25.2.2 公式法 同步练习-2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“公式法”为核心，通过三级梯度设计实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，基础题夯实公式应用规范，提升题强化判别式与参数分析，拓展题融合几何与新定义情境，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|求根公式要素（a,b,c确定）、直接解方程|选择题1（a,b,c辨析）、解答题16（规范步骤训练），培养符号意识| |能力提升|根的判别式应用、参数取值范围|选择题6（新定义转化）、填空题14（无实根参数计算），发展推理意识| |综合拓展|几何应用、新定义问题|解答题20（等腰三角形边长）、21（等根值探究），强化模型观念与创新意识|

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次---一元二次方程 25.2.2 公式法 1、 选择题 1.用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【答案】C. 【分析】先将方程化为一般形式，然后即可写出a、b、c，本题得以解决． 【详解】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 2.一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B. 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：A. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； B. ，，则原方程没有实数根，故该选项符合题意； C. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； D. ，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．下列方程中，最适合用公式法求解的是（　　） A．4x2＝9 B．（x+1）2＝2 C．2x2﹣3x+1＝0 D．（3x﹣4）2﹣8＝0 【答案】C． 【分析】A中的方程可化为x2，给两边同时开平方即可求出x；B选择直接开平方法；C选择公式法；D选择移项，然后直接开平方． 【详解】解：A，B，D最适合用直接开平方根法进行求解，C最适合用公式法进行求解． 故选：C． 【点睛】本题是一道有关用公式法解一元二次方程、用直接开平方法解一元二次方程的题目． 5．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B. 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：x2+x﹣1＝0 由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键． 6．若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】方程利用题中的新定义化简，判断根的情况即可． 【详解】解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义计算，一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据新定义列出一元二次方程是解题的关键． 7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故选：B． 8.观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【答案】B． 【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.22.4，依此即可求出一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围． 【详解】解：x2﹣x＝1.1， x2﹣x﹣1.1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x， x1，x2， ∵2.22.4， ∴3.2＜13.4， ∴1.61.7， 即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7． 故选：B． 【点睛】考查了解一元二次方程﹣公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 9.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则有且，则，即，得，，然后代入所求代数式进行化简即可求解． 【详解】有两个相等的实数根， ，． ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及整体代入思想的运用能力．其中，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．掌握根的判别式，即一元二次方程有两个相等的实数根，则是解题的关键． 10．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　） A．8 B．9 C．8或9 D．12 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根， ∴Δ＝36﹣4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2+3＞3， ∴k＝9满足题意， 当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根， ∴4﹣12+k＝0， ∴k＝8， 此时另外一根为：x＝4， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 2、 填空题 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 12．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 13．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为 　 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故答案为：． 14．关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 　 ． 【答案】2． 【分析】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，所以2k﹣1≠0且Δ＜0，即解得k，即可得到k的最小整数值． 【详解】解：把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0， ∵原方程为一元二次方程且没有实数根， ∴2k﹣1≠0且Δ＜0，即Δ＝（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6＝88﹣48k＜0，解得k． 所以k的取值范围为：k． 则满足条件的k的最小整数值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac． 若关于x的一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b）的值为　 　． 【答案】． 【分析】化简代数式得﹣（b2+2b）+1，根据一元二次方程根的判别式，求得b2+2b，代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣2b）2﹣4（﹣4b+1）＝4b2+8b﹣2＝0， ∴b2+2b， ∴（3b﹣1）2﹣5b（2b）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+11， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，多项式乘法，熟练掌握整体代入方法是解决问题的关键． 3、 解答题 16．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）x1，x2； （3）x1，x2． （4）x1，x2． 【分析】首先确定a，b，c的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△≥0，即可代入公式计算即可． 【详解】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴x2±， ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）∵a，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（﹣2）＝25＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2； （3）原方程整理成一般式可得：2x2+8x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝8，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72， ∴x； x1，x2． （4）原方程整理成一般式得：3x2﹣11x+9＝0， ∵a＝3，b＝﹣11，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求实数的值； (2)若该方程有实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义将代入中进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， ∴实数的值为； （2）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 21．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次---一元二次方程 25.2.2 公式法 1、 选择题 1.用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 2.一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，最适合用公式法求解的是（　　） A．4x2＝9 B．（x+1）2＝2 C．2x2﹣3x+1＝0 D．（3x﹣4）2﹣8＝0 5．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（　　） A． B． C． D． 6．若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 8.观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 9.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 10．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　） A．8 B．9 C．8或9 D．12 2、 填空题 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 12．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 13．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为 　 ． 14．关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 　 ． 15．若关于x的一元二次方程x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b）的值为　 　． 3、 解答题 16．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求实数的值； (2)若该方程有实数根，求实数的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 21．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 学科网（北京）股份有限公司 $