15.3.2等边三角形 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“等边三角形”核心内容，涵盖定义、性质（内角60°、三线合一、三条对称轴）、判定方法及30°直角三角形性质。通过复习等腰三角形判定活动导入，以“探究1”回顾定义为支架，衔接旧知自然引入新知。 其亮点在于结合探究活动（如30°三角尺摆放发现数量关系）与类比推理（从等腰三角形判定迁移至等边三角形），培养数学思维的推理意识与几何直观。例题含变式训练（如DE//BC在延长线、反向延长线的情况），规范符号语言表达，助力学生形成逻辑推理能力，教师可借助系统例题与练习提升教学效率。

15.3.2 第十五章 轴对称 等边三角形 探究1：回顾：等边三角形的定义 1.如图, AB∥CD, CE平分∠BCD. 求证：△BCE是等腰三角形 活动：复习巩固-等腰三角形判定 解：∵AB∥CD, ∴∠DCE=∠CEB. ∵CE平分∠BCD ∴∠DCE=∠BCE ∴∠BCE=∠CEB ∴BC=BE ∴△BCE是等腰三角形 问题1　如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？   结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 例1、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 典例精析 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 7 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD． 求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 8 【探究4】类比等腰三角形的判定，一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 【思考】等边三角形还有其他的判定方法吗？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【总结】等边三角形的判定方法： 3. 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形. 2. 三个角都______的三角形是等边三角形； 1. 三边都______的三角形是等边三角形； 相等 相等 60° 　　例　如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．求立柱 BC，DE 的长． 　　解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， 　　∴ BC＝ AB，DE＝ AD． 　　∴ BC＝ ×7.4＝3.7（m）． 　　答：立柱 BC 的长是 3.7 m， DE 的长是 1.85 m． 　　又 AD＝ AB， 　　∴ DE＝ AD＝ ×3.7＝1.85（m）． 　　1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？ 解：∵ ∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ ∠A＋2∠A＋90°＝180°． ∴ ∠A＝30°． ∴ ∠B＝2∠A＝60°． ∴ AB＝2BC． 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED, ∴　∠A =∠ADE =∠AED, ∴　△ADE 是等边三角形. 【变式1】若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 【变式2】若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E, ∴　∠EAD =∠D =∠E, ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 已知：在等腰△ABC 中，∠A＝60° ． 求证：△ABC 是等边三角形． A B C 问题3 　　∠B＝∠C＝ ×(180°－60°)＝60°， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　∴ △ABC 是等边三角形． 　　证明：（1）当顶角∠A＝60°时， 问题3 已知：在等腰△ABC 中，∠A＝60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 　　证明：（2）当底角∠A＝60°时， 另一个底角∠C（∠B）＝60°， 　　∴ 顶角∠B（∠C）＝180°－(60°＋60°)＝60°， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　∴ △ABC 是等边三角形． A B C 可以得到： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言： 如图，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60° 或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形. A B C 例2 如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形. A B C D E 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C D 解析：在△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4×=2. 同理可得：BD=BC=2× =1. 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. 解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， A C B D 15 ° 15 ° 20 ) ) ∴CD= AC= ×20=10. 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法一 ∵ AB∥DC，∠A=60°， ∴∠ADC=120°. ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠ADC=60°. ∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°. ∴∠ABD=∠ADB=∠A. ∴△ABD是等边三角形. 跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形. 证明：方法二 ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB. ∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB， ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. 又∠A=60°. ∴△ABD 是等边三角形 $