四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

第 1 页共 6 页 绵阳南山中学高 2024 级高一上期入学考试试题 数 学 命题人：李良贵 审题人：蔡晓军 宋玉贤 第 I卷、第 II卷共 6页．满分 150 分，考试时间 100分钟．作答时，须将 答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效． 第 I卷（选择题，共 50分） 一．选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.我计划通过参加高考进入高等学校(大学)学习，我必须学习的课程是( ). A. 必修课程与选修课程 B. 选择性必修课程与选修课程 C. 必修课程与选择性必修课程 D.必修课程、选择性必修课程与选修课程 2.下列说法正确的是( ). A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数 1 2 4 1 1,0,5, , , , 3 3 6 9 组成的集合中有7 个元素 D. 由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4 3．如图， 90BCD  , / /AB DE ,则  与  满足( )． A. 180    B. 90    C. 90    D. 90    4.在上图Rt ABC 中 , ,AC CB CD AB  于点 ,D ① ;BC AC AB CD   ②若 2 5, 8,BC AD  则 4;CD  ③图中只有两对相似三 角形. 则以上三个结论中正确的结论有( )个. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 5.在实数范围内定义运算*，其法则为： 1 1 a b a b    ， 则当 (1 3 ) 0a a   时 a=( ). A. 1 2 B. 2 C. 1 2  D. 2 6.当 0x  时， 3ax ( ). A. a ax B. a ax  C. a ax D. a ax β α D A E C B C A BD 2024年 8月 第 2 页共 6 页 7.若 10  x ，则 2x 、 x 、 x 、 x 1 这四个数中( ). A. x 最大， 2x 最小 B. 2x 最大, x 最小 C. x 最大， x 1 最小 D. x 1 最大， 2x 最小 8.下列命题中正确的是( ). A. 若 ,a b 则 1 1 a b  B. 若 ,a b 则 2 2a b C. 若 3 3,a b 则a b D. 若 , ,a b c d  则ac bd 9.已知集合 2{ | 3 2 0}, { | 0 6},A x R x x B x N x         则满足条件 A C B  的集合C 的个数为( ). A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10.如图 Rt ABC 中 90C  ， 30BAC  ， 12AB  ，以3 3 为边长的正方形 DEFG 的一边GD 在直线 AB 上，且点 D 与点 A 重合. 现将正方形 DEFG 沿 A B 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则 在这个运动过程中，正方形DEFG与 ABC 的重合部分的面积 s 与运动时间 t之 间的函数关系图像大致是( ). 第 II卷（非选择题，共 100分） 二．填空题：本大题共 5个小题，每小题 6分，共 30分 11.等腰 ABC 的边长分别是一元二次方程 2 3 2=0x x  的两个解，则这个等腰 三角形的周长是 ． 12.已知关于 x 的一元二次不等式 2 ( 1) 0x a x a    的解中有且仅有3个正整数 解，则实数 a 的取值范围是 ． 13.如右图, AD是等腰三角形 ABC底边上的高， 且 3 tan , 4 B  AC 上有一点E，满足 : 2:3AE EC  ，则 tan ADE  . 14.不等式 2 1 3 1 x x    的解是 ． 15.已知 1 4, 2 6 3,x y x y        则 8z x y  的取值范围是 ． t s t s t s t s 3 3 9 12 D 9 12 C 9 12 B 3 3 9 12 A F G E C A(D) B O O O O D B C A E 第 3 页共 6 页 三．解答题:本大题共 6个小题,共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 16．（本题共 2个小题，每小题 5分，共 10分）解答下列各题 (1).先化简再求值： 2 2 2 1 4 ( ) 2 4 4 2 a a a a a a a a          ，其中 22 4 5 0a a   . (2).定义运算max{ , }a b ：当a b 时，max{ , }a b a ；当a b 时，max{ , }a b b ． 如max{ 3,2} 2;max{ 3, 3} 3.  ①求值max{ 3.14 , }  ； ②已知 11 k y x  和 2 2y k x b  在同一坐标系中的图象如图所示， 若 1 12max{ , } k k k x b x x   ，结合图象，直接写出 x 的取值范围. 17. （本小题满分 12 分） 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 100 元,其成本价为 50 元，因为在 生产过程中.平均每生产一件产品有 0.5m3 的污水排出，所以为了净化环境，工 厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施. 方案 1：工厂污水先净化处理再排出.每处理 1m3 污水所用原料费为 4 元，并且 每月排污设备损耗费为 60000 元. 方案 2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理 1m3 污水需付 28 元处理费用. (1)设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 元，分别求出依方案 1 和方案 2 处 理污水时， y 与 x 的函数关系式. (2)设工厂每月生产量为 6000 件时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金 的前提下应选用哪种处理污水的方案？请你通过计算加以说明. x y -2 O 1 第 4 页共 6 页 18．（本小题满分 12 分） 为了解我校学生完成《2024级高一新生入学手册》情况，随机抽查了若干名学 生进行检查，然后把检查结果分为 4 个等级： A B C D、 、 、 ，并将统计结果绘 制成下面两幅不完整的统计图. 请根据图中的信息解答下列问题 (1)补全条形统计图 (2)年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为D等的人数为__________人； (3)在此次检查中，有甲、乙、丙、丁、戊五个同学的作业完成的相当完整，现 决定从这五个同学中随机选取两个同学的作业用展板展出供全年级同学学习. 请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、丁两个同学作业展出的概率. 19．（本小题满分 12 分） (1)如图 1，在四边形 ABCD中，点 P 为 AB 上一点， 90DPC A B    ， 则 DAP PBC ∽ ，所以有结论 AD BC AP BP   ．如图 2，在四边形 ABCD中， 点 P 为 AB 上一点，当 45DPC A B    时，上述结论 AD BC AP BP   是 否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明． (2)如图 3，在 ABD 中， 8AB  ， 5AD BD  ，点 P 以每秒1个单位长度的速 度，由点 A出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足 DPC A  ，设点 P 的运动时 间为 t（秒），当以 D为圆心，以DC 为半径的圆恰好与 AB 相切时，求 t的值． 人数 等级 4 12 14 40% 28% D C BA DCBA 25 20 15 10 O 5 图3图2图1 C PA B D C A B A B D P D P C 第 5 页共 6 页 20．（本小题满分 12 分） 我市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个 销售旺季的80天里，销售单价 p (元/千克)与时间第 t (天)之间的函数关系为： 1 18 (1 40) 4 1 48 (41 80) 2 t t p t t            ， t为整数. 日销售量m (千克)与时间第 t (天)之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量m 与时间 t的函数关系式？并注明 t的取值范围. (2)哪一天的日销售利润 y 最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2280元？ t(天) m(千克) O 801 190 32 A(1,190) B(80,32) 第 6 页共 6 页 21．（本小题满分 12 分） 如图，直线 3y x  与抛物线 2 8 ( 0)y ax bx a    相交于 (1, 4)A 和 5 11 ( , ) 2 2 B ， 点 P 是线段 AB 上异于 A B、 的动点，过点 P 作PD x 轴交 x 轴于点D，交抛物 线于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的 P 点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由； (3)求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标． y = x+3 x y D C B A O P 第一部分 客观题(请用 2B铅笔填涂) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 8 A B C D @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 第二部分 主观题(请用黑色签字笔作答) 绵阳南山中学高 2024级高一上期入学考试 数 学 答 题 卡 班级:____________ 姓名:____________ 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考 证号码填写清楚。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用黑色字迹的签字笔填写，字 体工整。 3.请按题号顺序在各题的答题区内作 答，超出范围的答案无效，在草稿纸、 试卷上作答无效。 4.缺考标记/违纪标记：考生禁填！由 监考老师负责用黑色字迹的签字笔填 涂。 5. 涂点填涂样例： 有效填涂：$ 无效填涂：%^&* 准考证号 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 缺考标记： Q 违纪标记： W 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分.） 11. 12. 13. 14. 15. 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本题满分 70分，共 6个小题） 16. （本题共 2个小题,每小题 5分,共 10分） （1） （2）①  max{ 3.14 , }   ②结合图象，直接写出 x 的取值范围是： 17、【本题满分 12分】 18、【本题满分 12分】 x y -2 O 1 人数 等级 4 12 14 DCBA 25 20 15 10 O 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19、【本题满分 12 分】 20、【本题满分 12分】 21、【本题满分 12分】 图3图2图1 C PA B D C A B A B D P D P C t(天) m(千克) O 801 190 32 A(1,190) B(80,32) y = x+3 x y D C B A O P 2024年8月 绵阳南山中学高2024级高一上期入学考试数学答案 一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分 题号 1 4 6 7 8 9 10 答案 B D c A B D C A A 二，填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分 P 山.5：12.3≤a<4:13.8:14.-}<xs 15.-5≤z≤10 9 3 4 13.不妨设BD=4,则AD=3,AB=AC=5,AE=2,EC=3, 法一：过点A作AG1/DC交DE的延长线于G, 由△MBG-scED得兰2答4G-景m∠4E-S 9 B 法二：过点E作EF⊥AD交AD于点F, 由AEr-△4D得号华-F-}-S-0F号 54 an∠ADE=8 140.3x+1s0且(ax-80s0s号 3x+1 15.z=x-8y=2(x-y)-(x+6y),-5≤z≤10. 三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分) ().(a-2 a-1 a+2 1 a2+2aa2+4a+4a+2a(a+2)2a-4 a(a+2) 又2a+4a-5=0,所以a2+2a=aa+2)=,故原式=3 5分 (2).①…π>3.14，-π<-3.14，.max{-3.14,-π=-3.14. ②结合图象，直接写出x的取值范围是：-2≤x<0或x21. .10分 17.(本小题满分12分) (1)设选用方案1，每月利润为%元，选用方案2，每月利润为y,元 由方案1，得y=(100-50)x-4×0.5x-60000=48x-60000: 由方案2，得为2=(100-50)x-28×0.5x=36x.6分 (2)当x=6000时，片=48×6000-60000=22800（元）；片=36×6000=21600（元）； 片>乃，我作为厂长，应选用方案1 .12分 18.(本小题满分12分) (1)因为总人数为14÷28%=50人：所以B等人数为50×40%=20人.补全条形统计图如下： 2人黄 20 D等 4分 (2)年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为D等的人数为2800×4=224人.…8分 50 答案第1页共4页 (3)画树状图： 乙丙丁戊甲丙丁戊甲乙丁戊甲乙丙戊甲乙丙丁 共有20种等可能的结果数，其中恰好选到甲、丁两个同学作业展出的情况占2种，所以恰 好选到甲、丁两个同学作业展出的概率是2】 2010 .12分 19.(本小题满分12分) D (1)结论AD·BC=AP.BP仍然成立. 理由：如图， B ,∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,.∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP ∠DPC=∠A=∠B=45,∠BPC=∠ADP,AADP∽4BPC4D=4 BP BC .'AD.BC=AP.BP 6分 (2)如图，过点D作DH⊥AB交AB于点H. :AD=BD=5,AB=8,∴AH=HB=4.由勾股定理可得DH=3. 以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，.DC=DH=3,∴CB=2. 又AD=BD,∴∠A=∠B,∴∠DPC=∠A=∠B, ∴，∠DPC+∠CPB=∠B+∠CPB即∠DPB=∠DCP,,∠APD=∠BCP E4ADPo4BPC号AC,即g=F-8+10=0,1E4+6或1E46 故1的值为4+√6或4-√6. 44444044440404044404 12分 20.(本小题满分12分) [k+b=190 [k=-2 (1)设解析式为m=:+b,将(1,190)、(80,32)代入，得： 80k+b=32 解得： b=192' ∴.m=-21+192,其中1≤1≤80,1是整数. 4分 (2)日销售利润y,则y=(p-8)m. ①当151≤40时，y=(+18-8-2+192)=-+2+1920=--28+2312, ∴.当1=28时，y0大=2312： ②当41≤t≤80时，y=(-二t+48-8)(-21+192)=t2-176t+7680=(t-88)2-64, 在41≤1≤80时随t的增大函数值反而减小∴.当1=41时，y最大=2145： 2312>2145,.第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元. 8分 (3)法一：由(2)知： 当41≤t≤80时，y=(U-88)2-64,当1=41时，y量大=2145<2280： 答案第2页共4页 当151≤40时，y=+2+1920,由-+2w+19202280得f-50+720≤0， (1-20)1-36)≤0,20≤1≤36，又1是整数，∴.1=20,21,22，…36 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. 12分 法二：由(2)知： 当41≤1≤80时，y=(t-88)2-64,当1=41时，y@大=2145<2280： 当1s1≤0时，y=0-28+2312,由-0-2网+2312=280得4=206=6， 由函数y=-0-28+2312的图象可知，当20≤1≤36时，日销售利润不低于280元 又t是整数，∴.1=20,21,22，…36 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. …12分 21.(本小题满分12分) [a+b+8=4 4,4和B2,马在抛物线y=a心+bx+8a≠0)上，25a+b+8亚 a+ 4 2 a+b=-4 a=2 15a+2b=-2 解得 b=-6 故抛物线的解析式为y=2x2-6.x+8. .4分 ②设动点P的坐标为侧m+3》,其中1<m<号，则C点的坐标为m2m-6m+, 1}+ 9 ∴.PC=(m+3)-(2m2-6m+8)=-2m2+7m-5=-2(m- 4 8 :当m=?时，线段PC长的最大值是 4 故存在这样的P点R骨.使线段PC的长有最大值线段PC长的最大值是号 8分 (3)4PAC为直角三角形， i)若点P为直角顶点，则∠APC=90. 由题意易知，PC/1y轴，∠APC=45,因此点P为直角项点这种情形不存在： i)若点A为直角顶点，则∠PAC=90. 如下左图，过点A,4)作AE⊥x轴交x轴于点E,则OE=L,AE=4. 过点A作AF⊥AB,交x轴于点F,则由题意知4AEF为等腰直角三角形， ∴.EF=AE=4,∴.OF=OE+EF=5,∴.F(5,0) 设直线AF的解析式为：y=红+b,则k+b=4, 5以+b=0’解得 k=-1 =5 .直线AF的解析式为：y=-x+5 ① 答案第3页共4页 又抛物线的解析式为：y=2x2-6x+8② 联立①②式，解得：x=或x=1(与点A重合，舍去)， :C点的横坐标为，此时点P的横坐标也是 P2时∠P4C=0,4P4C是以点A为直角顶点的直角三角形. ,39 y=x+3 y=x+3 O ED D )若点C为直角顶点，则∠ACP=90. 2r2-6x+8=2x-)+),“抛物线的对称轴为直线 2 如上右图，作点AL,4关于对称轴x=多的对称点C,则点C在抛物线上，且C(2,4)· C点的横坐标为2，此时点P的横坐标也是2. ∴P(2,5)时∠ACP=90,4PAC是以点C为直角顶点的直角三角形 :点P写、PR2)均在线段B上， 综上所述，4P1C为直角三角形时，点P的坐标为P影或P2..…2分 答案第4页共4页