15-1 图形的轴对称 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕图形的轴对称及垂直平分线展开，涵盖轴对称图形与两图成轴对称的定义、联系区别，垂直平分线的定义、性质及判定，通过观察图片、动手折纸导入，构建从直观感知到抽象概念的学习支架。 其亮点在于结合生活实例（丰田标志、脚印）培养几何直观，通过对比辨析与互逆关系培养推理意识，用符号语言规范表达。含尺规作图及分层训练题，助力学生发展空间观念与应用能力，教师可直接用于课堂提升教学效率。

图形的轴对称 模块一： 轴对称 观察下列几幅图片，这些图形有什么共同的特征？ 沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合. 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 对称轴 对称轴 对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 两个有特殊位置关系的全等图形 1. 都是沿着某条直线折叠后能重合； 2. 可以通过分割或整合互相转化. 一个图形具有的特殊形状 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点A′，B ′，C ′ 分别是点 A，B，C 的对称点，线段 AA′，BB ′，CC ′ 与直线 MN 有什么关系？ A B C A′ B ′ C ′ N M AA ′⊥MN， BB ′⊥MN， CC ′⊥MN. 垂直平分线（中垂线） 如图，MN⊥AA′， AP = A′P. 直线 MN 是线段 AA′ 的垂直平分线. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 垂直平分线与轴对称图形 如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对应点所连线段 的垂直平分线. 图形轴对称的性质 A B A′ B′ M N 如图，MN 垂直平分 AA ′， MN 垂直平分 BB ′. 2.下列说法错误的是（ ） A．关于某直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．正方形的一条对角线把它所分成的两个三角形成轴对称 D．角的对称轴是角的平分线 1.下列图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是 (　 ) ． A D 3.如图，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为____． 4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠A=50º,将其折叠,使点A落在边CB上A´处,折痕为CD,则∠A´DB的度数为_____. 10 10º 5.如图，把一张长方形纸片（）沿折叠后，点，分别落在点，的位置上，交于点，若，求与的度数． 解：∵， ∴， 又， ∴∠． ∵， ∴． 6.如图,O为△ABC内部一点,OB=3,P,R为O分别关于直线AB,BC对称的对称点. (1)请指出当∠ABC是什么角度时,会使得PR的长度等于6?并完整说明PR的长度为何在此时等于6的理由. (2)承(1)小题,请判断当∠ABC不是你指出的角度时, PR的长度小于6还是大于6?并完整说明你判断的理由. 解：(1)如图,∠ABC=90º时,PR=6.证明如下：连接PB,RB. ∵P,R为O分别关于直线AB,BC对称的对称点.∴PB=OB=3,RB=OB=3. ∵∠ABC=90º,∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90º, ∴∠PBR=180º,即P、B、R三点共线,∴PR=PB+RB=3+3=6； 轴对称 轴对称图形的定义 轴对称与 轴对称图形 联系 区别 轴对称定义 应用 利用轴对称图形和两个图形成轴对称的定义进行判断 模块二： 垂直平分线 性质和判定 1.线段是轴对称图形吗？ 2.什么叫线段的垂直平分线？ 是 ∵直线L是线段AB的垂直平分线 ∴L⊥AB，AO=OB A B O L 　　 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，…是l 上的点，请测量点P1，P2，… 到点A 与点B 的距离，猜想它们之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB. 证明：∵ l ⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ AC=BC，PC=PC ∴ △PCA≌△PCB (SAS) ∴ PA=PB 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何符号语言： ∵ PC⊥AB，PC平分AB ∴ PA=PB 猜想：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 已知：线段AB，PA=PB 证明：过点P作直线MN⊥AB于C， ∵ PA=PB ∴ △PAB是等腰三角形 ∴PC是△PAB的中线 ∴AC=BC ∴直线MN是线段AB的垂直平分线 ∴点P在线段AB的垂直平分线上 C M N 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号语言 ∵PA＝PB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上 线段垂直平分线的性质定理 ∵ P在线段AB垂直平分线上 ∴ PA= PB ∵ PA= PB ∴P在线段AB垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理 互逆 线段垂直平分线的性质定理与判定定理的关系： 例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图，直线AB和AB外一点C.  求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁. (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. (3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (4)作直线CF. 则：直线CF就是所求作的垂线 ∵ CD=CE，FD=FE ∴ C、F都在DE的垂直平分线上 ∴ CF垂直平分DE ∴ CF⊥AB 想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？ 例2.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 作法： 1.分别以点A和B为圆心、以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点. 2.作直线CD. CD就是所求作的直线. 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 我们也可以用这种方法确定线段的中点. 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为 (　　) A．5 cm　　 B．10 cm　　 C．15 cm　　 D．17.5 cm 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° C B 3.如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点。若EC＝7cm，则ED= cm； 如果∠ECD=300 ，那么∠EDC= 0。 4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.5 cm，BD＝2.5 cm，则四边形ACBD的周长为 cm. 7 30 8 5.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. ∴OE是CD的垂直平分线. 线段垂直平分线 性质定理 判定定理 证线段相等 到线段两端点的距离相等 点在这条线段的垂直平分线上 互逆 证点在线段垂直平分线上 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $