第28章旋转 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦旋转单元分层巩固，基础层夯实概念与性质应用，提优层深化综合推理与动态问题，形成从单一到综合的知识进阶路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|旋转概念、性质、简单应用|单选辨析轴对称与中心对称，填空结合坐标对称，解答题基础旋转证明，培养几何直观与推理意识| |提优过关|旋转综合应用、动态几何、最值问题|结合等腰直角三角形、四边形动态旋转，涉及面积最值与分类讨论，发展创新意识与运算能力|

（分层作业）第28章旋转-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（   ） A．旋转、轴对称 B．平移、轴对称 C．旋转、平移 D．平移 3．如图，在等腰中，，，将绕点A顺时针旋转得到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，直线与直线相交于点，将绕点逆时针旋转后，与直线相交于点，若，那么（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到，记交于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A．是等边三角形 B． C． D． 7．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 8．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 二、填空题 9．点关于轴的对称点的坐标为___________，点关于原点的对称点的坐标为___________． 10．已知点关于原点的对称点在第四象限，则取值范围是_____． 11．如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为 ______ ． 12．如图，中，，，点D为边上一点（不与B点重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，点C的对应点为E，连接．若，则的面积最大值为__________． 13．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，将绕点B顺时针旋转得到，则当取得最小值时的面积等于____． 14．如图正方形的边长为8，E为边上一定点，且，P为边上一动点，连接． （1）若当P是中点时，则的长度为_______； （2）若将绕点P逆时针旋转至，连接，则的最小值为_______． 三、解答题 15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为：、、． (1)画出先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的； (2)画出绕坐标原点逆时针旋转后得到的； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 17．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 提优过关 18．如图（1），平面直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，点坐标为，，将线段平移到线段的位置，连接，， (1)请直接写出点E的坐标和线段的长． (2)将绕点O逆时针方向旋转至如图（2）的位置，连接； ①判断线段和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． ②当旋转角为时，求线段的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段． (1)直接写出点D的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限时，连接，点P为四边形内部一点，连接，，设点P的纵坐标为t，三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，若三角形的面积与三角形的面积比为，且点P在线段上，求点P的坐标． 20．在等腰直角中，点A在的延长线上，点G是的中点． (1)如图1，若且，求的长； (2)如图2，E在直线上点C右侧，将绕点E顺时针旋转得到，点F恰好在的延长线上，求证：； (3)如图3，点E是直线上一点，以为腰作等腰直角，，连接，若，当为直角三角形时，请直接写出的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第28章旋转-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B A D D D 1．D 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，选项错误，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项正确，符合题意． 2．C 【分析】通过对比甲、乙两个图案的方向和位置变化，结合平移、旋转、轴对称三种图形变换的特征，判断用到的变换类型． 【详解】解：∵甲图案主干竖直，乙图案主干倾斜，方向发生了改变． ∴图形变换中包含旋转． ∵甲图案的分枝在主干右侧1枝，左侧2枝，乙图案分枝在主干右侧1枝，左侧2枝． ∴图形变换中包含平移． 综上所述，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是旋转、平移． 3．C 【分析】根据等腰三角形的性质与旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 4．B 【分析】先由平行四边形的性质求出，再由旋转可得，然后利用等边对等角以及平角的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 由旋转可得， ∴， ∴． 5．A 【分析】本题考查平行线的性质的应用，求出，根据平行线的性质得出，即可得出选项． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后，与直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．D 【分析】由旋转得，可知为等腰三角形，仅当旋转角时才为等边三角形，故A选项错误；由、证，得、，结合等腰三角形性质得，利用对顶角证，得，进而判断，故B选项错误；由，判断与不平行，故C选项错误；利用三角形内角和与，推出，故D选项正确． 【详解】解：选项A：由旋转可知， ∴为等腰三角形， 只有旋转角为时，才是等边三角形， 故A选项错误，该选项不符合题意； 选项B：∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故B选项错误； 选项C：∵， ∴不可能平行于， 故C选项错误，该选项不符合题意； 选项D：∵，， ∴， 故D选项正确，该选项符合题意． 7．D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 8．D 【分析】由矩形的性质可得，设，由题意可得，由勾股定理可得，证明为等边三角形，作于点，表示出，结合函数图象计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 设， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作于点， ， 则， ∴， ∴的面积为， 由函数图象可得，函数图象是一条开口向上的抛物线，随着的增大而增大， ∵图象上最高点的坐标为， ∴此时点运动到点，即， 将代入可得：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 9． 【分析】本题考查了坐标与图形－轴对称以及关于原点的对称点．点关于x轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数．根据轴对称的变化规律进行解答即可． 【详解】点A的坐标为，关于轴的对称点B的坐标为；点A关于原点的对称点 的坐标为． 故答案为；． 10． 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，求不等式组的解集．根据关于原点对称的点的坐标关系，得出点的对称点坐标，再根据第四象限点的坐标符号特征列出不等式组求解． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为在第四象限， ∴ 解得： 故答案为：． 11． 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、平角定义等知识，数形结合，灵活运用旋转性质、等腰三角形性质及平角定义是解决问题的关键． 先由旋转性质得到，再由等腰三角形的判定与性质得到，进而有，最后由平角定义得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ， 则， ， ， ， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】作于，于，根据证得，得出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半得，进而求得，设，则，根据三角形面积公式得到，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：作于，于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴ ， ， 设，则， ， 当时，有最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质等，得到三角形的面积关于的函数解析式是解题的关键． 13． 【分析】根据菱形的性质推出和是等边三角形，得到，，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为2，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动，如图1， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 如图2，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， 如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴ ∴的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14． 【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，再证明，设，根据勾股定理求出，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解． 【详解】（1）解：正方形的边长为8， ， ， P是中点， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点Q作于H，则， 将绕点P逆时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 当时，的最小值为18， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和勾股定理，二次函数的性质，旋转的性质，解题的关键是根据题意求出关于的二次函数解析式． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转得到，，得到，得到，即得的度数． （2）由，得，在中，由勾股定理得，即得． 【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D， ， ，且点D恰好落在线段上， ， ， ； （2）解：由旋转的性质可知 ∵， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得， 即． 的长为． 16．(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3) 如图所示，． 【分析】（1）根据网格结构找出、、平移后的对应点，顺次连接各点即可； （2）根据网格结构找出、、绕坐标原点逆时针旋转后的对应点，顺次连接各点即可； （3）作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，写出坐标． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 17．(1) 证明：绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上， ，， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）根据旋转的性质即可得证； （2）利用旋转的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ， ， ． 绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， 则． 18．(1)， (2) ①，，理由： 如图，与y轴交于点G，延长交y轴于点J，交x轴于点H， 根据平移有：，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； ② 【分析】（1）根据点坐标，结合，求出、、、，再根据、与坐标轴的位置关系即可求解； （2）①与y轴交于点G，延长交y轴于点J，交x轴于点H，根据和 ，利用两直线平行同位角相等得出，再证明 即可作答；②连接，过点C作轴于点N，过点B作于点M，先证明四边形是平行四边形，再灵活运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 根据平移有：，， ∵轴， ∴轴，即点E到y轴的距离为：， 又∵轴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴； （2）①略； ②如图，连接，过点C作轴于点N，过点B作于点M， 根据平移有：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在（1）已求出等腰和等腰的边长为：，， ∵旋转角为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即，， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识．问题的难点在第二问的第一小问，合理构造辅助线证明是关键． 19．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由平移线段至线段，先确定对应点，即可确定平移方式，最后根据平移方式求解即可； （2）由（1）可得，当点D在第一象限时，，过作轴于，则，，，根据求解即可； （3）在（2）的条件下，，设，过作轴于，轴于，过作轴于，由三角形的面积与三角形的面积比为，得到，再根据，得到，即可求出，． 【详解】（1）解：∵，，，平移线段至线段，如图： ∴当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度得到点； 当与是对应点时，即线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，则向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，即； 综上所述，点D的坐标为或； （2）解：由（1）可得，当点D在第一象限时，， 过作轴于， ∵点P的纵坐标为t，，点P为四边形内部一点， ∴，，, ∴； （3）解：在（2）的条件下，，设， 过作轴于，轴于，过作轴于， ∵，，，， ∴，，，，， ∵三角形的面积与三角形的面积比为， ∴，即， 整理， ∵点P在线段上， ∴， ∴， 即， 整理得， 把代入得， 解得， ∴， ∴． 20．(1) (2) 证明：如图2，过点E作，取，连接CH，HF，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在与中 ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点C，H，F三点共线， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴，即． (3)或 【分析】（1）设，则，进而求得，即；再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）如图2，过点E作，取，连接CH，HF，则，易得为等腰直角三角形，再证明可得、，进而证明可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）分、、三种情况，分别作出辅助线，利用等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图：当时，过点D作于点H，于点L，过点F作于点K，连接，则， ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图：当时，过点D作于点L，过点F作于点K，连接，则， ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，点F在以为直径的圆上，而此时不可能是以点E为直角顶点，为直角边的等腰直角三角形，因此不可能为； 综上，的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $