4.1 平均数（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦算术平均数定义、直接与基准数法计算、样本估计总体等核心知识点。以象棋赛年龄情境导入，激活学生生活“平均”经验，衔接数学定义，通过身高、罐头实例巩固算法，延伸至裸鲤抽样等统计推断，构建知识支架。 特色在于情境真实（如象棋赛、学生身高数据），基准数法用数轴可视化理解“先减后加”本质，样本估计通过小组抽样活动体验容量与可靠性关系。培养数学眼光（抽象能力）、思维（运算策略）、语言（数据意识），提升学生运算效率与统计思维，为教师提供清晰教学脉络和实操活动。

4.1 平均数（1） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第四章 数据的集中趋势和离散程度4.1 平均数（1）核心知识点： 1.算术平均数的定义 。 2.平均数的两种计算策略：直接计算与“基准数法”。 样本平均数≈总体平均数的思想，用样本均值估计总体均值。 2.内容解析 本节通过“象棋赛分组年龄”情境引发“平均”概念需求，顺势给出算术平均数的定义，体现“由实际到数学”的概念生成逻辑。随后用“学生身高”“罐头净重”等真实数据，比较并体验两种算法，突出“基准数法”在数据集中时的简便价值，培养估算与化归思想。接着用“裸鲤抽样”和“向日葵样方”实例，引入“样本—总体”关系，让学生感知统计方法在解决“大规模不可完全测量”问题中的价值。全节知识线索清晰：平均数——计算方法——意义与局限——统计推断。教学重点放在平均数的理解与简化计算，难点在于“基准数法”本质及样本估计总体的随机性、可靠性。 1.教学目标 •掌握算术平均数的定义。 •熟练运用“直接计算”与“简化计算（基准数法）”进行平均数计算。 •理解样本平均数、总体平均数的关系，能用样本均值估计整体均值。 2.目标解析 •能口述并书写公式 ，解释符号意义，判断给定数据的平均数所在区间。 •面对10～20个数据，能两种方法各自独立求平均数；能根据数据特点自主选择更高效的方法，计算正确率≥90%。 •在给出样本数据的情境下，能说出“样本容量越大，估计越可靠”，并完成一次用样本均值估计总体均值的简单任务，误差控制在合理范围内。 3.重点难点 • 教学重点：平均数的概念与公式。 • 教学难点：基准数法与直接法的选择理由。 学生已学习分数、小数的加减及一次方程，具备基本的运算能力，可理解“总量÷个数”含义；对“平均”已有直观体验（平均分糖果、平均分数）。 学习优势：操作能力强，乐于参与调查、记录数据；对“简便计算”有浓厚兴趣，容易接受基准数法。 可能困难： 抽象符号 的阅读与书写； 基准数法中“先减后加”的本质理解； 理解“样本随机性”及“容量越大越可靠”的统计思想。 教学对策：• 借助生活实例与动手实验，让学生在真实数据处理中体会平均数意义。• 通过数轴演示“减基准数→回补”的可视化操作，降低基准数法理解难度。• 设计小组抽样活动，直观比较不同样本容量下估计结果的稳定性，突破难点。 创设情景，引入新课 问题情景： 某地举行了一场象棋友谊赛，参赛年龄不限．12名选手被随机分为甲、乙两组，两个小组选手的平均年龄相近． 这里的“平均年龄”是什么意思？ 说一说你生活中见过的 “平均” 指的是什么？想一想数学里的平均该如何计算？ 【设计意图】①以学生熟悉的象棋赛情境为切入口，引发兴趣；②通过“生活平均—数学平均”对比，激活已有经验；③问题链层层递进，明确学习任务：探究“平均数”的定义、计算方法及意义。 探究点1：算术平均数 1.获取新知 一般地，如果有n个数 ， 那么 x ̅＝ 叫作这 n 个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数． “ ”读作“x拔”． 2.例题讲解 例1 A，B 两个小组的学生身高如下(单位：cm)： 比较 A，B 两组学生的平均身高． 提问：有重复出现的数，怎样计算更简便？ 解：设 A，B 两组学生的平均身高分别为 ， ̅ ，则 ＝＝168.5 (cm)． ＝ ＝168.3 (cm)． ∵ ̅＞ ， ∴ A组学生的平均身高高于 B 组学生的平均身高． 提问：B组数据都较大且都在165 附近．有没有更简便的计算方法呢？ 3.新知探究 B组数据：166，172，170，162，164，169，180，165，167，168． 同时减去165，得到新数据： 1，7，5，－3，－1， 4，15，0，2，3． 再计算这组新数据的平均数: ＝×(1＋7＋5－3－1＋4＋15＋0＋2＋3)＝3.3 (cm)． 所以， ＝＋165＝168.3 (cm)． 教师提问：用“基准数法”计算平均数的基本步骤是什么？ ①选定一个“基准数a” ② 各数据减去基准数a，得到一组新数据 ③ 计算新数据的平均数 ④ 原数据的平均数x ̅＝＋a 教师提问：如果把基准数换为170，重新计算平均数，两次结果是否一致？选哪个计算更简便？ 4.新知巩固 （1）小丽某一周每天的睡眠时间如下（单位：h）： 9 10 8 10 8 9 9 求小丽该周平均每天的睡眠时间． 解： ＝ ＝9 (h)． 答： 小丽该周平均每天的睡眠时间9 h． 【小结】当一组数据中的每个数都较大，并且都接近于某一个数时，可用“基准数法”简化计算． 基本步骤如下： ① 选定一个“基准数a”（通常取接近所有数据的一个整数）； ② 各数据减去基准数a，得到一组新数据； ③ 计算新数据的平均数 ④ 原数据的平均数x ̅＝＋a （2）某次歌唱比赛 4 位选手的得分如下（单位：分）：85，80，x，90，已知平均分为 85 分，求 x 的值． 解： ＝85， 255＋x＝340， x＝85， 答： x 的值为85． （3）某食品厂为加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10瓶，净重（单位：克）如下：342，348，346，340，344，341，343，350，340，342．求这些罐头净重的平均数 解：方法1：＝×(342×2＋348＋346＋340×2＋344＋341＋343＋350)＝343.6 (克)． 方法2：把已知数据都减去340，得 2，8，6，0，4，1，3，10，0，2， 则 ＝(2＋8＋6＋0＋4＋1＋3＋10＋0＋2)＝3.6， 故＝ ＋340＝343.6（克）． 答：这些罐头净重的平均数为343.6克． 【设计意图】通过对比计算量，引导学生发现并掌握“基准数法”，提高运算效率，发展数感与策略意识。 探究点 2：样本平均数和总体平均数 1.探究交流 判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1) 一组不同的数据的平均数一定位于最大值和最小值之间； (2) 一组数据 的平均数等于 a，如果 都小于 ，那么 必大于 ． 解：(1) 该说法正确． (2) 该说法不正确．反例：设一组数据为1，2，3，6， 这组数据的平均数 ＝＝3． 其中＝1，＝2，它们都小于平均数＝3．但＝3＝ ̅， ＝6＞ ̅． 2.讨论交流 (1)在例1中，如果小明在A组，小丽在B组．由 ̅可以断定小明比小丽高吗？ 答：(1) 不能．平均数是整体水平，个体身高有随机性．举例：小明身高 164cm，小丽身高 168cm，小丽更高．平均数只能评价整体，不能判断单个数据． (2) 如果B组增加了一位身高为190cm的学生，那么两组学生平均身高之间的关系会发生什么变化？ 答：(2) 如果B组增加了一位身高为190cm的学生，B组的平均身高为170.3cm，大于 A 组的平均身高 (168.5cm)． 教师提问：说说你对平均数的认识 3.新知探究 ◎通常，平均数可以用于表示一组数据的平均水平，平均数从一定程度上体现了这组数据的“集中趋势”． 注意： ①平均数反映一组数据的“平均水平”，是整体水平的代表值，不能用来直接比较两组数据中两个个体的大小． ② “集中趋势”是指一组数据倾向于集中在某个值附近，平均数就是这个“中心位置”的一个代表值． ③ 平均数位于最大值和最小值之间，易受极端值影响，任何一个数据的变化，都会引起平均数的变化． ◎我们把样本中所有个体的平均数称为样本平均数,把总体中 所有个体的平均数称为总体平均数． 样本越大，样本平均数就越接近于总体平均数． 在调查研究中，常常用样本平均数来估计总体平均数． 4.典例分析 例2青海湖裸鲤是我国唯一的高寒咸水鱼种，当前蕴藏量已超过十万吨．为了了解青海湖中裸鲤的生长情况，某裸鲤保护研究人员从青海湖的一处湖区中随机捕捞了一次，记录后将裸鲤放回，数据如下： （1）根据这次捕捞的结果，估计该湖区中裸鲤的平均质量； （2）怎样做可以使估计值更可靠？ 解：(1) 用样本平均数来估计总体平均数，估计该湖区裸鲤的平均质量为 ＝267(g/尾)； (2) 样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数，随机捕捞的裸鲤的数量越多，估计值就越可靠． 当总体规模过大难以全面统计时，常用样本平均数估计总体平均数，样本越大，估计越可靠． 在实际调查中，样本的抽取要具有随机性和代表性． 样本容量并不是越大越好，还要考虑成本、时间等因素，要在“可靠性”和“可行性”之间取得平衡． 【设计意图】通过数据处理、合作探究及实际案例，发展学生的抽象概括、运算求解与统计思维能力。 某农业种植基地里一块长 900 m、宽 600 m 的地块中长满了向日葵，某人为估计其中的向日葵数量，选定了5块样方（3m×3m），统计数据如下表： 请根据以上数据，估计该地块中的向日葵总数． 解：该地块总面积：900×600＝540 000 ()，每块样方的面积：3×3＝9 ()， 每块样方的向日葵平均数量：＝＝7.8 (株)． 估计该地块中的向日葵总数：(540 000÷9)×7.8＝468 000 (株)． 答：估计该地块中的向日葵总数为468 000株． 能力提升 设一组数据 的平均数为 ，求下列各组数据的平均数： （1）； （2）． 解：(1) 设一组数据的平均数为m， ∴＝＝m， ∴ ＝mn， ∴ 的平均数是＝＝m＋3； (2) 由(1)可知， ＝mn， ∴ 的平均数是＝＝2m． 【设计意图】严格还原教材原有练习与“讨论交流”“能力提升”等试题，帮助学生及时检测对基础概念与方法的掌握情况。 主板书 4.1 平均数（1） 探究点1 算术平均数 探究点 2 样本平均数和总体平均数 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后题目练习。 学科网（北京）股份有限公司 $