第一单元商的变化规律及应用（同步练习）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

**基本信息** 聚焦商的变化规律及应用，通过分层题型系统训练运算能力与推理意识，实现规律理解到综合应用的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础规律|选择1-5、填空11-12|除数/被除数单独变化：商随被除数同变、随除数反变|从单一变量到多变量，构建商变化的因果关系| |商不变性质|选择9-10、填空16-17|被除数除数同乘除（非0）：商不变，余数同步变化|通过算式变形，理解“变与不变”的辩证逻辑| |易错突破|判断21-24、填空18-19|余数变化陷阱：区分商不变与余数扩大倍数|针对“余数不变”误区，强化推理严谨性| |综合应用|解答27-30|规律逆用：错中求解、实际问题转化|从规律应用到问题解决，培养模型意识与应用能力|

第一单元商的变化规律及应用高频易错题（专项训练） 一、选择题 1．（如果A、B、C都不为0）如果A÷B＝C，那么（A×5）÷B＝（    ）。 A．C×5 B．C÷5 C．C 2．如果A和B是不等于0的数，且320÷A＞320÷B，那么A和B相比，（    ）。 A．A＞B B．A＝B C．A＜B 3．两个数相除，商是20，如果被除数乘5，除数除以5，商是（    ）。 A．20 B．500 C．25 4．海海在计算1440÷24时，把24抄成了4，他再（    ）就能够得到正确的结果。 A．除以6 B．除以20 C．乘20 5．除数不变，被除数乘3，商（    ）。 A．乘3 B．除以3 C．不变 6．已知A÷B＝5……2，则（A×100）÷（B×100）＝（    ）。 A．5……2 B．5……200 C．500……200 7．下面是计算70÷30的竖式，选项中正确的是（    ）。 A．商是20，余数是10 B．商是2，余数是10 C．商是2，余数是1 8．两个数相除，商5余3，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，所得的商和余数分别是（    ）。 A．商50余30 B．商5余30 C．商50余3 9．下列算式中，与270÷30的商相等的是（    ）。 A．（270×10）÷（30÷10） B．（270÷10）÷（30÷10） C．（270＋10）÷（30＋10） 10．两个数的商是50，如果被除数扩大到原来的10倍，除数也扩大到原来的10倍，那么商是（    ）。 A．50 B．500 C．5000 二、填空题 11．甲数除以乙数，商是7，如果甲数乘2，乙数除以2，现在商是（ ）。 12．如果A÷B＝8……1，那么（A×5）÷（B×5）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×3）÷B＝（ ）；那么（A×2）÷（B÷5）＝（ ）。 13．赵阿姨带的钱刚好够买100千克苹果。她发现梨的单价只有苹果的一半，就拿出所有的钱去买梨，能买梨（ ）千克。 14．如果A÷B＝20……5，则（A×6）÷（B×6）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝90，则A÷（B÷3）＝（ ）。 15．根据规律，在括号里填上合适的数。 已知：24÷2＝12；48÷2＝24；96÷2＝48；那么：192÷2＝（ ）；384÷2＝（ ）。 16．根据168÷12＝14填空。 1680÷120＝（ ）    336÷24＝（ ）    16800÷（ ）＝14 17．不计算，根据384÷16＝24，填空：3840÷160＝（ ），768÷32＝（ ）。 18．670÷30＝22……10，如果被除数和除数同时除以10，那么商是（ ），余数是（ ）。 19．算式□÷35＝24……△中，当余数是（ ）时，□里的数最大；算式★÷●＝5……3中，如果被除数和除数都乘10，那么，商是（ ）。 20．一道除法算式的商是240，被除数和除数都除以5，则商是（ ）。3□6÷35，□里最大填（ ），商是一位数；□里最小填（ ），商是两位数。 三、判断题 21．商是8，余数是8的除法算式，根据商不变的性质，被除数和除数都扩大8倍，商和余数还是8。（ ） 22．120÷15＝（    ）÷30，括号里填的数是240。（ ） 23．77÷3＝25……2，所以7700÷300＝25……2。（ ） 24．两个数的商是4，如果被除数不变，除数乘2，商就变成8。（ ） 四、计算题 25．根据560÷14＝40，直接写出下面各题的商。 （560÷2）÷14＝     （560×2）÷14＝       （560÷2）÷（14÷2）＝ 26．利用商不变的规律计算下面各题。 1400÷25    300÷25    600÷50 五、解答题 27．妍妍在计算一道三位数除以6的除法题时，把被除数末位的0漏掉了，所得的结果比正确的结果少54。你知道正确的结果是多少吗？ 28．王老师原计划30天画完900幅漫画，她平均每天要画多少幅？如果她每天只能画计划的一半，那么她画完900幅漫画需要多少天？ 29．（1）淘气在计算“120÷15”时，用如下方法这样算，淘气这样做对吗？为什么？请说明理由。 （2）如果用简便方法计算“800÷25”，你会怎样算？请写出简便计算的过程。 30．两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少？若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少？ 参考答案 1．A 【分析】根据除法的变化规律可知，除数不变，被除数乘一个不为0的数，商也乘这个不为0的数。 【详解】根据分析，（如果A、B、C都不为0）如果A÷B＝C，除数B不变，被除数A×5，则商C×5，所以（A×5）÷B＝C×5 2．C 【分析】在除法算式中，被除数相同，除数越大，商越小，反之，除数越小，商越大，据此判断。 【详解】因为320÷A和320÷B中被除数相同，且320÷A＞320÷B，所以A和B相比，A＜B。 3．B 【分析】根据商的变化规律，被除数乘5，除数除以5，则商应乘5后再乘5，即乘25。 【详解】两个数相除，商是20，如果被除数乘5，除数除以5，商应是20×5×5＝500。 4．A 【分析】海海把除数24抄成了4，需要先求出除数缩小的倍数。用原来的除数24除以抄错后的除数4，即可得到除数缩小的倍数。在除法运算中，当被除数不变时，除数缩小几倍，商就扩大相同的倍数。这里除数缩小了6倍，所以商扩大了6倍。 因为除数缩小6倍，所以错误的商是正确商的 6倍。要得到正确的商，需要将错误的商除以6。据此解答。 【详解】根据分析得：海海在计算时，把24抄成了4，他再除以6就能够得到正确的结果。 故答案为：A 5．A 【分析】在除法中，除数不变，被除数扩大，则商也变大，此题中被除数乘3，那么此时的商就是原来的3倍，即现在的商是给原来的商乘3。 【详解】除数不变，被除数乘3，商乘3。 故答案为：A 6．B 【分析】有余数的除法中，被除数和除数同时扩大到原来的相同倍数（0除外），商不变，余数也扩大到原来的相同倍数。 【详解】被除数和除数同时扩大到原来的100倍，商不变，余数也扩大到原来的100倍。 商不变，仍为，余数变为，因此计算结果为。 7．B 【分析】计算70÷30时，竖式中被除数和除数末尾的0被划去，实际是利用“商不变的性质”，将算式简化为7÷3计算，商不变，仍是2，但余数会发生变化。竖式中的余数“1”，是被除数和除数同时除以10得到的，所以实际余数需要乘10还原，即1×10＝10。 【详解】所以70÷30＝2……10，商是2，余数是10。 8．B 【分析】在有余数的除法里，被除数和除数同时乘相同的数（除外），商不变，余数会相应乘相同的数。 【详解】商不变，仍为，余数为：。 9．B 【分析】先计算出原算式的商，然后根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）或直接计算各选项的商进行比对。 【详解】原算式：。 A．被除数乘10，除数除以10，不符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项错误。 B．被除数和除数同时除以10，符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项正确。 C．被除数和除数同时加上10，不符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项错误。 10．A 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 【详解】由分析可知：被除数和除数同时乘10，则商不变，所以商还是50。 11．28 【分析】根据商随除数或被除数变化的规律可知，除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 被除数乘，商也乘；除数除以，商也要乘，据此解答。 【详解】 现在商是。 12．8 5 72 240 【分析】对于有余数的除法，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，余数也要乘（或除以）相同的数。 对于没有余数的除法，被除数乘几（0除外），除数不变，商也要乘相同的数。被除数乘几（0除外），除数除以几（0除外），商先乘被除数乘的数，再乘除数除以的数。 【详解】1×5＝5 所以，如果A÷B＝8……1，那么（A×5）÷（B×5）＝8……5； 24×3＝72 24×2×5＝240 所以，如果A÷B＝24，那么（A×3）÷B＝72；那么（A×2）÷（B÷5）＝240。 13．200 【分析】根据商的变化规律：被除数不变，除数除以几（0除外），商乘几。据此解答。 【详解】根据数量＝总价÷单价，在总价不变的情况下，梨的单价是苹果的一半，即单价除以2，那么能购买的数量就需要乘2。因此，能买梨的千克数为：100×2＝200（千克）。 14．20 30 270 【分析】被除数与除数同时乘相同的数（0除外），商不变，余数也需要乘相同的数。除法算式中，被除数不变，除数除以一个数（0除外），相当于商乘这个数。 【详解】（A×6）÷（B×6），被除数与除数同时乘6，商不变，还是20，余数也需乘6，是， 所以如果A÷B＝20……5，则（A×6）÷（B×6）＝20……30。 A÷（B÷3）被除数不变，除数除以3，相当于商乘3，商是， 所以如果A÷B＝90，则A÷（B÷3）＝270。 15． 【分析】观察已知的一组算式，除数保持不变，被除数依次扩大到原来的2倍，商也依次扩大到原来的2倍。根据这一变化规律，结合后续算式中被除数的变化情况，推算出对应的商。 【详解】根据分析可知： 计算：被除数是的倍，除数不变， 商应为扩大到原来的倍，，所以； 计算：被除数是的倍，除数不变， 商应为扩大到原来的倍，，所以。 16．14 14 1200 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘一个数或除以同一个不为0的数，商不变；除数不变，被除数扩大到原来的多少倍或缩小到原来的几分之一，商也相应地扩大的原来的多少倍或缩小到原来的几分之一；据此分析解答即可。 【详解】1680÷120＝（ ）中被除数和除数都同时乘10，根据商不变的性质，1680÷120＝14； 336÷24＝（ ）中被除数和除数都同时乘2，根据商不变的性质，336÷24＝14； 16800÷（ ）＝14中商不变，被除数扩大到原来的100倍，则除数也相应地扩大到原来的100倍，有16800÷1200＝14。 17．24 24 【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答。 【详解】根据384÷16＝24，3840÷160中被除数和除数同时乘10，商不变，即3840÷160＝24； 768÷32中被除数和除数同时乘2，商不变，即768÷32＝24。 18．22 1 【分析】根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数同时乘或除以相同的数，据此解答即可。 【详解】670÷30＝22……10，如果被除数和除数同时除以10，商不变为22，原式余数10需同时除以10，即10÷10＝1，因此余数是1。 19．34 5 【分析】算式□÷35＝24……△中，□是被除数，35是除数，24是商，△是余数，根据“被除数＝除数×商＋余数”，当余数取最大值时，被除数最大。又因为余数要比除数小，所以余数取最大值时，比除数小1。 算式★÷●＝5……3中，商是5，余数是3，根据“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也要同时乘或除以这个数”分析被除数和除数都乘10之后，商不变，余数要乘10。 【详解】35－1＝34，□÷35＝24……△，当余数是34时，□里的数最大。 算式★÷●＝5……3中，被除数和除数都乘10，商不变，依旧是5。 20．240 4 5 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时除以同一个不为0的数，商不变。所以被除数和除数都除以5后，商仍然是240。三位数除以两位数判断商的位数规律：被除数前两位＜除数时，商是一位数；被除数前两位≥除数时，商是两位数：要商是一位数，需满足3□＜35，□可填0~4，最大填4； 要商是两位数，需满足3□≥35，□可填5~9，最小填5。 【详解】一道除法算式的商是240，被除数和除数都除以5，则商是240。3□6÷35，□里最大填4，商是一位数；□里最小填5，商是两位数。 21．× 【分析】被除数和除数同时扩大到原来的相同倍数（0除外），商不变，但余数也要扩大到原来的相同倍数。 【详解】举符合题干条件的算式为例：，将被除数和除数都扩大到原来的8倍：，计算可得商是8，余数是64，不是8。原题说法错误。 故答案为：× 22．√ 【分析】根据商不变的规律，除数和被除数同时乘同一个不为0的数，商不变。 【详解】除数扩大到原来的2倍，要使结果不变，被除数也应该扩大到原来的2倍。120×2＝240，原题说法正确。 故答案为：√ 23．× 【分析】在有余数的除法中，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变；但余数是要变化的，也要乘相同的数；本题中被除数和除数同时扩大到原来的100倍，余数也应扩大到原来的100倍。 【详解】被除数是扩大到原来的倍，除数是扩大到原来的倍； 商25不变，仍为；但余数也应扩大到原来的倍，即。 所以7700÷300＝25……200，原计算错误。 故答案为：× 24．× 【分析】根据商的变化规律，被除数不变，除数乘几（0除外），商反而除以相同的数。本题中被除数不变，除数乘2，原来的商是4，新的商应为原来的商除以2。 【详解】 新的商是2，而不是8，原说法错误。 故答案为：× 25．20；80；40 【分析】根据商的变化规律：除数不变，被除数除以一个不为0的数，商也除以同一个不为0的数；除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此解答即可。 【详解】（560÷2）÷14＝20     （560×2）÷14＝80       （560÷2）÷（14÷2）＝40 26．56；12；12 【分析】被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。因为算式中的除数分别是25，50，25乘4得100、50乘2得100，所以选择将除数转化为100来计算。 针对每个除法算式，给被除数和除数同时乘对应的数，保证除数变为100，同时商不变。计算转化后被除数除以100的结果，即为原算式的商。 【详解】1400÷25         ＝（1400×4）÷（25×4）     ＝5600÷100         ＝56         300÷25 ＝（300×4）÷（25×4） ＝1200÷100 ＝12 600÷50 ＝（600×2）÷（50×2） ＝1200÷100 ＝12 27．正确的结果是60。 【分析】由题意可知，被除数末位的0漏掉了，则被除数除以10，除数不变，商也应该除以10，那么正确的结果是错误的结果的10倍，所以用错误的结果比正确的结果少的值除以，求出错误的结果，再用错误的结果乘10，求出正确的结果。 【详解】 答：正确的结果是60。 28．30幅；60天 【分析】用总的漫画幅数除以30就是王老师平均每天要画多少幅。 先用原来每天画的幅数除以2，算出现在每天画多少幅。然后再用总数900幅除以现在每天画多少幅，就是王老师需要的时间。 也可以这样想：在总数不变的情况下，原来一天的工作现在需要两天完成。那么现在需要时间就是原来时间的2倍。据此解答。 【详解】900÷30＝30（幅） 30÷2＝15（幅） 900÷15＝60（天） 或30×2＝60（天） 答：她平均每天要画30幅，画完900幅需要60天。 29． （1）对；理由：根据商不变的规律，在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。淘气的计算过程中，将被除数120和除数15同时乘2，转化为240÷30。商仍然是8，符合商不变的规律，所以这样做是对的。 （2）利用商不变的规律，将被除数和除数同时乘4，使除数变为整百数，从而简化计算过程。 【分析】（1）观察淘气的计算过程，发现他将被除数120和除数15同时乘2，转化为240÷30。根据商不变的规律，被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变。因此淘气的做法是正确的。 （2）计算800÷25时，观察到除数是25。根据数的特征，25乘4等于100。利用商不变的规律，将被除数和除数同时乘4，使除数变为整百数，从而简化计算过程。 【详解】（1）对。理由：根据商不变的规律，在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。淘气的计算过程中，将被除数120和除数15同时乘2，转化为240÷30。商仍然是8，符合商不变的规律，所以这样做是对的。 （2）答：利用商不变的规律，将被除数和除数同时乘4，使除数变为整百数，从而简化计算过程。 简便计算过程略。 30．被除数是486，除数是43； 商是11；余数是26； 【分析】根据商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，用553减去商11和余数13的和，得出被除数和除数的和；因为商是11，余数是13，可知被除数是除数的11倍再加上余数13，所以被除数等于除数×11＋余数13；被除数和除数的和可以看作11＋1＝12个除数再加上余数13；用被除数和除数的和减去余数13再除以12得出除数，再用被除数和除数的和减去除数求出被除数。 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；除数、余数要扩大或缩小相同的倍数。据此解答。 【详解】553－（11＋13） ＝553－24 ＝529 （529－13）÷（11＋1） ＝516÷12 ＝43 被除数：529－43＝486， 这个式子为486÷43＝11……13， 13×2＝26 答：被除数是486，除数是43；扩大后的商是11，余数是26。 学科网（北京）股份有限公司 $