专题04 相似三角形中A字型与（双）8字型模型（7大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

专题04 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“A”字模型 1 题型二、反“A”字模型 3 题型三、同向双“A”字模型 5 题型四、“8”字模型 7 题型五、反“8”字模型 9 题型六、平行双“8”字模型 11 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 2．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 4.如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 5．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 6.如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 题型四、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “8”字模型 条件：如图，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 7．如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，则可判定，从而可得比例式，结合，及，可得答案，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 题型五、反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 反“8”字模型 条件：如图，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 9.如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 10.如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 题型六、平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 平行双“8”字模型 条件：如图，AB∥CD；结论： 11．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 12.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 13.如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 14.如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 15.如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2025·云南·模拟预测）如图所示，已知，，若的长度为12，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明，得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，交于点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故、、正确， 根据已知条件无法判断，故不正确， 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，若，点D为AC中点，过点D的直线交AB于点G，交直线BC于点F，交AM于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的相似，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．作，可得，进一步得到线段的比例关系式，逐步得到关键结论与，即可求出答案． 【详解】解：如图， 过点作， ， 点D为AC中点，， ， ， ，即． ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，中，点为的中点，点在上，点在上，且，若，，则下列叙述何者正确？（   ） A．， B． C． D．，与不平行 【答案】D 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 由，，求得，假设，正确，则，所以，与已知条件不符，可判断不符合题意；由，证明，则，故B不符合题意；假设正确，由D为AB的中点，得，与已知条件不符，可判断C不符合题意；连接、，设，由，得，则，求得，所以，可知，由，可知与不平行，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，， ∴， 假设，正确，则， ∴，与已知条件不符， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； 假设正确， ∵为的中点， ∴，与已知条件不符， 故C不符合题意； 连接、，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与EC不平行， 故D符合题意， 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意得到，，可得相似比为，设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，则，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵点处的读数分别为， ∴， ∴相似比为， 设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：B ． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ②当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．由证明，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 同理由，得到， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（2026九年级·贵州·专题练习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则，和的周长之比为 ． 【答案】 【分析】首先证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得相似比，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得答案． 【详解】解：设与的相似比为， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，点是边延长线上一点，交于点，交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，关键是根据平行四边形的性质，证明，进而列出比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，为平行四边形边延长线上的一点，联结交于点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意易得，，则有，，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， 四边形为菱形， ，，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图：，分别交，，于点E、F、G，已知，，，．求，的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定：平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例.在中根据得到，利用对应边成比例求出，在中根据得到，利用对应边成比例求出，，从而求出. 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵中，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. 14．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知在中，点D，E，F分别在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论； （2）可证明，利用相似三角形的性质可得的长，再证明四边形是平行四边形，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 15．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）中，，交于． (1)求证：； (2)，求． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质得到相似； （2）利用相似三角形得到相似比即可算出． 【详解】（1）四边形是平行四边形， 平行于， ， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（2025·江苏南京·二模）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高． (1)把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长为______ ； (2)如图2和图3，在（1）的情况下，若，在和中各截出一个正方形，则哪一个正方形的面积较大？ 【答案】(1)这个正方形零件的边长是 (2)图2中截出的正方形的面积较大 【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得出，由相似三角形的性质可得，设这个正方形零件的边长是，则，，由（1）可得，代入数据进行计算即可得出答案． （2）先根据正方形的性质，运用相似三角形的判定与性质，分别算出如图2和图3的截出的正方形的面积，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ； 设这个正方形零件的边长是，则， ， ， 解得：， 这个正方形零件的边长是． （2）解：如图（2）， ∵，，且是的高， ∴在中，， 即， ∴是等腰直角三角形， 则， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴正方形的面积是； 如图3， 依题意，四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， ∴正方形的面积， ∵， ∴图2中截出的正方形的面积较大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中（双）A字型与（双)8字型模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 题型二、反“A”字模型… .3 题型三、同向双“A”字模型 5 题型四、“8”字模型… 题型五、反“8”字模型 .9 题型六、平行双“8”字模型… 11 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 13 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. “A”字模型条件：如图，DEBC;结论：△4DE~△4 BCADAB=AEAC=DEBC. 1.(2425九年级上四川吧中期中)如图，ABC中，点D、E分别在AB、4C上，且4D=45=, 'DBEC-2,下 列结论正确的是() B A.DE:BC=1:2 B.ADE与ABC的面积比为1：9 C.ADE与ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则ADE与△DEC的面积比为I:3 2.如图，在ABC中，DE∥BC,AD=2,DB=4,BC=9. 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D )求DE C的值； (2)求DE的长. 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 D 反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△4DE~△4 ICBADAC=AEAB=DEBC. 3.如图，△ADEP△ACB，DE=3，S△ADE:S因边形BcED=9:16,则BC的长 D B 4.如图，在ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. (I)求证：△AED∽△ABC. (2)若DE=5,求BC的长 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC,结论：△4EF△4BC,△MEG△MBD,△MGF△4 pCe EG-FG=4G BD CD AD 5.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在ABC中，DE/BC,G为BC上一点，连接AG交DE于 点F,AF、2 AG 5 ()求D 的值： AB (2)当DE=6时，求BC的长度， 6.如图，D,E分别是AC,AB上的点，LADE=LB,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,AD=3,AB=5. E B G 1)求AG 的值， (2)求ADE与ABC的周长之比： (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. 题型四、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似. 0 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “8”字模型 条件：如图，ABIICD;结论：△4OB~△CODABCD=OAOC=OBOD. 7.如图，平行四边形ABCD,E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,若BE:AB=1:2,则FC:AD的 值为 D B E 8.如图，已知：AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足 为F. EFEF (1)求证： 十 =1 AB CD (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD. 题型五、反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似. 反“8”字模型 条件：如图，∠A=∠D;结论：△4OB~△DOC⊙ABCD=OAOD=OBOC 9.如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且∠I=∠2，AD=3,DP=2,CP=1,求BC的长. D B 10.如图∠ADE=∠ACB,BD=10,CE=6,CF=3, 4/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：△DBF∽aCEF; (2)求DF的长. 题型六、平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似 平行双“8”字模型 条件：如图，ABCD:结论：AE-BE-AB DF CF CD 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点G,交CD的延长线于点 F,若DC=2DF,则 EG 的值为() BG G A.3 B. c.月 D. 12.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点， 连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE. 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△4BC中，DE∥BC,形成△ ADE与△4BC);8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD,AD与BC相交 于点O,形成△4OB与△COD),均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/ACDE/BC,8字模型中 AO/OD=BO/OC=AB/CD,可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对 边平行+交点)模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比 例式的灵活转换（如交叉相乘）。 13.如图，正方形ABCD,边长为4，点E在边CD上，射线AE与射线BC交于点F. B C (1)若CE=1,求CF的长： (2)求证：DE·BF=16 14.如图，在菱形ABCD中，点F在边CD上，连接AF并延长，交对角线BD于点E、BC的延长线与点G 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C G (I)求证：AE是EG、EF的比例中项； 2若BC=6,DF:4,求二的值。 EG 15.如图，AC是口ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线 于点G. (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECF∽△EGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. (3)在（2)的条件下，若S△4EF=3，求S西边形cDFE B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025·云南模拟预测)如图所示，已知AB∥DE,AC:EC=2:3,若DE的长度为12，则AB的长度为 () A B D∠ E A.4 B.6 C.8 D.10 2.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交 AC于点F,交DC于点G,则下列结论错误的是() 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D G B DE EG B. GC CF C.GC_GF D. EG GC AE EB AB AF CD FB EB AB 3.(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)如图，ABC中，若AM∥BC,点D为AC中点，过点D的直 线交AB于点G,交直线BC于点F,交AM于点E,若DF=3GD,则AG:BG等于() D A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.1:3 4.(2025广东深圳三模)如图，ABC中，D点为AB的中点，E点在AB上，F点在AC上，且 EFBC,若AF=7,FC=3,则下列叙述何者正确？() D E B A.AE=7,EB=3 B. EF3 BC 7 C.AD=5 D.DE<EB,DF与EC不平行 5.(25-26九年级上广东深圳阶段练习)如图，在ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交 AB,AC于点D,E.其中点B,C,D,E处的读数分别为8,16,10.5,14.5，已知直尺宽为2，则S。4Bc为() D E 呼"N 7891011121314156171819 B C 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.8 B.16 C.32 D.64 6.(25-26九年级上陕西西安·阶段练习)如图，在钝角ABC中，AB=10cm,AC=16cm,动点D从点 A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止，（点D到达点B后，点E继续运动）.点D运动的速度为 2cm/s,点E运动的速度为1cm/s,如果两点同时开始运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是() 《 D B C A. 7线39 8 4 B. 80 p. 80s或64 二、填空题 7.(25-26九年级上浙江金华阶段练习)如图，在ABC中，点D,E分别在边BA,CA上， D成UBC△L。BC=2,郑么DE= SAABC D B 8.(25-26九年级上·上海·阶段练习)如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD交于点G,AB=2, CD=3,则GH= D G B H 9.(2026九年级贵州专题练习)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了 杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲， 这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm, 阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则，aOBD和a0AC的周长之比为 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 0 D 甲 乙 10.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，点E是口ABCD边BA延长线上一点，CE交BD于点F，交 40于点0，如果品号郑么2角值为 A G 11.(25-26九年级上·上海青浦·阶段练习)如图，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，联结BE交 AC于点0,0F=1,0E=4,那么OB= E 12.(25-26九年级上·河南郑州阶段练习)如图，菱形ABCD中，EF⊥AC,垂足为点H,分别与AD、 AB及CB的延长线交于点E、M、F,且AE:FB=1:2,则HC:AC的值为· A M 三、解答题 13.(24-25九年级上陕西西安：阶段练习)如图：AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E、F、 G,已知AD=5,BC=10,AE=9,AB=12.求EG,FG的长. 14.(25-26九年级上浙江金华阶段练习)如图，已知在ABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC上， 10/12