13.3.1三角形的内角 课时同步练习 2026-2027学年数学人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形内角和定理及应用，分层设计从基础概念到综合探究，通过梯度化题型培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内角和计算、简单角关系|选择1按比例求内角，填空11直角三角形锐角互余，夯实概念| |提升层|角平分线、平行线、折叠综合|选择3角平分线与内角和结合，填空14折叠后角关系，发展空间观念| |综合层|动态探究与逻辑证明|解答21线段相交角关系证明，22三角尺放置角关系探究，培养推理能力与模型意识|

第十三章 三角形 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 1、 选择题 1.若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝5：3：2，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B． 【分析】可设三角形的三个内角的度数分别为：5x，3x，2x，再由三角形的内角和进行求解，即可判断三角形的类型． 【详解】解：设三角形的三个内角的度数分别为：5x，3x，2x，依题意得： 5x+3x+2x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝5x＝5×18°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 2．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 3．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 4．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°， 则∠CED＝90°﹣40°＝50°， ∵l∥AB， ∴∠1＝∠CED＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合垂线的定义得，再运用三角形内角和性质得，又因为，得出两直线平行，内错角相等，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 7．如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出，最后利用角的和差关系即可求出答案． 【详解】解：， ， 直尺的两边互相平行， ， ， ． 9．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 10.如图，点D为△ABC的角平分线AE延长线上的一点，过点D作DF⊥BC于点F，若∠B＝80°，∠C＝50°，则∠D的度数是（　　） A．10° B．13° C．15° D．17° 【答案】C． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，在△ABE中，利用三角形内角和求出∠AEB的度数，从而可得∠D的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAE∠BAC＝25°， 在△ABE中， ∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝75°， ∴∠AEB＝∠DEF＝75°， 在△DEF中， ∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∠D＝180°﹣∠DFE﹣∠DEF ＝180°﹣90°﹣75° ＝15°， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键． 2、 填空题 11．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于________． 【答案】75° 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵另一个锐角为15°， ∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余． 12．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为　 　． 【答案】35° 【分析】利用题目条件结合三角形内角和180°即可列出关于∠A的方程，进而求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°， ∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°， 解得：∠A＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，属于基础题． 13．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为　 　． 【答案】30°. 【分析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB＝60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB＝90°，求出∠DAB＝90°，即可求出∠DAF的度数． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝90°， ∴∠DAB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAF＝∠DAB﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30°. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，由平行线性质得出∠D+∠DAB＝180°是解答本题的关键． 14．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝100°，则∠DAM＝　 　度． 【答案】20° 【分析】利用轴对称和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝80°， ∵∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C， ∴∠DAM＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAM＝20°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，结合轴对称是解题的关键． 15．如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 16．如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 3、 解答题 17.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数． 【答案】36°． 【分析】由角平分线的定义可得∠A＝∠1＝∠2，利用三角形的内角和定理及平角的定义可得∠3＝∠A+∠1，设∠A＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x，根据三角形的内角和定理可求解x值，即可求解． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠A＝∠1， ∴∠A＝∠1＝∠2， ∵∠A+∠1+∠4＝180°，∠3+∠4＝180°， ∴∠3＝∠A+∠1， 设∠A＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x， ∵∠3＝∠C， ∴∠C＝2x， 在△BDC中， ∵∠2+∠3+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， 解得x＝36°， 即∠A＝36°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理列方程是解题的关键． 18.如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝80°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【答案】∠DAE=10°，∠BOA=120°． 【分析】利用角平分线定义可得∠BAE＝∠CAE∠CAB＝40°，∠ABO∠ABC＝20°，再由三角形的高可得∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，即可得出∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°，运用三角形内角和定理即可求得∠BOA． 【详解】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝80°， ∴∠BAE＝∠CAE∠CAB＝40°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°， ∵∠CAB＝80°，∠C＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠CAB+∠C）＝180°﹣（80°+60°）＝40°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝20°， ∴∠BOA＝180°﹣（∠ABO+∠BAE）＝180°﹣（20°+40°）＝120°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形的高．关键是利用角平分线的性质解出∠BAE、∠CAE、∠ABO，再运用三角形内角和定理求出∠BOA． 19.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 【答案】（1）44°；（2）见详解. 【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数； （2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数． 【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC88°＝44°； （2）证明：∵AD⊥BC； ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°， ∵∠ADF＝74°， ∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 20.在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 【答案】(1)50° (2)①117°；②证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，进而即可求解； （2）①根据折叠的性质得，进而即可求解；②根据三角形内角和定理结合折叠的性质即可得到结论 【详解】（1）∵， ∴， 由题意可得， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：由题意可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键 21.如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P． 【答案】（1）见解析； （2）见详解. 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可． 【详解】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC， 在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP， 在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP， ∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP， ∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC， ∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP， ∴∠B+∠C＝2∠P． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义． 22.阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系． （1）特例探索： 若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　 度；∠ABP+∠ACP＝　　 度； （2）类比探索： ∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　； （3）变式探索： 如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　． 【答案】（1）90，40； （2）∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A； （3）∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明． （3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵∠P＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°， 故答案为：90，40； （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A； （3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A， 理由是：设AB交PC于O，如图2： ∵∠AOC＝∠POB， ∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP， ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A， 故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 1、 选择题 1.若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝5：3：2，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 2．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 3．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 4．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10.如图，点D为△ABC的角平分线AE延长线上的一点，过点D作DF⊥BC于点F，若∠B＝80°，∠C＝50°，则∠D的度数是（　　） A．10° B．13° C．15° D．17° 2、 填空题 11．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于________． 12．已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为　 　． 13．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为　 　． 14．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝100°，则∠DAM＝　 　度． 15．如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________． 16．如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 3、 解答题 17.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数． 18.如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝80°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 19.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 20.在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 21.如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P． 22.阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系． （1）特例探索： 若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　 度；∠ABP+∠ACP＝　　 度； （2）类比探索： ∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　； （3）变式探索： 如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $