四川自贡市蜀光中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

高2026级高一开学考试数学试题 命题：岳雄林审题：万利坤 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知集合A={x2x+1>3},则（) A.1∈A B.2∈A C.3A D.4庄A 2.已知集合A={xax=2,a∈R},B={-1,1},若A三B,则所有a的取值构成的集合为() A.{-2 B.{-2,2} C.{0,2 D.{-2,0,2 3.若全集U={x∈N0<x<7},集合A={1,3,4,5,6},B=1,2,4,5},则B(CA)=() A.1,2,4,5} B.1,2} C.{2,3 D.{2} 4.若a>b>0,c<d<0,则() A.ad>bc B.ac >bd C.a+czb+d D.a+d>b+c 5.已知a,beR,关于x的不等式2++b<0的解集为{y-l<x<2},则a-b=() A.3 B.-2 C.1 D.-1 6.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古 B 人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由 与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD,中间的部分 是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且EF⊥OB.若中间最 H 小的正方形的面积为1，AB=5,则正方形EFGH的面积为() A.25 B.36 C.49 D.64 7.不等式x-4 x-≥2的解集是() A.{x2≤x≤1}B.{x≤-2yC.-2≤x<1)D.r>1 8.如图，一条直线与反比例函数y=《(x>0)的图象交于A、B两点，分别与y轴、x 12 轴交于C、D两点.若2AB=3BD,S△coD=7,则k的值是() A.3 8.20 C.7 7 D.0 D 21 二、逃择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项特 合题目要求.全部逃对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分· 试卷第1页，共12页 9.已知集合A={xy=x2-2},集合B={yy=x2-2},则() A.A=B B.A∩B=O C.AUB=A D.A0 B=B 10.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘 制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是() 9月全体学生 9-12月体育测试成绩 体育测试成绩统计图 “优秀”学生人数占比统计图 小人数 ◆百分比 300 20% 250 250 17%… 200 15% 50 10% 13% 150 10% 90 100 50 5% 10 2% 0 优秀良好及格不及格 成绩 9月 10月11月12月 月份 A.10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B.9月体育测试中学生的不及格率为18% C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 11.已知关于x的不等式2+br+c>0的解集为{-1<x<2},则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式ax+b<0的解集为-o,1) D.不等式ax2+(c-1)x+2>0的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若关于x的分式方程x++,1=3无解，则m= x-22-x 13.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE.若AB=4, am∠DAE-青则E b 14.实数a,b满足集合{a,2,2025={a,a+2026b,0},则a26+(b-1)2未尾的两位数是 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分)已知A={x|x2-2x-3≤C,B-{x|a-1≤x≤2a+1,a∈R, (I)当a=1时，求AUB和CRB: (2)若AnB=B,求实数a的取值范围， 试卷第2页，共12页 16.(本小题满分15分)阅读材料：用配方法求最值. 己知x,y为非负实数，x+y-2w=(+(-2F=(f-5j≥0，∴x+y≥2，当 且仅当“x=y”时，等号成立. 1 示例：当x>0时，求y=x+二+4的最小值. 解：=〔-424=6，当即x1时，的最小指为6 (1)尝试：当>0时，求y=++1的最小值. (2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿 车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为心+” 10 万元.问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用 所有费用之和)？最少年平均费用为多少万元？ 年数n 17.(本小题满分15分)设y=ax2+(1-a)x+a-2, (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式x2+(1-a)x+a-2<a-1(a<0) 试卷第3页，共12页 18.(本小题满分17分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E, 交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB. B H (1)求证：CH为⊙O的切线： (2)求证：AF=DF; (3)若DG=2,GB=3,求AD的长. 19.(本小题满分17分)如图，抛物线y=x+bx-6与x轴交于A,B两点（A在B左侧)，与y轴交于 点c,0A=10C. (1)求抛物线表达式： (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过D作DE∥y轴交直线AC于E.求 DE+V5 EC的最大值； B (3)抛物线上是否存在点P,使得∠PBA=∠BAC.若存在，求出P的坐标： 若不存在，说明理由. 试卷第4页，共12页 高2026级高一开学考试数学试题 一、逃择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个逃项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合A={x2x+1>3},则() A.1∈A B.2∈A C.3庄A D.4gA 【答案】B【解】因为A={x2x+13}={xx),所以1EA,2∈A,3∈A,4∈A. 对于A:1>1不成立，A错误；对于B:2>1成立，B正确： 对于C:3>1成立，C错误；对于D:4>1成立，D错误 2.已知集合A={xar=2,a∈R},B={-1,1},若AcB,则所有a的取值构成的集合为() A.{-2y B.{-2,2 C.{0,2 D.{-2,0,2} 【答案】D【解】x=2至多一个解，当A=0时，ax=2无解，故a=0, 当A={-1}时，-a=2,解得a=-2,当A=}时，a=2,故所有a的取值构成的集合为{-2,0,2， 3.若全集U={x∈N0<x<7},集合A=1,3,4,5,6},B=1,2,4,5},则Bn(C,A=() A.1,2,4,5} B.{1,2} C.{2,3} D.2} 【答案】D【解】U={x∈N0<x<7}={1,2,3,4,5,6},CA={2},.B∩(CA={2} 4.若a>b>0,c<d<0,则() A.ad>bc B.ac>bd C.a+c>b+d D.a+d>b+c 【答案】D【解】对于A,由于a>b>0,c<d<0,取特殊值验证，令a=2,b=1,c=-2,d=-1, 计算可得ad=2×(-1)=-2,bc=1×(-2)=-2,此时ad=bc,不满足ad>bc: 对于B,由c<d<0,不等式两边同时乘-1，不等式方向改变， 得-c>-d>0与a>b>0对应相乘，得-ac>-bd,则c<bd, 对于C,取上述A中特殊值验证选项C,a+c=2+(-2)=0,b+d=1+(-1)=0, 此时a+c=b+d不满足题意大小关系a+c>b+d,排除C; 对于D,由c<d,不等式两边同时加a,不等式方向不变，得a+c<a+d, 由a>b,不等式两边同时加c,不等式方向不变，可得a+c>b+c, 联立两个不等式得b+c<a+c<a+d,因此a+d>b+c. 5.己知a,b∈R,关于x的不等式x2+m+b<0的解集为{-1<x<2},则a-b=() A.3 B.-2 C.1 D.-1 试卷第5页，共12页 【答案】C【解】因为关于x的不等式x2+x+b<0的解集为(-1,2)， 所以-1和2是方程x2+a+b=0的两个根，所以-1+2=-a,-1×2=b,所以a=-1,b=-2 所以a-b=-1-（-2)=1.故选：C 6.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古 人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是 由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD,中间的部 分是一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且EF⊥OB.若中间 H D G 最小的正方形的面积为1，AB=5,则正方形EFGH的面积为() A.25 B.36 C.49 D.64 【答案】C【解】解：设Rt△AOB的短直角边OB=b,长直角边OA=a, :中间最小正方形的面积为1，.(a-b)=1,即a-b=1, AB=5,.2+b2=25,EF⊥OB,∠EBO=90°， :四边形EFGH为正方形，∠E=90°， .∠AOB=90°，.四边形EBOA为矩形，.BE=OA=a,AE=OB=b, :四个直角三角形全等，.结合全等三角形性质同理可得，BF=b,∴EF=EB+BF=b+α， .(a-b)2=d+b2-2ab=1,.25-2ab=1,解得2ab=24, .正方形EFGH的面积=EF2=(a+b)2=d+b2+2ab=25+24=49. 7.不等式4之2的解集是(） x-1 A.{x-2≤x≤1} B.{xx≤-2}C.{x2≤x<1} D.xx>1) 【答案】c【解】4≥2，故4220，=4-2x+2之0，=220，+2<0， x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 等价于 [(x+2)(x-1)≤0 ,解得-2≤x<1,解集为{x-2≤x<1} x-1≠0 8.如图，一条直线与反比例函数y=x>0的图象交于A、卫两点，分别与y轴、 x轴交于C、D两点.若2AB=3BD,S△coD=7,则k的值是() 20 40 A.3 B. C.7 D D 7 21 【答案】B 【解】如图，过点A作AE⊥OD于点E,过点B作BF⊥OD于点F, B ,2AB=3BD∴. BD 2.BD 2 AB3…AD5 试卷第6页，共12页 AE LOD,BF LOD AE BF DBFADAE BE-BD-2 AE AD5 设AE=5a, 3k 5a 2a 10a AE川BF∴ FD_BD 2 FD2 3流3FD=0D=0F+FD=k+是=7k EF AB 3 5a 2a 5a 10a 10a CO LOD :OC BFDBFADCO BF=FD DGD即2=-梁∴Oc=7a OC 7k 10a :8ac0=7:0D-0C=}x7k×7a=7:k=20 2 =2×10a1 二、逃择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个逃项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，逃对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.(多选)已知集合A={xy=x2-2},集合B={y|y=x2-2},则() A.A=B B.A∩B=☑ C.AUB=A D.A0B=B 【答案】CD 【解】A={x|y=x2-2}=R,B={y川y=x2-2}=[-2,+0),A≠B,A错误： B为A的真子集，故AOB=B,B错误，D正确；AUB=A,C正确. 10.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘 制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是() 9月全体学生 9-12月体育测试成绩 体育测试成绩统计图 “优秀”学生人数占比统计图 不人数 本百分比 300- 250 20% 250 200 15% 150 150 10% 13% 10% 90 100 5% 50 10 2% 0 0 优秀良好及格不及格 成绩 9月10月11月12月月份 A.10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B.9月体育测试中学生的不及格率为18% C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】BCD【解】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500（名）， 10月测试成绩为“优秀”的学生达到：500×10%=50（人），故选项不符合题意： B、9月体有测试中学生的不及格率为：010%=18%，故选项符合题意： 试卷第7页，共12页 C、由折线统计图可知，从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故 选项符合题意： D、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多，故选项符合题意 故选：BCD. 11.已知关于x的不等式m2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式ax+b<0的解集为(-w,1) D.不等式a2+(c-1)x+2>0的解集为 【答案】AD 【解】对于选项A:由关于x的不等式2+br+c>0的解集为(-1,2)，可得a<0,故A正确： 对于选项B:由题意可得x2+bx+c=a(x+1)x-2)上=m2--2M>0, 故b=-a,c=-2a,则a+b+c=a-a-2a=-2a>0,故B错误； 对于选项C:x+b=-a=a(x-1)0,由a<0,故x-1>0,即x>1, 所以不等式ax+b<0的解集为(1，+o),故C错误： 对于选项D:m2+(c-1)x+2=m2+（←2a-1x+2=x-1)6-20, 由a<0,则该不等式解集为 2，故D正确 a' 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若关于x的分式方程x++1 =3无解，则m= x-22-x 【答案】1【解】十%+23，去分母：方程两边同时乘以x-2,得」 x+m-1=3x-6,x-3x=-6-1m+1,-2x=-5-1m, =5+心，~原方程无解，x=5+是原方程的增根，由x-2=0,=2, X= 2 2 :5+m=2,m=-1,故答案为：-1. 2 1 13.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE.若AB=4,tam∠DAE= 4,则 BE= 【答案】5【解】在正方形ABCD中，AB=4,.AB=BC=CD=AD=4, <CD=0,tna-行即g- AD=4'DE=1,..CE-CD-DE-3, .Rt△CBE中，BE=√BC2+CE2=V32+4P=5. 试卷第8页，共12页 b 14.实数a,b满足集合a2,2025={a2,a+2026,0},则a26+(b-1)02末尾的两位数是 a 【答案】24【解】已知a2,2025={d,a+2026b,g,则a≠0，枚b=0, a 所以{a,2025}={a,a,故a2=2025,解得a=±45， a2026=(±45)026=452026,452=2025的末尾两位数为25， 453=91125的末尾两位数为25,454=4099625的末尾两位数为25…之后每次乘以45，末两位恒为25， 故452026的末尾两位数为25，从而所求a2026+(b-1)202”=452026-1的末尾两位数为24. 四、解答题：本大题共5小题，共77分， 15.(本小题满分13分)已知A={xx2-2x-3≤C，B=xa-1≤x≤2a+1,aeR, (I)当a=1时，求AUB和CRB; (2)若AnB=B,求实数a的取值范围。 【解】(1)由x2-2x-3≤0解得：-1≤x≤3，故A={x-1≤x≤3}， 当a=1时，B={x0≤x≤3}， 所以AUB={x|-1≤x≤3}，CB={x|x<0或x>3}. (2)因为AnB=B,所以B二A, 当B=☑时，a-1>2a+1,解得a<-2,满足B≤A: 「a-1≤2a+1 当B≠☑时， -1≤a-1,解得0≤a≤1， 2a+1≤3 所以实数a的取值范围为0≤a≤1或a<-2. 16.(本小题满分15分)阅读材料：用配方法求最值， 已知x,y为非负实数，x+y-2w=()+(E-2E=(f-j≥0，∴x+y≥2，当 且仅当“x=y”时，等号成立. 示例：当>0时，求y=x+1+4的最小值. 解：（+日424=6，当x-即x=1时，y的最小值为6 1)尝试：当>0时，求=？+x+的最小值。 (2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿 试卷第9页，共12页 车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为心+” 10 万元.问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用 所有费用之利)？最少年平均费用为多少万元？ 年数n 【解11)：y=+x+1=x++1≥2，+1=3 当x=1,即x1时，y的最小值为3： (2)年平均费用=（世+”+0.4+10）÷n 10 n101 +5≥2 10n2 n10+1=-2+0.5=2.5, V10n'2 当010即0时，最少年平均费用为25万元 17.（本小题满分15分)设y=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a<0) 【解】(1)因为y=ar2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立， 所以r2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立， 所以，当a=0时，x≥0，不满足成立； 当a≠0时，需满足 a--a3-4as0即a0 a>0 4=-3a-2a+1s0,解得a≥ 棕上、实数a的取值范国为行+树】 (2)解：m2+(1-adx+a-2<a-1(a<0)台ax2+(1-a)x-1<0(a<0),台(ax+1)(x-1)<0(a<0), 因为(a+1(x-1)=0(a<0)的实数根为=-=1， 所以，当-1<1，即a<-1时，(ar+1)(c-1)<0(a<0)的解集为 当-1=1，即a=-1时，(ax+1)(c-1)<0(a<0)的解集为(-0,1)U(L,+o): a 合1，即-1<a<0时，(a+x-小0a<0的解宋%（儿〔后 当 徐上，as时，解失为小： a=-1时，解集为{xx≠： 试卷第10页，共12页 当-1<a<0时， 解集为(-o.u(+o】 18.(本小题满分17分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E, 交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB. B (1)求证：CH为⊙O的切线： (2)求证：AF=DF: (3)若DG=2,GB=3,求AD的长. 【解】(1)证明：连接OC,如图所示： :AB是OO的直径，∠ACB=90°， ∠CAB+∠ABC=90°， ∠BCH=∠CAB,.∠BCH+∠ABC=90°， .OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC,∴.∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90°，∴.OC⊥CH, ,OC是⊙O的半径，.cH为OO的切线. (2)证明：，D是AC的中点，AD=CD,∠ABD=∠DAC, ,DE⊥AB,AB是OO的直径，∴.∠ADB=∠AED=90°， ∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，.∠ADE=∠ABD=∠DAC,,AF=DF. (3)·DG=2,GB=3,DB=DG+BG=5, :∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA,*ABD7AGAD,六4D-DB GD DA .AD2 DG.DB=10,..AD=10 19.(本小题满分17分)如图，抛物线y=x2+bx-6与x轴交于A,B两点(A在B左 侧)，与y轴交于点c,04=0C. 2 (1)求抛物线表达式： (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过D作DE∥y轴交直线AC于E.求 DB士5C的最天值 (3)抛物线上是否存在点P，,使得∠PBA=∠BAC,若存在，求出P的坐标：若不存在，说明理由. 试卷第11页，共12页 【解】(1)y=x2+bx-6与y轴交于点C,∴C(0,6),.OC=6. :0A=10C,O4=3,A(-3,0),将A-3,0)代入y=x2+bx-6中，得b=1, .抛物线的表达式为y=x2+x-6; (2)解：由(1)知：A(-3,0),C(0,-6), 设直线AC:y=kx+a(k≠0)，将A(-3,0),C(0,-6)代入， 「-3k+a=0 k=-2 a=-6，解得 {a=-6°y=-2x-6. 设D(,m2+m-6),则E(,-2m-6). DE=-2-6-(2+-6)=-2-3, 过点E作EF⊥OC于点F,则EF‖OA,F(0,-2-6), ∴△CFE∽△COA,CF=-21-6-(-6)=-2, 号晋.又cA-a+oc-v5+635, CFCE :.-2m_CE 635,.CE=-V5m, .D-5pc-w(5m)-w-m-wim- :-1<0,-3<m<0,当m=-2时，DB+5C有最大值，最大值是4. O B 5 1 (3)解：存在，y=x2+x-6,抛物线的对称轴是直线x=- D P :A(-3,0),∴点A关于对称轴的对称点为B(2,0) 图1 ①如图1，由∠PBA=∠BAC,可知点C关于x= 2的对称点为点P,P(-1,-6. ②如图2，设P(n,n2+n-6),作PG⊥x轴，则PG=n2+n-6,BG=2-n. :tan∠BAC-OC=2,∠PBA=∠BAC,tn∠PBA=r+n,6=2, OA -n+2 .解得h=2（舍)，%=-5. B m+n-6=(-5)2-5-6=14,.P(-5,14)综上所述，P点坐标为(-1，-6)或(-5,14) 图2 试卷第12页，共12页