重难点专训05 数列新定义题型六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以五步解题法为核心，系统整合6类新定义题型，通过分层训练实现从定义转化到综合应用的逻辑递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|1方法体系+6类题型（24例题）|五步解题法（读定义-翻语言-试小例-找结构-化归验证）|从文字定义到数学结构，从单一递推到极限交汇，分层递进| |分层练习|巩固过关8题+创新提升18题|提炼定义转化、结构识别、化归验证技巧|覆盖从基础到创新的全难度，适配一轮复习需求|

重难点专训05 数列新定义题型 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 递推约束型新定义 2 题型2 性质判定型新定义 5 题型3 新运算与生成数列型 12 题型4 结构构造型新定义 15 题型5 周期与子列约束型新定义 19 题型6 数列极限与不等式交汇型 28 重难专题分层过关练 33 巩固过关 33 创新提升 37 解题方法及技巧提炼 步骤 核心操作 落点（得到什么） 第 1 步 · 读定义 逐词标注关键词，划出所有“若……则……”“称……为……” 提炼出判定条件与可用性质 第 2 步 · 翻语言 把文字定义翻译成等式、不等式或递推式 得到可运算的数学结构 第 3 步 · 试小例 枚举前几项，找规律、定初值 第 4 步 · 找结构 识别等差 / 等比 / 周期 / 子列 / 对称等结构 确定解题模型与方向 第 5 步 · 化归验证 用通项、求和、不等式、数学归纳法求解，并回代定义验证 完成作答、防止失分 题型通法及变式提升 题型1 递推约束型新定义 定义直接给出或隐含一个递推关系，通常同时含全称量词（“对任意 n”）与存在量词（“存在 i”），要求围绕该递推式求值、证明性质或求通项。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知是无穷数列，若对于任意正整数n，仍是数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)若数列满足，，求数列的通项公式，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若严格增数列为“回归数列”，求证：为等差数列． 【答案】(1)不是，理由如下： 由，可得：，又， 所以是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”. (2)证明：由题意知:，必存在，使得：， 即，， 由题意可知：，， 故因此，即: 整理得：，则数列为等差数列. 2．设各项均为正整数的无穷数列满足：，其中为不超过x的最大整数． (1)若对任意正整数n都有，请写出两个满足条件的的值； (2)若数列是常数列，请写出所有满足条件的的表达式，并说明理由； (3)证明：不论为何值，总存在使得． 【详解】（1）取． 因为为奇数，且，所以 故对任意正整数均成立． 取． 因为，所以 此后，因此数列中也不出现1． 所以满足条件的两个的值可以为3，5． （2）数列是常数列，且，其中为正整数． 若为偶数，则由递推关系从而，与为正整数矛盾． 所以只能为奇数． 设，则． 由递推关系解得 反过来，任取正整数，令，则且 所以数列为常数列当且仅当其中为正整数． (3)任取一项，设，其中为非负整数． 若，则结论已经成立． 下面设． 若为偶数，则即下一项进入比更低的区间． 若为奇数，则，并且 同时，由可得 所以，当数列的项仍留在区间内且尚未等于时，每遇到奇数项，下一项就严格增大； 一旦出现偶数项，下一项便进入更低的区间． 区间内只有有限个正整数，因此数列不可能永远在该区间内严格增大而又不到达． 故经过有限步后，数列或者到达，或者进入某个更低的区间，其中． 若进入更低的区间，就重复上述讨论． 由于非负整数只能降低有限次，最终必有某一项等于某个区间的最大整数， 即，其中为正整数． 3．若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． (1)若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； (2)若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； (3)若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 【详解】（1）一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列． 另一方面，由等差数列的性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：； （2）若，且，则递增， 所以的常值“配对和”数列只能是：， 否则必有两项不相等．注意到若，则， 由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾． 因此，时有．同理，当时，也有． 综上，等比数列的公比． (3)由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：． 注意到数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和． 因此，若假设存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故． 由于数列和构成数列，所以存在． 因为此时是数列中最小的项，故且； 同理，存在，其中且． 由此可知，数列的大小排序为： 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： 1．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！ 2．一组：矛盾理由与情况1同理！ 3．一组：则只能， 由于可得， 而，故，故，矛盾； 同理：不能一组，故可得不能一组！ 同理：不能一组！ 而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！ 则可能情况只能还有以下两种可能： 4．一组：则，作差得矛盾！ 5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！ 因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项． 题型2 性质判定型新定义 定义给出一个“性质”（如“满足性质 P”），要求判断给定数列是否满足该性质、求参数使数列满足该性质，或探究具有该性质的数列的结构。 4．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 (2)数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 5.已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 【详解】（1），是以为首项，公比为的等比数列，其前项和，. 取代入计算. 再取代入计算. 两次计算结果不相等，不存在常数满足性质的定义，故不具有性质. （2），是以为首项，公差为的等差数列，其前项和，. 将代入表达式： . 故存在满足性质的定义，故数列具有性质. （3）具有性质， 故对任意两两不同的正整数，有 ， 同理两两不同的正整数，有，故. 由性质的定义知， ，再令，记数列的前项和为， 则有， 故，， 故. 作差可得， 故，其中， 而，故，故满足此式， ，故满足此式， 综上，，其中， 故，故是等差数列. 6．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 7.设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【详解】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； (3)证明如下： 令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 题型3 新运算与生成数列型 定义规定一种“新运算”，或规定在原有数列上按某种规则“生成”新数列（和数列、差分数列、积数列、生成数列等），要求研究新数列的性质。 8.若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 【详解】（1）由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设． ； （2）若对任意，，则，或； ①若，则，或， 或，或； ②若，则，或， 或； 综上，或 (3)因为，且对任意，总存在， 使得， 所以数列的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意，，所以， 所以， 所以 9.我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 【答案】(1)是，理由： 因，则， 故， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2）由题意是“一阶等差数列”， 又首项为1，公差为3，故， 则 ， 又满足上式，故. 则 “二阶等差数列”的通项公式为. 10.对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 【答案】(1)不是，理由如下： ∵，， ∴， 即，不满足②， ∴与不是无穷互补数列. （2）因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： 11．新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； (2)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； (3)若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 【详解】（1）若数列为1级等差数列，即对一切，都成立， 则数列为等差数列，设其公差为，由，可得， 则. （2）数列为2级等差数列， 且前四项分别为2，0，4，3，可得对一切，都成立， 由，，，，， 可得数列的奇数项依次构成首项为2，公差为2的等差数列；偶数项构成首项为0，公差为3的等差数列， 则 . （3）因是3级等差数列，则对一切，都成立， 即， 化简得：， 故得或. 当对恒成立时，可得； 由时，可得，解得. 故. 题型4 结构构造型新定义 定义要求把数列“删项”“分组”“重组”成满足条件的结构，或要求“构造”满足条件的数列与分组。 12.若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 【答案】(1)是等方差数列；数列不是等方差数列；理由为： 对于数列：，有， 故数列是等方差数列； 对于：，， 因为不是常数，故数列不是等方差数列； （2）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以； 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项（含）前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 13.对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【详解】（1）由题意，，，，；以； (2)，理由如下： 当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时，（*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. (3)不存在，理由如下： ，则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 14.对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1）解：（ⅰ）由题意，，； 所以 （ⅱ），理由：当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当，时，，数学归纳法证明如下 （1）当时，，命题成立； （2）假设当时，命题成立， 即，则当时， （*） ∵，，即命题也成立由 由（1）（2）可知，当，时，． (2)不存在，理由：，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立； 所以等式无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 15.在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则． (1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②； (2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值； (3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数． 【详解】（1）①，则逆序对有，，，，，则； ②，则逆序对有，，，，则； （2）考察排列D：与排列， 因为数对与中必有一个为逆序对（其中）， 且排列中数对共有个， 所以． 所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为． 而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列， 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为． 所以所有的算术平均值为． (3)证明：①当，即相邻时， 不妨设，则排列为， 此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对， 所以， 所以为奇数． ②当，即不相邻时， 假设之间有个数字，记排列：， 先将向右移动一个位置，得到排列， 由①，知与的奇偶性不同， 再将向右移动一个位置，得到排列， 由①，知与的奇偶性不同， 以此类推，共向右移动次，得到排列， 再将向左移动一个位置，得到排列，， 以此类推，共向左移动次，得到排列，， 即为排列， 由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列， 所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同， 所以为奇数． 综上，得为奇数． 题型5 周期与子列约束型新定义 定义涉及“周期”“循环”“相邻项约束”“奇偶项规律不同”等，需要借助前几项找周期或拆分奇偶项处理。此类题运算量小，但极易因“找错周期”“余数搞错”而失分。 16.在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. (3)证明：由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 17．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 【详解】（1）取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个“完美等比子列”. (2)猜想：数列存在“完美等比子列”. 证明：设数列的通项公式，该数列为等比数列， 令，则， 因为整数的各位数字上的和为3， 所以一定为正整数，且m随着n的增大而增大， 易得此时有无穷项，所以即数列的一个“完美等比子列”. (3)充分性：若存在“等比子列”， ， ， 必要性：则若，则设，， 则. 希望为等比等比， 令等比， 发现等比， 取， 令，， 即时，成等比， 综上，得证. 事实上，， 因为时，， 时，. 18．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 【答案】(1)是周期为的周期数列，理由如下： 因为， 所以是周期为的周期数列． (2)当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．理由如下： ①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． (3) 必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 19.若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”． (1)若是“数列”且，写出的所有可能值； (2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减； (3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值． 【详解】（1）所有可能的情况有：，0， ，0，1，， ，0，2，，2，0，0，， 故的所有可能值为，0，2，8． （2）因为，所以或． 当是等差数列时，假设，则． 此时，而，矛盾，所以． 于是公差，所以单调递减； 当单调递减时，对任意，， 又，所以，从而是等差数列； 综上，是等差数列的充分必要条件是单调递减； （3）方法1：因为为周期数列，所以， 所以为周期数列，又， 所以 设一个周期里：， 因为，所以， 所以为定值， 因为，所以， 取，则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 依次取数得到1~1010个，个数最多有1011个. 方法2：设第一次出现大于的项为，则， 所以，与为周期数列矛盾， 所以， 取，则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 依次取数得到1~1010个，个数最多有1011个. 20.已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； (2)由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 题型6 数列极限与不等式交汇型 新定义中出现“极限”“趋近”“有界”“无穷项和”等词，是上海卷特色（全国卷一般不直接考数列极限，上海卷必考），常与递推、不等式、单调有界结合命题。 21.若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列具有性质. （1）已知数列，，具有性质，求实数的取值范围； （2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值； （3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”. 【详解】（1）由题意可知，，得； （2）当时，，，所以；当时，，，；当时，，，，综上，的最大值为. （3）证明：令，显然具有性质，且满足条件（Ⅰ），当，满足条件（Ⅱ），，即，所以，所以，即证. 22.设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列. （1）若，，判断是否为封闭数列，并说明理由； （2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使； （3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比为，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由. 【详解】（1）不是封闭数列，因为，对任意的，有， 若存在，使得，即，， 该式左边为整数，右边为无理数，矛盾，所以该数列不是封闭数列； （2）证明：必要性：任取等比数列的两项，若存在使，则，解得，故存在，使，下面证明整数. 对，若，则取，对、存在使，即，，所以，矛盾，故存在整数，使； 充分性：若存在整数，使得，则，对任意， 因为，所以是封闭数列； （3）由于，所以 因为是封闭数列，且为正整数，所以存在整数，使， 若，则，此时不存在，所以没有意义； 若，则，于是， 所以； 若，则，于是， 所以； 若，则，于是， 所以. 综上所述，，，，该数列是封闭数列. 23．若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”. ①()；②存在实数，使得对任意，有成立. (1)设，试判断是否具有“性质A”； (2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围； (3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值. 【详解】（1），所以当时，有成立；又， 所以，所以数列具有“性质A”； ，所以，所以数列不具有“性质A”； （2）设公比为，则，解得或，又等比数列递增，则， 则数列的通项公式，所以恒成立， 又，所以对成立， 所以数列具有“性质A”，且； （3），由于数列具有“性质A”，则，即， 整理得，得：，得对成立， 所以，得，又当时，，且当时，， 所以满足条件的的最大值，所以. 24.已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 【详解】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 由， 又，也符合上式，所以. (2)（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕. （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和. 2.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 3.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21， 依题知，，，，， 叠加可得：， 整理得， 当，，满足， 所以， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 又，所以等号取不到，所以最小值在时取得， 当时，，所以最小值为. 故答案为： 4.若数列满足条件：存在正整数k，使得，对一切，都成立，则称数列为k级等差数列.若（为常数），且是3级等差数列，则所有可能值的集合为________. 【答案】或 【详解】∵是3级等差数列，∴， 对一切，都成立． 即， ∴． ∴，或． 对恒成立时，． 时，，∴， 综上．或 故答案为： 或 5．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“-数列”，写出所有可能的； (2)若“-数列”中，，求的最大值. 【详解】（1）依题意，因为数列为“数列”，则， 注意到，故所有可能的为或或. （2）一方面，注意到： 对任意的，令，则且， 故对任意的恒成立（★）， 当时，注意到， 得， 此时， 即，解得，故；另一方面， 取，则对任意的，故数列为“数列”， 此时，即符合题意. 综上，n的最大值为. 6.已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列. 【答案】(1)数列不为“回归数列”，理由如下： 对于任意仍为数列 中的项，则称数列为“回归数列”. 已知则， 显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”. (2)证明：由题意知:，必存在，使得：由题意可知：， ，故因此，即: 整理得：，则数列为等差数列. 7．若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； (1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； (2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 【详解】（1）若数列为2级等差数列，则； 即可知数列的偶数项和奇数项分别成等差数列， 利用等差数列定义可得， ； 所以； （2）若是3级等差数列，则； 所以可得，； 即， 解得或； 若对于恒成立，可得， 若，可得，即 所以， 因此的最小正值为，此时； 由于； 所以， 即可得， 8．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值. 【答案】(1)取， 则，， 因为，所以， 所以数列是“递增数列”. （2）当时， ， 因为数列为“速增数列”， 所以，且， 所以， 即 ， 当时，， 当 时，， 故正整数的最大值为63 . 创新提升 1．（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 【答案】A 【详解】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，， 又， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故命题①是假命题； 对于命题②，因为， 因为，所以，所以， 又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有， 又， 所以，故命题②是真命题， 综上，①是假命题，②是真命题. 2．若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】D 【详解】对于命题①，设数列为， 则，这几项满足差增数列条件， 但数列不是严格增数列.故命题①为假命题. 对于命题②，设奇数项，偶数项， 奇数项差为， 偶数项差为：当时，； 当时，， 显然奇数项与偶数项组成的子数列满足差增数列， 但，不满足差增数列， 因此数列不是差增数列，故命题②为假命题. 3．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 4．（2026·上海·三模）对于无穷数列和正整数，若存在，，…，满足且，则称数列具有性质．给出以下两个命题： ①存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质； ②若数列和均具有性质，则具有性质； 则下列判断正确的是（     ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①与②均为真命题 D．①与②均为假命题 【答案】A 【详解】对于①，取，因为，则，由于是个不同的正整数， 因此不可能相等，故数列不具有性质， 取，则，由于是个不同的正整数， 因此不可能相等，故数列不具有性质， 则，即， 故任取为个不同的正整数， 有，则数列具有性质，故①正确； 对于②，取，， 则当为奇数时，，故取为个不同的奇数，此时，故数列具有性质； 当为偶数时，，故取为个不同的偶数， 此时，故数列具有性质； 则，即，由于为个不同的正整数， 则，，，不可能相等， 此时数列不具有性质，故②错误. 综上，①为真命题，②为假命题. 5．若有穷整数列，，，，满足：，且，则称具有性质，则正确的是（ ） A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同 【答案】C 【详解】对于A， 假设存在数列，，，，具有性质，则， 且 ， 设 中有个，则有个， 可得， ，解得， 这与为整数矛盾，故假设不成立，即A错误； 对于B，取，满足且，所以B不正确； 对于C，设的9次变化中，由次选，次选， 因为，则且，解得， 利用反证法：假设全不同， 由，可得，所以， 列出到的模3余数：，可分三类（余数为）其中每类3项， 考虑变化次数的约束：（总+2次数），（前次+2次数）非递减且每次或， 可得，发现同类余数的项中， 因为增长受限，无法让3项全不同， 例如：余数为0时，， 若，可得，则，这与重复， 所以假设不成立，所以中必有两项相同，所以C正确； 对于D，取，满足且，所以D不正确. 6．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 7.在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是_____. 【答案】 【详解】因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情况， 若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为的数列一定是“阶可重复数列”； 若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”， 则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 9．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 【答案】207 【详解】，，，，，，，，……， 可以看出该数列周期为， 在前8项中符合“4性数列”条件的有和， 同样满足条件的还有，……，，共有12个三元数组. 考虑符合条件的取出的数列长度，. 若，共有2个； 若，共有4个； 若，各有6个； 当时，各有5、4、3、2、1个， 所以总计个. 故答案为：207 10．（24-25高三上·上海·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【详解】对于①，假设的公差不等于0，则， 故， 所以不存在，使得对任意，有， 当时，， 存在，满足 所以若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于，故①正确； 对于②，因为的各项均为正数，所以，， ， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故②错误； 先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列． 由有界变差数列的定义可知， ， ． 因为 ， 所以． 故 ， 因此， 所以是有界变差数列． 对于③，易知，设，则，且， 由前面结论知是有界变差数列，即是“有界变差数列”，故正确③； 对于④，因为，所以， 所以是有界变差数列，故④正确. 故答案为：①③④ 11.已知整数，数列：，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或 (1)已知，数列：，写出的所有“相邻数列”； (2)已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，，求的最小值． 【详解】（1）解：由数列：， 根据“相邻数列”的定义知：，，且或， 可得， 且或，或， 所以数列的所有“相邻数列”为：，，，. （2）解：任取的一个“相邻数列”：， 因为或， 或， 所以，且， 对于，的取值分以下4种情形： （i）且； （ii）且； （iii）且； （iv）且， 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到， 所以只需考虑第4种情形，递增，，，即， 由数列是递增的整数数列，可得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足数列的共有11个. （3）解：令，所以对于任意，， 设，， 则且， 先证明：与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则， 由，得，所以，即， 即是空集，或是连续自然数构成的集合； 若，令，则， 由，可得，所以，即， 即是空集，或是连续自然数构成的集合； 所以，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时对于任意， 由，可得，所以对任意的且， 由，所以， 当且仅当时，等号成立； （ii）存在整数，使得， 对任意的，对任意的， 所以 ； （iii），此时，对任意的， 与情形1类似，对于任意， 由，所以， 综上可得，的最小值为. 12.对于函数，若数列使得数列是公比为的等比数列，则称数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为. (1)设无穷数列的通项公式为，判断数列是否为函数的“关联数列”，并说明理由； (2)已知，有穷数列共有3项，满足，，.若数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为3，求，的值； (3)设定义域为的函数同时满足：①函数是以1为周期的周期函数；②对任意，恒有.问：是否存在公差大于0的无穷等差数列，使得数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为2?若存在，求的公差；若不存在，说明理由. 【详解】(1)不是，理由如下: 由，函数，令， 则， 故，所以不是函数的“关联数列”. （2）根据题意， 即，整理得， ，整理得， 所以，解得或或， ，，， 所以. (3)函数是以1为周期的周期函数，， ，即， 又数列是公差大于0的无穷等差数列，且数列是函数的“关联数列”，“关联常数”为2， 所以可设数列首项为，公差为，则， ，且是关于的一次函数，单调递增， 又， ， 即是线性增长，而是指数增长，矛盾， 所以不存在. 13.已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. (1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求； (2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； (3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由. 【详解】（1），，，故， 则； (2)证明：，，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. (3)不存在，理由为： ，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 14.对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”： ①；②存在实数M，使得成立． (1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”； (2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？ (3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：． 【详解】（1）在数列中，取，则，不满足条件①，所以数列不具有“m性质”； 在数列中，， 则， ， ，所以满足条件①； （）满足条件②，所以数列具有“性质m”． (2)具有“m性质”，且，证明如下： 根据，可得 ，化简得， 解得或（舍）， 所以，， 所以， 对于任意的，，且， 所以数列数列具有“m性质”，且． (3)由于，则，， 由于任意且，数列具有“性质m”，所以， 即， 化简得， 化简得， 即对于任意且恒成立， 所以① ， 由于及， 所以， 即时，数列是单调递增数列， 且， 所以，解得②， 由①②得，所以满足条件的整数t的值为2和3． 当时，，其中，，……，，故，不合要求，舍去； 当时，，其中，，……，，故，符合要求，故满足条件的整数只有 15.已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断数列是否具有性质并证明； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【详解】（1）由题意数列具有性质，为等比数列，设公比为q， 由，得， 又； (2)数列具有性质； 证明：因为， 所以， 则，即为等比数列， 所以数列具有性质. （3）因为，则，， 故，适合该式， 故， 所以由得， 则， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， 故. 16.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列. (1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和； (2)设数列的前项和为，且. ①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； ②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由. 【详解】(1)，故，即， 故数列是周期为6的周期数列. 计算得到 每个周期的和为0，故. (2)，，故当时，， 两式相减得到，故， ①若，则，则，不是周期数列. ②若，且，故，故，即， 故是周期数列. （3）， 相加得到，故是周期为6的数列. 计算数列为： 故， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故. 综上所述：存在，且. 17.若有穷数列满足（这里，常数），则称有穷数列具有性质. (1)已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值； (2)若有穷数列具有性质（常数），令（均为正整数，，），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由； (3)若有穷数列具有性质，其各项的和为，将中的最大值记为，当时，求的最小值. 【详解】（1）因为具有性质且，所以， 又因为 所以； （2）由题意：，（）， 由可得 ，； 所以， 故有穷数列具有性质； （3）因为具有性质，所以， 所以为递增数列，所以， 因为，，，， 累加得 ，所以， 所以, 得， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以时， ， 又，所以， 此时 18．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 数列新定义题型 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 递推约束型新定义 2 题型2 性质判定型新定义 3 题型3 新运算与生成数列型 5 题型4 结构构造型新定义 6 题型5 周期与子列约束型新定义 8 题型6 数列极限与不等式交汇型 10 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 步骤 核心操作 落点（得到什么） 第 1 步 · 读定义 逐词标注关键词，划出所有“若……则……”“称……为……” 提炼出判定条件与可用性质 第 2 步 · 翻语言 把文字定义翻译成等式、不等式或递推式 得到可运算的数学结构 第 3 步 · 试小例 枚举前几项，找规律、定初值 第 4 步 · 找结构 识别等差 / 等比 / 周期 / 子列 / 对称等结构 确定解题模型与方向 第 5 步 · 化归验证 用通项、求和、不等式、数学归纳法求解，并回代定义验证 完成作答、防止失分 题型通法及变式提升 题型1 递推约束型新定义 定义直接给出或隐含一个递推关系，通常同时含全称量词（“对任意 n”）与存在量词（“存在 i”），要求围绕该递推式求值、证明性质或求通项。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知是无穷数列，若对于任意正整数n，仍是数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)若数列满足，，求数列的通项公式，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若严格增数列为“回归数列”，求证：为等差数列． 2．设各项均为正整数的无穷数列满足：，其中为不超过x的最大整数． (1)若对任意正整数n都有，请写出两个满足条件的的值； (2)若数列是常数列，请写出所有满足条件的的表达式，并说明理由； (3)证明：不论为何值，总存在使得． 3．若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． (1)若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； (2)若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； (3)若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 题型2 性质判定型新定义 定义给出一个“性质”（如“满足性质 P”），要求判断给定数列是否满足该性质、求参数使数列满足该性质，或探究具有该性质的数列的结构。 4．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 5.已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 6．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 7.设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 题型3 新运算与生成数列型 定义规定一种“新运算”，或规定在原有数列上按某种规则“生成”新数列（和数列、差分数列、积数列、生成数列等），要求研究新数列的性质。 8.若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 9.我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 10.对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 11．新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； (2)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； (3)若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 题型4 结构构造型新定义 定义要求把数列“删项”“分组”“重组”成满足条件的结构，或要求“构造”满足条件的数列与分组。 12.若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 13.对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 14.对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 15.在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则． (1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②； (2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值； (3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数． 题型5 周期与子列约束型新定义 定义涉及“周期”“循环”“相邻项约束”“奇偶项规律不同”等，需要借助前几项找周期或拆分奇偶项处理。此类题运算量小，但极易因“找错周期”“余数搞错”而失分。 16.在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 17．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 18．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 19.若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”． (1)若是“数列”且，写出的所有可能值； (2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减； (3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值． 20.已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 题型6 数列极限与不等式交汇型 新定义中出现“极限”“趋近”“有界”“无穷项和”等词，是上海卷特色（全国卷一般不直接考数列极限，上海卷必考），常与递推、不等式、单调有界结合命题。 21.若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列具有性质. （1）已知数列，，具有性质，求实数的取值范围； （2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值； （3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”. 22.设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列. （1）若，，判断是否为封闭数列，并说明理由； （2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使； （3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比为，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由. 23．若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”. ①()；②存在实数，使得对任意，有成立. (1)设，试判断是否具有“性质A”； (2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围； (3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值. 24.已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 2.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 3.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为__________． 4.若数列满足条件：存在正整数k，使得，对一切，都成立，则称数列为k级等差数列.若（为常数），且是3级等差数列，则所有可能值的集合为________. 5．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“-数列”，写出所有可能的； (2)若“-数列”中，，求的最大值. 6.已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列. 7．若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； (1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； (2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 8．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. (1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值. 创新提升 1．（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 2．若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 3．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2026·上海·三模）对于无穷数列和正整数，若存在，，…，满足且，则称数列具有性质．给出以下两个命题： ①存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质； ②若数列和均具有性质，则具有性质； 则下列判断正确的是（     ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①与②均为真命题 D．①与②均为假命题 5．若有穷整数列，，，，满足：，且，则称具有性质，则正确的是（ ） A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同 6．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7.在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是_____. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 9．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 10．（24-25高三上·上海·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的序号是______. 11.已知整数，数列：，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或 (1)已知，数列：，写出的所有“相邻数列”； (2)已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，，求的最小值． 12.对于函数，若数列使得数列是公比为的等比数列，则称数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为. (1)设无穷数列的通项公式为，判断数列是否为函数的“关联数列”，并说明理由； (2)已知，有穷数列共有3项，满足，，.若数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为3，求，的值； (3)设定义域为的函数同时满足：①函数是以1为周期的周期函数；②对任意，恒有.问：是否存在公差大于0的无穷等差数列，使得数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为2?若存在，求的公差；若不存在，说明理由. 13.已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. (1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求； (2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； (3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由. 14.对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”： ①；②存在实数M，使得成立． (1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”； (2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？ (3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：． 15.已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断数列是否具有性质并证明； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 16.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列. (1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和； (2)设数列的前项和为，且. ①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； ②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由. 17.若有穷数列满足（这里，常数），则称有穷数列具有性质. (1)已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值； (2)若有穷数列具有性质（常数），令（均为正整数，，），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由； (3)若有穷数列具有性质，其各项的和为，将中的最大值记为，当时，求的最小值. 18．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $