第五章 平面向量与复数（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 平面向量与复数综合训练，以基础概念为起点，通过层级化题型构建知识网络，强化几何直观与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|填空1-2,5-6,选择13-14,解答18-19|概念辨析、运算推理、几何意义转化|复数代数形式与几何意义的对应，实部虚部关系推导| |平面向量|填空3-4,7-12,选择15-16,解答17,20-21|线性运算、数量积应用、动态几何问题|向量共线/垂直条件与坐标运算结合，数量积与投影的关联|

第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若复数满足（是虚数单位），则___________. 2．设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 3．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 4．已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 5．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 6．已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 8．在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 9．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 10．在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 11．已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 12．设是平面上两两不相等的向量，对任意的均有，若，，则__________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 14．若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 15．对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 16．已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 18．（14分）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 19．（14分）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 20．（18分）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 21．（18分）已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． (1)判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； (2)判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： (3)若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【详解】因为复数满足，则，故. 2．设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 3．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 4．已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】 【详解】在方向上的投影向量为. 5．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 6．已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当同号时，， 即或， 所以的取值范围为. 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 8．在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 9．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 10．在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 【答案】 【详解】因为点，，，、．， 由可得，即， 因、，则只能取等情况. 当时，可取等9种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等14种情况； 当时，可取等10种情况，故共有种情况. 由选取的点满足，即得， 当时，，则有共4种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共6种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共7种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共5种情况； 当时，，则有共1种情况； 当时，，则有共4种情况； 由上分析，满足的整点共有个， 故所求概率为. 11．已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 【答案】 【详解】如图以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 整理得，即， 又，则，即， 故动点在以为直径的单位圆上，其轨迹方程为， 不妨设， 则， ， 将上式看成关于角的函数， 则可得 ， 设，则， 故当时，即时，. 12．设是平面上两两不相等的向量，对任意的均有，若，，则__________． 【答案】 【详解】将的起点平移到一起，记作，其终点分别记作. 若，则四边形是菱形. 又，即四边形的对角线相等， 所以四边形为正方形. 因为对任意的均有，则分别为正方形各边的中点， 所以， 即．    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 14．若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 15．对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 16．已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 【详解】（1）由；……（7分） （2）由题设， 所以，可得.……（14分） 18．（14分）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以；……（6分） （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或.……（14分） 19．（14分）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 【详解】（1）， 由是纯虚数，所以， 所以；……（6分） （2）当时，，所以， 所以，， 所以，， ， 所以与的夹角为.……（14分） 20．（18分）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 【详解】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或．……（6分） （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为．……（12分） （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴．……（18分） 21．（18分）已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”． (1)判断是否是函数的伴随向量，并说明理由； (2)判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由： (3)若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点． 【详解】(1)是，理由如下： 因为，， 所以， 因此向量是函数的伴随向量．……（4分） （2）若存在伴随向量，则， 所以，得到， 即（其中为辅助角）， 由题知，上式对任意的都成立，则， 即，由于，当且仅当时，等号成立， 所以，又因为，故 当时，，，： 当时，，，． 故函数的“伴随向量”为和，……（10分） （3）因为，都是函数的“伴随向量”， 所以且，由，得， 所以，则， 故函数是以4为周期的函数．又当时，；当时，， 当，则，此时； 由，，得， 所以当，则，此时； 当，则，此时， 由，得，又，所以，又， 所以，又，是以4为周期的函数， 故 当时，函数的零点为．……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 平面向量与复数（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 7 3. 0 4. 5. 5 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A A C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由；……（7分） （2）由题设， 所以，可得.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以；……（6分） （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）， 由是纯虚数，所以， 所以；……（6分） （2）当时，，所以， 所以，， 所以，， ， 所以与的夹角为.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或．……（6分） （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为．……（12分） （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴．……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)是，理由如下： 因为，， 所以， 因此向量是函数的伴随向量．……（4分） （2）若存在伴随向量，则， 所以，得到， 即（其中为辅助角）， 由题知，上式对任意的都成立，则， 即，由于，当且仅当时，等号成立， 所以，又因为，故 当时，，，： 当时，，，． 故函数的“伴随向量”为和，……（10分） （3）因为，都是函数的“伴随向量”， 所以且，由，得， 所以，则， 故函数是以4为周期的函数．又当时，；当时，， 当，则，此时； 由，，得， 所以当，则，此时； 当，则，此时， 由，得，又，所以，又， 所以，又，是以4为周期的函数， 故 当时，函数的零点为．……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $