精品解析：河南省濮阳市油田第十中学 2022-2023学年九年级上学期 阶段性测试 数学试卷

市油田十中2022-2023学年第一学期九年级阶段性测试 数学试卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下面关于正六棱柱的视图，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在抛物线yax2m a0上，则（ ） A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y3y2y1 D. y2y1y3 5. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 6. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 7. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、选择题（共5题，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 如图点A在反比例函数的图象上，轴于B，C是的中点，，则k的值为___． 13. 抛物线 的顶点坐标为______． 14. 如图，以为直径的半圆，点C、D在半圆上，，且，求的度数__________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 17. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集为_______． 18. 如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟． （1）索道车从A处运行到B处的距离约为________米； （2）请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：） 19. 如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． （1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； （2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 20. 如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 某商场销售一种小商品，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设每件涨了x元，每天的销售量为y件，销售利润为w元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若每件小商品的利润不超过3元，则每件小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 22. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； （3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市油田十中2022-2023学年第一学期九年级阶段性测试 数学试卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下面关于正六棱柱的视图，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从正面看是左右相邻的3个矩形，中间的矩形的面积较大，两边相同． ∴主视图是： 2. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形网格的小正方形的边长为１，根据题意，得，则，利用余弦的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦计算，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 【详解】解：设正方形网格的小正方形的边长为１，如图，根据题意，得，则， 故， 故选：B． 3. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 4. 已知点，，都在抛物线yax2m a0上，则（ ） A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y3y2y1 D. y2y1y3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+m（a＞0）， ∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大． ∵点（-9，y1），（4，y2），（-2，y3）都在抛物线y=ax2+m（a＞0）上， 对称轴为x=0， ∴0-（-9）=9，4-0=4，0-（-2）=2， ∴y3＜y2＜y1， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 6. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 7. 已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察二次函数图象可知，图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；抛物线的对称轴a＞0． 在反比例函数y=中可得ab＞0，所以反比例函数图象在第一、三象限； 在一次函数y=ax+b中，a＞0，b＞0，所以一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限． 故答案选B． 考点：函数图像与系数的关系. 8. 如图，内接于是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直径得出直角，再根据圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴． 9. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接CD， 因为， 所以CD为直径， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， 根据勾股定理得OD=4 所以tan∠CDO=， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则tan∠OBC=， 故选C． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为由此即可判断①②；根据当时，，可得即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴，即，方程的两个根是，，，故①②正确； ∵当时，， ∴， ∴，故③错误； 由函数图象可知当时，的取值范围是，当时，随增大而增大，故④⑤正确； ∴正确的一共有4个， 二、选择题（共5题，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 12. 如图点A在反比例函数的图象上，轴于B，C是的中点，，则k的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质得出，再根据反比例函数中k的几何意义得出，最后结合反比例函数的图象即可求出k的值． 【详解】解：∵C是的中点，， ∴， 又点A在反比例函数的图象上，轴于B， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 13. 抛物线 的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线解析式化成顶点式进行求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 14. 如图，以为直径的半圆，点C、D在半圆上，，且，求的度数__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆内接四边形性质得，由直径所对圆周角为直角得，由圆的基本性质得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ， ， 是直径， ， ， ， ， ． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，再进一步计算即可． （2）先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 17. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集为_______． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入函数关系式即可求出参数的值，利用待定系数法求解； （2）设交轴于点C，分别求出和的面积相加即可求解； （3）根据图像直接求解即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 即点，把的坐标代入， 则， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 如图， 设直线交轴于，则， ∴． 【小问3详解】 观察函数图象知，不等式的解集为或． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，考察了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求直线与轴交点，利用图像求不等式的解集等知识． 18. 如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟． （1）索道车从A处运行到B处的距离约为________米； （2）请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】（1）300 （2）白塔的高度约为米． 【解析】 【分析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案； （2）由题意可得： 而 再求解 再利用 再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟， ∴（米） 故答案为：300 【小问2详解】 解：由题意可得： 而米 ∴ ∴（米） 所以白塔的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键． 19. 如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． （1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； （2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】（1） （2）这辆汽车能够通过大门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【小问1详解】 解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； 【小问2详解】 货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 20. 如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵E为的中点 ∴， ∴，， ∵是直径所对的圆周角， ∴， 即， ∴ 在和中 ， ∴ ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由E为的中点可得，，，再由直径所对的圆周角为直角可知，故可证，即可得出结论； （2）设半径为r，则可得，则，在中运用勾股定理求解，在中运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， 设半径为r，则， ∵ ∴， ∵， ∴ 在中 ∴ 解得：． 21. 某商场销售一种小商品，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设每件涨了x元，每天的销售量为y件，销售利润为w元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若每件小商品的利润不超过3元，则每件小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）单价定为8元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关系式即可； （2）根据题意列出关于利润的关系式，然后根据二次函数的图象和性质进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵每件小商品的利润不超过3元， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， 此时， ∴单价为（元）， 答：单价定为8元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元． 22. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【解析】 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接； 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； （3）图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $