后． （1）求四棱锥的体积； （2）点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间与极值； （2）若任意，恒成立，求实数的最大值． 18. 椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 19. （1）证明：，并求． （2）已知． （ⅰ）将满足条件的从小到大排列得到数列，求数列的通项公式； （ⅱ）若为数列的前项积，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共4页、满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴，解得 不成立，即方程无解， 即方程的解构成的集合为. 2. 函数在处的导数为（ ） A. B. e C. D. 2e 【答案】C 【解析】 【详解】由,求导得, 则函数在处的导数为. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质将已知等式化为，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由对数的运算性质，化为， 因为，所以，从而， 又，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以，则. 5. 已知中，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量加法和数量积求出的长，再由数量积求出，最后用三角形面积公式求面积. 【详解】设，且，则，即，解得. 因为，所以，所以. 又，所以. 所以. 6. 定义在上的奇函数满足且，在区间上，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】奇函数得，又， 所以，即函数关于点对称． 在区间上， 则在上单调递增，且，， 由题意可得示意图，则在上的解集为． 7. 已知直线与曲线与曲线分别切于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：可设切点位于第一象限，根据导数以及直线与圆的相切列式求解可得，结合几何性质求长度；解法二：设直线方程为，联立方程根据判别式可得，求交点坐标即可得长度. 【详解】解法一：由题意知曲线为焦点在轴上的抛物线，是以原点为圆心，为半径的圆． 由曲线的对称性不妨设切点位于第一象限，且满足， 此时由可得函数，则， 可得曲线在点处的切线为，即， 又因为与圆相切，则， 整理可得，解得或， 可得点，故，所以； 解法二：由题意可知直线的斜率不为0，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 联立方程，解得，所以直线方程为， 根据对称性不妨取直线方程为， 由，解得，即， 由，解得，即， 所以． 8. 为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘法公式、二项分布概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】由题意知，， ． 随机变量， ，，. ， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 双曲线的渐近线方程有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】双曲线化为标准方程为：， 所以双曲线的渐近线方程为：. 10. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（ ） A. 直线与底面所成的角的正切值为2 B. 直线与平面所成角的最大值为 C. 存在点，使直线与母线平行 D. 存在点，使直线与母线垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】作，垂足为，延长与圆锥底面的交点为，连接，由题意可得，设，则，，可得，求解，可得点的轨迹，建立空间直角坐标系，对于A选项，由线面角的向量求法求解，再求解，即可求解；对于B选项，由线面角的向量求法求解，再由放缩法，即可求解；对于C选项，设存在点，使得直线与母线平行，再由向量平行即可求解；对于D选项，设存在点，使直线与母线垂直，由即可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，因此底面半径， 圆锥的高，母线长为，圆锥母线与高的夹角为，作，垂足为， 延长与圆锥底面的交点为，连接， 设，则，， 由题意可得，，解得， 则，可知点的轨迹是半径的圆， 以为原点，为轴，为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 可得，，，， 对于A选项，设直线与底面所成的角为， 因为圆锥底面的法向量可以为， 则，可得，则，故A正确； 对于B选项，设直线与平面所成角为， 因为平面的法向量可以为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与母线平行，则，可得，即，方程无解， 所以不存在点，使得直线与母线平行，故C错误； 对于D选项，若存在点，使得直线与母线垂直，则， 解得，所以不存在点，使直线与母线垂直，故D错误. 11. 已知数列共有10项，，且满足，则满足条件的所有不同数列（ ） A. 必有一项为0 B. 个数为56 C. 最多有连续8项构成等差数列 D. 数列所有项和最小为30 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ACD，列举满足条件的数列判断即可；对于B，判断第3项到第10项这8项中，比前一项多2及少2的项数，结合组合知识求解即可. 【详解】对于A，如满足条件的数列：4，2，4，6，8，10，12，14，12，10，故A错误． 对于B，由，知数列除第一项外，其余各项后一项不是比前一项多2，就是少2， 又，，则可知第3项到第10项这8项中，必有六项比前一项多2，有两项比前一项少2，而第一项可以为0或4． 故满足条件的所有不同数列个数为，B正确． 对于C，应该让六项比前一项多2相邻，且第二项比第一项也要多2，得数列0，2，4，6，8，10，12，14，12，10中最多有连续8项为等差数列，C正确． 对于D，数列所有项和最小，应考虑数列第一项取满足条件的最小值，且第三项和第四项均比前一项少2， 得数列0，2，0，－2，0，2，4，6，8，10使得所有项的和最小为30，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 壹元、拾元人民币各一张，伍元人民币两张，一共可以组成________种币值． 【答案】9 【解析】 【详解】若取1张，可得1元，5元，10元，共3种； 若取2张，可得，，，， 即6元，11元，15元，10元（重复），共3种； 若取3张，可得，，， 即11元（重复），16元，20元，共2种； 若取4张，可得元，共1种； 综上所述：一共可以组成种币值. 13. 已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】图象上两个极值点，满足，，即函数周期，，，所以， 所以，，函数的所有对称轴为， 当时，，当时，，因为平移后函数为偶函数，故其对称轴为， 因，故最小正数为轴右侧最近的对称轴对应的的值，即的最小值为. 14. 若复数满足，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，将复数条件转化为复平面上两个圆的约束，利用几何意义，把求的值域转化为求两圆交点弧上的点到定点的距离范围. 【详解】设，则，， 则得，即，整理得． 由得，又， 所以即，整理得． 所以点是以点为圆心，以为半径的圆落在圆上及内部圆弧上的点． 联立，得，解得， 由，解得， 所以两圆的交点分别为，且圆弧的中点为， 为点到点的距离，最小值为到的距离， 最大值为或到的距离， 故可得其取值范围为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． （1）估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 【答案】（1）， （2）人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式，准确计算，即可求解； （2）由（1）得到服从正态分布，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下， 可得， 则估计该市居民竞赛成绩的方差为 ． 【小问2详解】 由（1）可得，所以，，则， 所以服从正态分布， 因为， 所以． 则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为人． 16. 如图，在等腰梯形中，，且，为底边的中点，现将沿翻折，点翻折至空间后． （1）求四棱锥的体积； （2）点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，利用线面垂直的判定及锥体的体积公式推理求解. （2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 由，得， 由为底边的中点，得，为边长为2的正三角形， 菱形的边上的高为，该菱形的面积为， 沿直线翻折后，取的中点为，连接， 则，且，， 又，则，即， 又平面，因此平面， 所以四棱锥的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 显然平面的法向量为，又， 设平面的法向量，则，取，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间与极值； （2）若任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）单调递减区间为，无递增区间，不存在极值. （2）0 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调区间及确定极值情况. （2）根据给定条件，等价转化恒成立的不等式，再利用不等式性质求出函数最小值，进而求出的最大值. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，令函数， 求导得， 当时，；当时，， 函数，即在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的单调递减区间为，无递增区间，不存在极值. 【小问2详解】 任意，不等式恒成立， 当时，，则；当时，； 当时，，则， 因此任意，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的最大值为0. 18. 椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，根据题意，可设直线的方程为， 联立，整理得， 设，，则，． 得直线的方程为，直线的方程为， 又直线，分别交轴于，两点， 则，，又，，且，为轴上下两个点． 则，，． 由，得， 则． 又，所以．即与的面积比为定值． 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率和焦点坐标求解即可； （2）可设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出，即可求解． 【小问1详解】 椭圆的标准方程为：． 根据题意，可得．又离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 19. （1）证明：，并求． （2）已知． （ⅰ）将满足条件的从小到大排列得到数列，求数列的通项公式； （ⅱ）若为数列的前项积，求证：． 【答案】（1），， 所以 所以． 则． （2）（ⅰ） （ⅱ）由，为数列的前项积． 则， 当时，， 当时，， 当时，， 又当时， ． 故得成立． 【解析】 【分析】（1）分解，，再利用余弦的两角和差公式求解. (2)（ⅰ）由题，等式两边同乘，利用（1）式结论化简可得，即，可求解.（ⅱ）由（ⅰ）中结论，可得，利用不等式放缩法可求证. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为． 所以 又因为 得 整理得， 所以． 得， ．又． 所以从小到大排列为2，7，12、17，22，27，…， 所以． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $