第一章 第8节 函数的奇偶性与对称性、周期性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数的奇偶性、对称性与周期性核心考点，按定义、判断方法、性质应用及综合问题的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、典例精讲、方法总结和分层变式训练，帮助学生系统掌握高考重点，突破综合应用难点。 讲义突出高考导向与分层教学，精选近年真题设计典例，总结奇偶性运算规则、周期性结论等解题策略，培养学生数学思维与抽象能力。设置基础到提高的变式练习，配合即时方法指导，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第8节 函数的奇偶性与对称性、周期性 高考对函数奇偶性的考查常以复杂函数或抽象函数为背景，与单调性、对称性、周期性或零点相结合，综合性较强． 一、高考核心考点 1．奇函数定义：函数对定义域内的任意，都有，或． ①为奇函数的图象关于坐标原点对称． ②若在处有意义，则，即图象过坐标原点． 2．偶函数定义：函数对定义域内的任意，都有． 为偶函数的图象关于y轴对称． 注：无论奇、偶函数，其定义域必关于原点对称． 3．函数奇偶性的判断方法： 定义法：①函数的定义域关于原点对称；②判断与的关系，若，则为奇函数，若，则为偶函数． 图象法：若的图象关于坐标原点对称，则为奇函数；若的图象关于轴对称，则为偶函数． 4．周期定义：已知函数，若存在非零常数，使对定义域的任意，都有，则为的周期函数，为函数的周期． 二、典例分析 1．利用定义判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性： ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【解析】奇函数有②④⑥，偶函数有①③⑤． 【感悟提升】（1）奇函数的常见特征：在多项式函数中的指数全为奇数，含、，奇函数常与“”号有关，常见奇函数有： ①； ②； ③； ④，，； ⑤． 偶函数的常见特征：在多项式函数中的指数全为偶数或常数，含，，偶函数常与“”号有关．常见偶函数有：①；②； ③，，； ④． （2）利用奇、偶函数的运算规则判断奇偶性 ①在相同的定义域内，有 偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶（分母不为）； 奇奇奇，奇奇奇，奇奇偶，奇奇偶（分母不为）； 奇偶奇，奇偶奇． ②奇、偶函数的绝对值是偶函数，奇、偶函数的倒数（分母不为零）或其非零常数倍，奇偶性不变． ③嵌套函数的奇偶性：内偶为偶，内奇同外．或记为：有偶则偶，全奇为奇． （3）对于抽象函数奇偶性的判断，常用赋值法． 【题组变式1】 变式1-1：判断下列函数的奇偶性： ① ；②；③；④． 【解析】奇函数有①③④，偶函数有②． 变式1-2：下列函数中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以A为奇函数； 令，则，所以B为奇函数； 令，则，所以C为奇函数； 令，则，所以D为偶函数． 故选D． 变式1-3：（多选）下列函数为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】令，则，所以A为奇函数； 显然B为奇函数，CD为偶函数．故选AB． 变式1-4：函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 ，即，故是偶函数． 变式1-5：定义在上的函数对任意实数，分别满足下列各式，判断对应的奇偶性：①，②． 【解析】①令，则，得；令，即，则．故为奇函数． ②令，则，得；令，则 ，得；令，则．故为偶函数． 变式1-6：（多选）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论不正确的是（ ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ACD 【解析】对于A，“奇偶”不能确定其奇偶性，可知A不正确； 对于B，根据“奇偶奇”，及“奇函数的绝对值为偶函数”，可知 B正确； 根据“内偶为偶，内奇同外”，可知C 、D中的函数均为偶函数．故C 、D不正确． 变式1-7：（2024年天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对于B，设，函数定义域为，且 ，则为偶函数，故B正确； 对于C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对于D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误． 变式1-8：下列函数中，不是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在A中，对，，故为奇函数； 在B中，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数； 在C中，当时，时， ，当时，时， 当时，，亦有．故是奇函数． 在D中，．由于，故．又，得 ，所以是奇函数． 故选B． 2．利用奇偶性求函数的值 【例2】已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】易知为奇函数，所以，即，得． 【感悟提升】若为奇函数，则，或；若为偶函数，则．若函数满足奇函数(常数），则 ．若存在最值，则；若有意义，则． 【题组变式2】 变式2-1：设函数，则 ． 【答案】 【解析】令，则，所以 ，所以为奇函数，所以 ． 变式2-2：（提高）已知函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【解析】设，由知，是奇函数，所以，所以． 3．利用奇偶性求参数的值 【典例3】（1）（2021年新高考1卷）已知函数是偶函数，则　 　； 【答案】 【解析】因为是偶函数，且为奇函数，根据奇奇偶，得为奇函数，由，得，经检验，符合题意，故． （2）（2023甲卷）若为偶函数，则________． 【答案】 【解析】因为为偶函数，定义域为，所以，即， 则，故，此时， 所以，又定义域为，故为偶函数，所以． 【感悟提升】常利用奇偶性的定义求参数的值：若为奇函数，可以将定义域内的特值代入中；若为偶函数，可以将定义域内的特值代入中．如奇函数在处有意义，则；在处有意义，则，应注意在定义域内取值且需检验，因为当在处有意义时，只是为奇函数的必要条件而非充要条件．若的图象关于点成中心对称，且有意义，则，即的图象过点． 【题组变式3】变式3-1：已知为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：因为为偶函数，所以对定义域内任意的，都有，即，即，化为，所以，得． 方法2：易得函数的定义域为，因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，所以．故选A． 变式3-2：若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】易知为奇函数，由，得．经检验，符合题意． 变式3-3：（提高）若是偶函数，则 ． 【答案】 【解析】因为是偶函数，所以对定义域内的任意，都有，即，所以，得对定义域内的任意都成立，所以． 变式3-4：（提高）（2022年全国乙卷，文）若是奇函数，则 ， ． 【答案】； 【解析】方法1：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由，得，所以，解得，即函数的定义域为，再由，得．将的值代入中，得，在定义域内满足，符合题意． 方法2： 所以，且，解得，． 4．函数图象的对称性 【例4】若函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则函数的图象关于直线对称的函数为．故选 C． 【感悟提升】（1）自对称：①轴对称，函数对定义域内的任意都有 的图象关于直线对称；②中心对称，函数对定义域内的任意都有的图象关于点对称． （2）互对称：①轴对称，函数的图象与的图象关于直线对称；②中心对称，函数的图象与的图象关于点对称． 【题组变式4】 变式4-1：已知函数，则（ ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】C【解析】，，函数 的对称轴方程为，且开口向下，故在上递增，在递减．故选C． 变式4-2：若函数是偶函数，则函数的图象关于（ ）对称 A．直线 B．直线 C．点 D．点 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，故选A． 变式4-3：（提高）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C． D． 【答案】C 【解析】方法1：由的对称中心为，得 为奇函数， ，所以，所以解得所以的对称中心为，所以，所以，，，，…，，，所以 ．故选C． 方法2：，易知是，的两个极值点，且，，因为图象的对称中心为点与点连线段的中点，即为，下略． 方法3：，，令，得，且，得拐点为，即为图象的对称中心，下略． 5．奇偶性与单调性、周期性综合（能力提升） 【例5】（1）设偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为偶函数在上是减函数，且， 所以在上递增，作出在上的大致图象，如图所示， 不等式的解即为函数图象在第二或四象限内点的横坐标，由图知，不等式的解集为．故选C． （2）（提高）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由函数是定义域为的奇函数，得，又由，可得，所以，得 ，所以函数是以为周期的周期函数，且，因为函数为奇函数，可得，所以，又由，得，即，，，，，所以，所以 ．故选B． 【感悟提升】①偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性，奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性． ②对于抽象函数的性质，常用构造法：构造，构造，构造， ③对称性与周期性的联系：若函数的图象关于直线和都对称，则是以为周期的函数；若函数的图象关于，两点都对称，则是以为周期的函数；若函数的图象关于点和直线都对称，则是以为周期函数． ④函数周期的常见结论 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期； 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期； 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 【题组变式5】 变式5-1：已知偶函数在上单调递减，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，又在上单调递减，所以，解得． 变式5-2：已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选B． 变式5-3：已知对任意实数都有．当时，函数．设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得在上递减，又，所以的图象关于直线对称，所以，，所以．故选D． 变式5-4：（提高）已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】因为，所以为偶函数； 又时，，由复合函数的单调性知，在上为增函数． 故选C． 变式5-5：已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ． 【答案】 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，又，所以，所以，所以． 变式5-6：已知是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则 ． 【答案】 【解析】因为是上的偶函数，所以，又的图象关于点对称，所以，所以，即，得，所以． 当时，，所以，， ，，所以， ． 变式5-7：（提高）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则下列说法正确的有（    ） A．的一个周期为 B．点是函数的一个对称中心 C．时， D． 【答案】AD 【解析】因为为奇函数，所以，且，函数的图象关于点，因为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，所以，即，所以，令，则，所以 ，所以，故的一个周期为，故A正确； 因为函数的图象关于直线对称，且周期为，所以直线是函数的一条对称轴，故B不正确； 因为当时，，所以，，又，所以，解得，因为，所以，所以当时，，故C不正确； 所以，故D正确． 故选AD． 变式5-8：（提高）已知是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则 ． 【答案】 【解析】因为是上的偶函数，所以，又的图象关于点对称，所以，所以，即，得，所以．当时，，所以，，，，所以，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第8节 函数的奇偶性与对称性、周期性 高考对函数奇偶性的考查常以复杂函数或抽象函数为背景，与单调性、对称性、周期性或零点相结合，综合性较强． 一、高考核心考点 1．奇函数定义：函数对定义域内的任意，都有，或． ①为奇函数的图象关于坐标原点对称． ②若在处有意义，则，即图象过坐标原点． 2．偶函数定义：函数对定义域内的任意，都有． 为偶函数的图象关于y轴对称． 注：无论奇、偶函数，其定义域必关于原点对称． 3．函数奇偶性的判断方法： 定义法：①函数的定义域关于原点对称；②判断与的关系，若，则为奇函数，若，则为偶函数． 图象法：若的图象关于坐标原点对称，则为奇函数；若的图象关于轴对称，则为偶函数． 4．周期定义：已知函数，若存在非零常数，使对定义域的任意，都有，则为的周期函数，为函数的周期． 二、典例分析 1．利用定义判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性： ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【感悟提升】（1）奇函数的常见特征：在多项式函数中的指数全为奇数，含、，奇函数常与“”号有关，常见奇函数有： ①； ②； ③； ④，，； ⑤． 偶函数的常见特征：在多项式函数中的指数全为偶数或常数，含，，偶函数常与“”号有关．常见偶函数有：①；②； ③，，； ④． （2）利用奇、偶函数的运算规则判断奇偶性 ①在相同的定义域内，有 偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶（分母不为）； 奇奇奇，奇奇奇，奇奇偶，奇奇偶（分母不为）； 奇偶奇，奇偶奇． ②奇、偶函数的绝对值是偶函数，奇、偶函数的倒数（分母不为零）或其非零常数倍，奇偶性不变． ③嵌套函数的奇偶性：内偶为偶，内奇同外．或记为：有偶则偶，全奇为奇． （3）对于抽象函数奇偶性的判断，常用赋值法． 【题组变式1】 变式1-1：判断下列函数的奇偶性： ① ；②；③；④． 变式1-2：下列函数中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 变式1-3：（多选）下列函数为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 变式1-4：函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 变式1-5：定义在上的函数对任意实数，分别满足下列各式，判断对应的奇偶性：①，②． 变式1-6：（多选）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论不正确的是（ ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 变式1-7：（2024年天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 变式1-8：下列函数中，不是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．利用奇偶性求函数的值 【例2】已知函数，且，则 ． 【感悟提升】若为奇函数，则，或；若为偶函数，则．若函数满足奇函数(常数），则 ．若存在最值，则；若有意义，则． 【题组变式2】 变式2-1：设函数，则 ． 变式2-2：（提高）已知函数的最大值为，最小值为，则 ． 3．利用奇偶性求参数的值 【典例3】（1）（2021年新高考1卷）已知函数是偶函数，则　 　； （2）（2023甲卷）若为偶函数，则________． 【感悟提升】常利用奇偶性的定义求参数的值：若为奇函数，可以将定义域内的特值代入中；若为偶函数，可以将定义域内的特值代入中．如奇函数在处有意义，则；在处有意义，则，应注意在定义域内取值且需检验，因为当在处有意义时，只是为奇函数的必要条件而非充要条件．若的图象关于点成中心对称，且有意义，则，即的图象过点． 【题组变式3】变式3-1：已知为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2：若函数为偶函数，则实数 ． 变式3-3：（提高）若是偶函数，则 ． 变式3-4：（提高）（2022年全国乙卷，文）若是奇函数，则 ， ． 4．函数图象的对称性 【例4】若函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】（1）自对称：①轴对称，函数对定义域内的任意都有 的图象关于直线对称；②中心对称，函数对定义域内的任意都有的图象关于点对称． （2）互对称：①轴对称，函数的图象与的图象关于直线对称；②中心对称，函数的图象与的图象关于点对称． 【题组变式4】 变式4-1：已知函数，则（ ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 变式4-2：若函数是偶函数，则函数的图象关于（ ）对称 A．直线 B．直线 C．点 D．点 变式4-3：（提高）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C． D． 5．奇偶性与单调性、周期性综合（能力提升） 【例5】（1）设偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． （2）（提高）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【感悟提升】①偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性，奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性． ②对于抽象函数的性质，常用构造法：构造，构造，构造， ③对称性与周期性的联系：若函数的图象关于直线和都对称，则是以为周期的函数；若函数的图象关于，两点都对称，则是以为周期的函数；若函数的图象关于点和直线都对称，则是以为周期函数． ④函数周期的常见结论 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期； 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期； 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 若对定义域内的任意都满足，则是的一个周期． 【题组变式5】 变式5-1：已知偶函数在上单调递减，．若，则的取值范围是 ． 变式5-2：已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 变式5-3：已知对任意实数都有．当时，函数．设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变式5-4：（提高）已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 变式5-5：已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ． 变式5-6：已知是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则 ． 变式5-7：（提高）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则下列说法正确的有（    ） A．的一个周期为 B．点是函数的一个对称中心 C．时， D． 变式5-8：（提高）已知是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $