第二十一章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大版九年级数学上册一元二次方程单元卷，融合文化传承（《燕几图》《田亩比类乘除捷法》）与实际应用（商品降价、口罩利润）情境，覆盖方程定义、解法及模型应用，适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、配方法|第5题以商品降价考查增长率模型| |填空题|5/15|直接开平方法、韦达定理|第14题结合产值增长列方程| |解答题|5/75|解法综合、实际应用、文化情境|第20题杨辉《田亩比类》问题体现数学文化|

第二十一章一元二次方程单元测试 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A. 2x+3=0　B. x²-5x+6=0　C. x³-x=0　D． 2．一元二次方程 x²+2x+5=0 的根的情况是（　） A. 有两个不相等实根　B. 有两个相等实根　C. 无实根　D. 无法确定 3． 用配方法解方程 x²-6x+5=0，配方后可得（　） A. (x-3)²=4　B. (x+3)²=4　C. (x-3)²=14　D. (x-6)²=31 4．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D．或 6．关于 x 的方程 x²+4x+m=0 有两个相等实根，则 m=（　） A. 2　B. 4　C. -4　D. 8 7．若 x=2 是方程 x²-px+2=0 的一个根，则 p=（　） A. 3　B. 2　C. 1　D. -3 8．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 9．一个矩形的长比宽多 4，其面积为 45，若设宽为 x，则可列方程为（　） A. x(x-4)=45　B. x(x+4)=45　C. 2x(x+4)=45　D. x+4=45 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断．过程如下图所示：    接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 方程 2x²-8=0 的解为 x₁=______，x₂=______。 12. 用配方法解方程 x²-8x+3=0，配方时在等式两边同时加上______（填常数），可得 (x-4)²=13。 13. 若 x=1 是方程 x²+px-3=0 的一个根，则 p=______。 14．某化工厂一月份的产值为万吨，二、三月份的增长率相同，若第一季度产值达到万吨，设增长率为，则所列方程为______． 15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．选用适当方法解下列方程： (1) (x-1)²=9 (2) x²-5x+6=0 17．已知方程 x²+mx+n=0 的两个根分别为 2 和 -3，求 m 与 n 的值。 18．关于 x 的方程 x²-(k+1)x+2k-3=0。 (1) 求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等实根； (2) 若两根之积为 5，求 k 的值。 19．某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； (2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 20．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    (1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步； (2)中间小正方形的面积为 平方步； (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ； (4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D A B A B B B 11．2 , -2 12．16 13．2 14． 15． 16． (1) x-1=±3，x₁=4，x₂=-2。 (2) (x-2)(x-3)=0，x₁=2，x₂=3。 17．由韦达定理：x₁+x₂=-m=2+(-3)=-1，得 m=1；x₁·x₂=n=2×(-3)=-6，得 n=-6。 18． (1) Δ=(k+1)²-4(2k-3)=k²-6k+13=(k-3)²+4>0，故总有两个不相等实根。 (2) 由韦达定理，x₁·x₂=2k-3=5，解得 k=4。 19．(1) (2)要获得1200元利润，应按每盒70元销售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 该款口罩的每盒售价不得高于72元， 不合题意，舍去． 答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售． 20．(1)60 (2)144 (3) (4)；矩形田地的宽为24步 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程． 【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 （2）解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 （3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； （4）解：由②③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴   答：矩形田地的宽为24步． 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $