15-3 等腰三角形 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统涵盖等腰三角形性质、判定，等边三角形，含30°角直角三角形性质及最短路径问题。通过折纸操作、问题情境导入，引导学生从具体到抽象，构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于注重数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（符号表达）。如折纸发现重合元素培养探究意识，多种证法训练逻辑推理，规范几何语言提升表达能力。实例丰富，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

等腰三角形 模块一： 等腰三角形的性质 A B C 1.有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 2.相等的两条边叫做腰. 3.另一条边叫做底边. 5.底边与腰的夹角叫做底角. 4.两腰所夹的角叫做顶角. 腰 腰 底边 顶角 底角 等腰三角形的概念 　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？ A B C D 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜:由这些重合的角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 分析： 构造两个全等三角形 证明角相等 1.作底边上的中线 2.作底边上的高线 3.作顶角的角平分线 不同方法分组证明 作底边 BC 的中线 AD. AB = AC (已知)， BD = CD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∵ AD⊥BC， 方法2：作底边上的高线. ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 还有其他方法吗？ 性质1：等腰三角形的两个底角相等. 符号语言： 在△ABC中 ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） A B C 证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 分析： 假设任意一种线段为已知条件 证明三线合一 证明：∵AB = AC，BD = DC， ∴∠ADB =∠ADC =90°. ∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴在△ABD 和△ADC 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， BD = DC (已知)， 这三条线是否在 任意边上都重合？ 符号语言: （1）∵ 在△ABC中，AB = AC ，∠BAD = ∠CAD ∴ ⊥ ， = ； （2）∵在△ABC中， AB = AC，BD = CD ∴ ⊥ ，∴∠ = ∠ ； （3）∵ 在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC, ∴∠ =∠ ， = . 性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”） BAD CAD BAD CAD AD BC AD BC BD CD BD CD 归纳：知一推二 A B D C 例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角) 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得 x=36° 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 1. 若等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为 (　　) A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80° 2. 如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为 (　　) A.85° B.75° C.65° D.30° D B 3. 如图,在△ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的大小为　　　.  4. 如图,在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线DE交BC于点E,交AB于点D,连接AE,若∠BAC=120°,则∠AEC的大小为　　　　.  34° 60° 5. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连接CD,DE,BE,且BD=BC=BE. (1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数; (2)设∠ACD=α,∠ABE=β,求α与β之间的数量关系,并说明理由. 解:(1)∵∠A=30°,∠ACB=70°, ∴∠ABC=180°-30°-70°=80°. ∵BD=BC, ∴∠BDC=∠BCD=(180°-80°)=50°, ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=20°. (2)2α=β.理由如下: 设∠BCD=x, ∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE=α+x, ∴∠DBC=180°-2x,∠EBC=180°-2(α+x), ∴∠DBC-∠EBC=(180°-2x)-[180°-2(α+x)] =2α. 又∠DBC-∠EBC=∠ABE=β,∴2α=β. 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 模块二： 等腰三角形的判定 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC 已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C, 求证：AB=AC. C A B 2 1 D （ （ 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD 证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D. ∴△ABD≌△ACD. ∴AB=AC. △ABC是等腰三角形. 等腰三角形的判定： 如果有一个三角形的两个角_____，那么这两个角所对的边也相等. 几何语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ ____=____(等角对等边). AB AC 相等 注意： 1、用“等角对等边”前提是在同一个三角形中。 2、等腰三角形的定义也可以当做等腰三角形的判定。 思考：等腰三角形的性质定理与判定定理有什么区别? 等边 等角 等角 等边 性质定理：等边对等角。 判定定理：等角对等边。 例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.   求证：AB=AC. 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. （1）作线段AB=a. 作法： （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. a A B D M N （3）在MN上取一点C，使DC=h. C （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 2.一个三角形的一个外角为130º，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 B C 3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______. 4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 　 　 　． 3cm 35° 5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E 作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG． 求证：FG＝ 证明： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠FEC， ∴EF＝CF， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ACD＝90° ∠AEF+∠FEC＝90°， ∴∠EAC＝∠AEF， ∴AF＝EF， ∴AF＝CF， ∵G是BC的中点， ∴GF是△ABC的中位线， ∴FG＝ 等腰三角形的判定 等角对等边 定义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形 模块三： 等边三角形 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形). 等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 分析： 边 等腰三角形 角 对称性 两腰相等 等角对等边 轴对称图形、三线合一 【问题1 】等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？   已知：如图，AB=AC=BC. ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 同理 ∠A=∠C ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C A B C 【问题2】等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 顶角的平分线、底边的高、 底边的中线、 三线合一 【结论】等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形的判定方法： 3. 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形. 2. 三个角都______的三角形是等边三角形； 1. 三边都______的三角形是等边三角形； 相等 相等 60° 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 方法二： 证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴ ∠ADE=∠AED ∴ AD=AE，且∠A=60° ∴ △ADE是等边三角形 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( ) A.30° B.60° C.45 D.75° D D 3.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm. 4.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____. 5.如图，△ABC是周长为6的等边三角形,BD为中线，且BD=a,E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为________. 2 120° 2a+3 6.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN. 证明:∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=60° ∵OB平分∠ABC ∴∠1=∠2=30° ∵OM//AB ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3=30° ∴BM=OM,∠OMN=60° 同理CN=ON,∠ONM=60° ∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60° ∴OM=ON=MN ∴BM=MN=CN 7.如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3． (1)求∠BEC的度数； (2)△DEF是等边三角形吗?请简要说明理由． 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°． 又∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF， ∴∠BEC＝180°－∠2－∠BCE ＝180°－(∠2＋∠ABD) ＝180°－60°＝120°． (2)由(1)知∠BEC＝120°， ∴∠DEF＝60°． 同理：∠DFE＝∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形． 定义 等边三角形 __________的三角形等边三角形 判定 性质 ____________的三角形是等边三角形 等边三角形的三个内角______，并且每一个内角________ 三个角都相等 都相等 有____个角是___的______三角形是等边三角形 一 60° 等腰 三边都相等 等于 60° 模块四： 含30°角的 直角三角形 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起等到一个等边三角形 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD=AB. A B D C 30° 猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º. 求证：BC=AB． D 倍长法 ∴BC=AB.　　 ∴BC=BD.　　 ∵AC⊥BD, 证明1： ∵∠C=90º,∠A=30º, ∴∠B=60º. 延长BC到D,使BD=AB,连接AD, 则△ABD是等边三角形. A B C 截半法 A B C BC=AB.　　 证明2：在BA上截取BE=BC,连接EC. ∵∠B=60º,BE=BC. ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC=60º,BE=EC. ∵∠A=30º, ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60º-30º=30º. ∴AE=EC， ∴AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 该性质的几何语言： 在Rt△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A=30°，　　 ∴BC=AB．　　 A B C 该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质. 例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长. 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30° ∴ BC=AB，DE=AD ∴ BC=×7.4=3.7(m) 又∵ AD=AB ∴ DE=AD=×3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠B=30º,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(　　) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 2.如图,∠AOP=∠BOP=15º,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(　　) A.3 B.2 C.1.5 D.1 D C 3.如图，在Rt△ABC 中，∠A = 30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD，则 CD =1，则 AD 的长为_____. 4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为 _____cm. 2 10 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长. 解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60° ∴∠B=30° ∵AM平分∠BAC ∴∠CAM=∠BAM=30° ∴∠B=∠BAM ∴AM=BM=15cm 在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30° ∴CM=AM=7.5cm ∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm) 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 模块五： 最短路径问题 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短? l 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ l 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小. C 如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。 ∙ ∙ A B l 解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短. .C 那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？ 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. B ′ 连接AB ′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． C 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． 最短路径问题： 两点之间，线段最短 依据 利用轴对称实现线段的转移 关键 需要注意的细节： 区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程. 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. A B M N a b （1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？ （2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB． 问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ A B M N a b A′ （3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求． A B M N a b A′ 你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？ 证明：在△A′N′B中， ∵A′B＜A′N′＋BN′， ∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′． ∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′． 即AM＋MN＋BN最小． N′ A B M N a b A′ M′ 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 1.某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( ) A.小区 A B. 小区 B C.小区 C D. AC 的中点 2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) B D 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 。 4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 。 5 （0，3） 5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′. 同理，BE=GE′. 由两点之间线段最短可知，GF最小. 6.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l₂ 的码头 C，最后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。 湖岸 l₁ 湖岸 l2 (1) 湖岸 l₁ 湖岸 l₁ 解：如图(2)示. 将军饮马问题 造桥选址问题 最短路径 利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题 $