高频专练08 相似三角形的性质与判定（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

高频专练08 相似三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 题型1 利用两角对应相等判定相似 题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型3利用三边对应成比例判定相似 题型4选择或补充条件使两个三角形相似（高频） 考点二 相似三角形的性质 题型1利用相似三角形的性质求解（重） 题型2相似三角形动点问题 （难） 题型3相似三角形实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 ◆题型1 利用两角对应相等判定相似 1．如图，在四边形中，，，求证：． 2．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 3．如图，．求证． 4．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． ◆题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 6．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 7．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 8．如图，已知，．求证：． ◆题型3利用三边对应成比例判定相似 9．如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 10．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 11．根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 12．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． ◆题型4选择或补充条件使两个三角形相似 13．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，点分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤．能判断的条件有(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 16．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 考点二 相似三角形的性质 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 17．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 18．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 19．已知，的周长为的周长为________． 20．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． ◆题型2相似三角形动点问题 21．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 22．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 23．在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 24．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． ◆题型3相似三角形实际应用 25．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 26．邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 27．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 28．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B点以的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边向C点以的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过时与相似，那么的值为（    ）    A． B．2 C．或3 D．2或 4．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是____． 6．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 7．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 三、解答题 8．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 9．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 10．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 11．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 12．如图，在中，D为AC中点，M、N分别在AB、BC上，且，MN交BD于点O，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练08相似三角形的性质与判定 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形的判定。 ◆题型1利用两角对应相等判定相似 1. 证明：AB∥DC, ∴.∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C=180°， :∠ABC+∠ADB=180 ∴∠C=∠ADB, .∴.△ABD∽△BDC 2.证明：DE∥BC, .∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴.△ABC∽△ADE 3. 证明：1=∠2， .∠2+∠ABD=∠I+∠ABD,即∠DBE=∠ABC, ∠D=∠A, .△ABCP△DBE. 4. 证明：，△ADE是等边三角形， ∴∠E=60° ∠C=60°， .∠E=∠C 又，∠AFE=∠DFC(对顶角相等)， :.△AEF∽△DCF(两角分别相等的两个三角形相似)· ◆题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5.证明：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AC-CE=8-5=3,AD=AB-BD=6-2=4, AE 3 1 AD 4 1 .AB62’AC82: AE AD 1 .AB AC2 ∠A=∠A, .△AEDP△ABC. 6. AC=5-1 证明：：EC102 BC 3 1 DC62' AC BC EC DC' 又∠ACB=∠ECD ∴.△ACB∽△ECD 7.证明：0A=1,0B=1.5,OC=3,0D=2, :041-20p2 0B1.5=3,0C-3 OA OD 0B0C' 又∠AOD=∠BOC. ∴.OADAOBC. 8. 证明：AD·AC=AB·AE, AD AE AB AC' .∠DAE=∠BAC. .△ADB∽△AEC. ◆题型3利用三边对应成比例判定相似 9. 证明：AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36, 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB453AC543BC153 则DE30=2'DF362'EF102' AB AC BC 3 DE DF EF 2' .△ABC∽△DEF 10. 证明：由题意可知，BC=1,BD=2,EF=3.由勾股定理，得 BE=+1=2,CE=+2=5,ED=+3=10 .BC1√2BE√2CEV5√2 BE√22'BD-2'ED102 BC BE CE BE BD ED .ABCE∽A△BED. 11.(1) AB BC CA 1 DE-EF-FD5' .△ABCADEF: (2) AB CA BC 1 “EF-DEFD4' .△ABC∽AEFD 12.(1)证明：DE=3,BC=8,DC=4,AB=6, :4B=BC-2 ED DC 设每小格的长度为a,则AC=√(4a)2+(6a)2=2V13a,EC=V(2a)2+(3a)2=V13a, .4C_2a=2, 'EC 13a AB BC AC ED DC EC· .△ABCOAEDC: ,c3 2)AC=V65 5 (2)解：设每小格的长度为a,则AB=(4a)2+(2a)}=20a2,又4B2=6=36, 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20a2=36’ 解得a=3V5 5 由(1)知AC=213a,EC=3a, ·AC=213x3V56N65 5 -6:hc=x353⑥ 5 5 ◆题型4选择或补充条件使两个三角形相似（高频） 13.D 【详解】解：如图， A、AB=AC,DE=DF, AB AC DE DF' 不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意； AB AC B、DEEF,AC和EF不是对应边，不能判定。ABC和ADEF相似，不符合题意： C、∠B=∠D,∠B和∠D不是对应角，不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意； D、AB=AC,DE=DF, ..AB AC DE DE' 又：∠A=∠D, △ABC∽△DEF,符合题意. 14.C 【详解】我们要判断的是△ADEAACB,注意两个三角形的对应顶点是A→A、D→C、E→B,且两 个三角形有公共角∠DAE=∠CAB,结合相似三角形判定定理逐个分析条件： ①∠AED=∠B:己有公共角∠DAE=∠CAB,再加一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角 形相似”，可判定△ADE△ACB,该条件有效. ②DEI/BC:由平行线性质可得△ADE∽aABC,对应关系是D→B、E→C,和题目要求的 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADE△ACB对应关系不符，该条件无效. AD AE ③ACAB: 公共角∠DAE=∠CAB的两组夹边成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似”，可判定△ADE△ACB,该条件有效. AD DE ④HDBC=DEAC:变形得AC-8C,这个比例式的两组边不是公共角∠A的夹边，无法满足相似判 定要求，不能证明目标相似，该条件无效 ⑤∠ADE=∠C:已有公共角∠DAE=∠CAB,再加一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角 形相似”，可判定△ADE∽△ACB,该条件有效. 综上，有效条件共3个 15.∠ABC=∠D(答案不唯一) 【详解】解：在△ABC和△ADB中，已知∠A=∠A, .有以下三种情况： ①当∠ACB=∠ABD时，△ABC∽△ADB: ②当∠ABC=∠D时，△ABC∽△ADB: ABAC ③当AD-AB时，△ABCn△ADB: 16.C 【详解】解：，∠DAB=∠CAE, .∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC A.:∠DAE=∠BAC,∠D=∠B,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，“△DAE∽aBAC: B.:∠DAE=∠BAC,∠E=∠C,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，△DAEPABAC: AD DE C.:ABBC的两组对应边，不是∠D1E和∠BAC的夹边，一不能判定两个三角形相似： AD AE D.“ABAC,且夹角∠DAB=∠B4C:满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，一 △DAEABAC. ·考点二相似三角形的性质●一 ◆题型1利用相似三角形的性质求解（重） 17.B 【详解】解：△ABC∽aADE,且BC=2DE, 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 1 BC-2' SABC e-( .S。ABc=4SADE, :S边形BEDc=SABC-S。ADE, ∴.S四边形BEDc=4S.ADE-SADE=3SADE, S.ADE==1 S四边形BEDC 3S.4DE 3 18.4 【详解】解：，△ABC∽aDEF,△ABC与△DEF的面积比为l:4, ,三角形边长为正数， AC 1 DF=2: AC=2, .DF=2×2=4. 19.15v6 【详解】解：：△ABC∽△DEF,SABc:SDr=I:6, ∴两个三角形的相似比为V:V6=1:V6, ,相似三角形的周长比等于相似比， C4Bc=↓ C. .C.ABC =15cm, .C.DEF =156cm 20.(1)8cm (2)40cm (3)16cm2 AB 1 【详解】(1)解：：*ABC64B'C,AB2,AB边上的中线CD=4m' 6/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD 1 ‘C'D2' ∴.C'D'=8cm: AB 1 (2)解：ABC64BC,AB=2,△ABC的周长为20cm, CAABC=1 CAABC 2’ .C△MBc=40cm: AB 1 (3)解：ABC64BC,AB=2,△AB'C的面积是64cm2, S.ABC= S。BC 4 ∴.S△4Bc=16cm2 ◆题型2相似三角形动点问题（难） 21.C 【详解】解：AD/BC,∠B=90° .∠A=180°-∠B=90°，∠A=∠B=90° 若△DAE与△EBC相似，分两种情况： ①当△DAEAEBC时， AD AE 32 ·EBBC,即EB6,解得EB=9: ②当△DAE∽aCBE时， ，ADAE32 ·CBBE,即6EB,解得EB=4: 综上所述，EB的长为4或9， 22.3或4.8 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：AD=xcm,CE=2xcm,则AE=(12-2x)cm, AD AE 当△4DE一△ABC时，AB=AC, .x12-2x “6=12，解得x=3: 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE 当ADEP6ACB时， AC AB' x=12-2x 126 解得x=4.8 综上，以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3或4.8. 23.2.4 【详解】解：设经过t秒后，△PCQ∽△ACB, .△PCQ∽AACB 8器m60 CP CO 解得t=2.4, 即经过2.4秒后，△PCQ∽△ACB 2 24.4或5 【详解】解：设运动时间是t秒， ,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动. .AP=1,CO=2t,A0=16-2t :∠BAC=∠PAQ,且以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似， APAO AP AO ·.ACAB或ABAC t16-2tt16-2t 小8=16或16 8 2 t=4或5 32 即当以A,P,Q为顶点的三角形与。ABC相似时，运动时间是4或5， ◆题型3相似三角形实际应用 25.B 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：AC⊥AB,BD⊥AB」 .∠OAC=∠OBD=90°， 又∠AOC=∠BOD, .AAOC△BOD, AC OA BD OB' .04=150cm,OB=50cm,BD=20cm. .AC_150 2050’ .AC =60cm 26.6 【详解1部：伦8阳4 AE BE :.CE DE =3, ,∠AEB=∠CED, ∴.△AEB∽△CED. AB_AE=3. .CD CE .AB=3CD=3×2=6(cm) 27.树AB的高度为15.5米 【详解】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=9O°，∠EDF=∠CDB, .△DEF△DCB, EF CB DE DC' .EF =0.4m,DE=0.6m,AM =CD=21m, .0.4_BC 0.621’ ∴.BC=14, .AB=AC+BC=1.5+14=15.5(m), 答：树AB的高度为15.5米 28.小明站在伞脚的右侧，离伞脚lm到2.2m处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作EF⊥AD于F,设小明站在MN处时，其影子的最外端与点 9/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H重合， 2m N 4m G. FA✉ 2m .NH∥EG. :.∠NHM=∠EGF, 又.∠EFG=∠NMH=90°， .△EFG∽△NMH, EF FG ∴NMMH 42 16MH' .MH=0.8. .AM=3-0.8=2.2(m), ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚1m到2.2m处，不会被太阳光晒到. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.C2.D3.C4.C 二、填空题 5.ADI川BC(答案不唯一) 6471 6.9/9 7.3 三、解答题 8. 【详解】(1)△BCDn△BAC,理由如下： ∠A=∠BCD,∠B=∠B, .△BCD∽△BAC 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)可得△BCD∽△BAC, BD BC :.BC AB, BC2=BD.AB= ×3=4 3 ,BC=2 9. 【答案】(1)证明：：BC2=CD·AC=6, BCCD .AC CB, .∠C=∠C. ∴.△CBDn△CAB (2)解：，BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, .CD=2.BC=6 .△CBD∽△CAB, BD CD 2 :AB CB6」 :B36 . 10. 【答案】(1)证明：由题可知∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE, ,∴，△ABC∽AEDC (2)解：由题可知，BC=45m,DC=20m,DE=32m, ·△ABC∽△EDC, BC AB 45 AB .DCDE,即2032， .AB=72. 答：河宽AB为72m. 11. 【详解】(1)解：如图，延长BD,AC交于M, B D A E CM :AB⊥AC,EF⊥AC,DC⊥AC, .AB∥EF∥DC, .△CDM∽△ABM∽△EFM, CM CD EM EF :AM AB,AM AB, CM 1 2+CM 2 .15+2+CMAB,15+2+CMAB, 2CM 2+CM .15+2+CM15+2+CM, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得CM=2, 2 1 .15+2+2AB, AB=9.5 答：雕塑顶部距离地面的高度AB为9.5m: (2)解：延长BH,AG交于T, B A M G :AB⊥AG,MN⊥AG,HG⊥AG, AB∥MN∥HG, ∴.△HGT∽aNMT∽aBAT MN MT HG TG .AB AT,AB AT, 1.7 MT 1 TG 9.5AT,9.5AT, .AT=9.5TG .TM =1.7TG 设TG=xm,则AT=9.5xm,TM=1.7xm, .AG=8.5xm,MG=0.7xm, 过Q作QS⊥AB于S交M于R, AS=RM=QG,SO=AG,RO=MG, PR∥BS. .△OPR∽aQBS PR RO .BS sO 1.6-QG0.7x .9.5-0G8.5x .QG0.9 答：此时相机镜头距离地面的高度G0约为0.9m 12. 【详解】解：如图，过A作AE I MN交BD于点H,交BC于点E,过D作DF‖BC交AE于点F, M F D B E AM=2, MB 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM 1 .AB 3: .MIN AE BM BO BN 1 AB BH BE3 CN :83 .BE=CN, .'BN=CE. DFCE,D为AC中点， DF AD 1 .CE AC 2, DF-ICE-IBN 2 2 DF 1 BE6 又，DFIBE .△DFH∽ABEH, DH DF 1 .BH BE 6: 设DH=a,则BH=6a, BO 1 .BH 3 .BO=2a,OH=4a,OD=5a, D0-5a=5 .OB 2a 2 13/13 高频专练08 相似三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 题型1 利用两角对应相等判定相似 题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型3利用三边对应成比例判定相似 题型4选择或补充条件使两个三角形相似（高频） 考点二 相似三角形的性质 题型1利用相似三角形的性质求解（重） 题型2相似三角形动点问题 （难） 题型3相似三角形实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 ◆题型1 利用两角对应相等判定相似 1．如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】 证明：， ，， ， ， ． 2．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】解：略 3．如图，．求证． 【答案】 证明：， ∴，即， ， ． 【详解】略 4．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ◆题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【详解】略 6．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【详解】略 7．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【详解】略 8．如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ◆题型3利用三边对应成比例判定相似 9．如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【详解】略 10．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】 证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【详解】略 11．根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1) ∵， ∴； (2) ∵， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. ◆题型4选择或补充条件使两个三角形相似 13．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 14．如图，在中，点分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤．能判断的条件有(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】我们要判断的是，注意两个三角形的对应顶点是、、，且两个三角形有公共角，结合相似三角形判定定理逐个分析条件： ①： 已有公共角，再加一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定，该条件有效． ②： 由平行线性质可得，对应关系是、，和题目要求的对应关系不符，该条件无效． ③： 公共角的两组夹边成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定，该条件有效． ④： 变形得，这个比例式的两组边不是公共角的夹边，无法满足相似判定要求，不能证明目标相似，该条件无效． ⑤： 已有公共角，再加一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定，该条件有效． 综上，有效条件共3个． 15．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 16．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 考点二 相似三角形的性质 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 17．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 18．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 19．已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 20．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． ◆题型2相似三角形动点问题 21．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 22．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 23．在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【答案】2.4 【详解】解：设经过t秒后，， ∵， ∴，即， 解得， 即经过2.4秒后，． 24．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． ◆题型3相似三角形实际应用 25．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 26．邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 28．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 2．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 3．如图所示，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B点以的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边向C点以的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过时与相似，那么的值为（    ）    A． B．2 C．或3 D．2或 【答案】C 【详解】∵，，，动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得； 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形背景下动态三角形相似的条件应用，正确分类三角形的相似是解题的关键． 4．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 二、填空题 5．如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加一个条件，则有， ∵ ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 7．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 8．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵，， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 11．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 12．如图，在中，D为AC中点，M、N分别在AB、BC上，且，MN交BD于点O，求的值． 【答案】 【详解】解：如图，过A作交BD于点H，交BC于点E，过D作交AE于点F， ∵   ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D为AC中点， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴，，， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $