专题 2.8 反比例函数与几何模型讲义【七大模型】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过框架式梳理与表格工具系统构建反比例函数与几何模型的知识体系，将七大核心模型按“条件-图形-结论”逻辑呈现，涵盖定值矩形、平行线间三角形等基础模型到喇叭三角形、中点模型等综合模型，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型-题型”精准对应设计，如“定值矩形与定值三角形”专题配例题及3道变式题，通过具体图形分析培养几何直观与推理意识。分层练习满足不同学生需求，模型结论总结助力快速解题，为教师实施精准复习教学与学生自主提升提供有力支持。

专题 2.8 反比例函数与几何模型讲义【七大模型】 目录 一.模型梳理 1 【模型一】定值矩形与定值三角形 1 【模块二】平行线之间的定值三角形 2 【模块三】“重叠型”定值矩形、定值三角形 2 【模块四】“喇叭”三角形 2 【模块五】中点模型 2 【模块六】比例模型 3 【模块七】相等模型 3 二.题型精析 3 【题型 1】定值矩形与定值三角形 3 【题型 2】平行线之间的定值三角形 5 【题型 3】“重叠”定值矩形、定值三角形 5 【题型 4】“喇叭”三角形 7 【题型 5】中点模型 8 【题型 6】比例模型 9 【题型 7】相等模型 10 近年来，反比例函数作为中考压轴题，出现的次数一直居高不下，仔细研读中考真题不难发现一些常见几何模型，基于此，本文重点介绍常用的几种与反比例结合的几何模型帮助读者梳理解题思路，部分模型结论可以记忆，在考试中套用即可！ 一.模型梳理 【模型一】定值矩形与定值三角形 条件 基本图形 结论 P、Q均为反比例函数上两点，PNy轴，x轴。 【模块二】平行线之间的定值三角形 条件 基本图形 结论 A是上一点，B是上一点，AB // x轴。 【模块三】“重叠型”定值矩形、定值三角形 条件 基本图形 结论 A是上一点，B是上一点，ABx轴，AMy轴。 【模块四】“喇叭”三角形 条件 基本图形 结论 A、B两点分别为反比例函数上不同两点，ACx轴，BDx轴。 （1） （2） （3） 【模块五】中点模型 条件 基本图形 结论 A、B两点分别为反比例函数上不同两点，延长AB交x轴于点F，B为AF的中点 （1）BD是的中位线； （2）C,D为线段OF的三等分点. 【模块六】比例模型 条件 基本图形 结论 M是反比例函数上一点，且（定值）ABx轴交反比例于点C.MHx轴于点H，连接MC，OC. 【模块七】相等模型 条件 基本图形 结论 一次函数与反比例函数交于A和B两点。 （1） （2） 二.题型精析 【题型 1】定值矩形与定值三角形 【例题1】（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【题型 2】平行线之间的定值三角形 【例题2】（2025·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【变式1】（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【题型 3】“重叠”定值矩形、定值三角形 【例题3】（2025·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，若四边形的面积为，则的值为_____． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】（2026·山东滨州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为________． 【题型 4】“喇叭”三角形 【例题4】（2025·广西柳州·三模）反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围； （2）如图，若直线与该函数图像交于、两点，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，的面积为8，动点在轴上运动，当线段与之差最大时，求点坐标． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【题型 5】中点模型 【例题5】（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积为8，且，反比例函数的图象经过点C，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象经过边的中点，并交于点．若五边形的面积为，则的值为___________． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是_________． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 【题型 6】比例模型 【例题6】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1】（2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 【题型 7】相等模型 【例题7】（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2026·新疆克孜勒苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 反比例函数与几何模型讲义【七大模型】 目录 一.模型梳理 1 【模型一】定值矩形与定值三角形 1 【模块二】平行线之间的定值三角形 1 【模块三】“重叠型”定值矩形、定值三角形 2 【模块四】“喇叭”三角形 2 【模块五】中点模型 2 【模块六】比例模型 3 【模块七】相等模型 3 二.题型精析 3 【题型 1】定值矩形与定值三角形 3 【题型 2】平行线之间的定值三角形 7 【题型 3】“重叠”定值矩形、定值三角形 10 【题型 4】“喇叭”三角形 14 【题型 5】中点模型 19 【题型 6】比例模型 23 【题型 7】相等模型 27 近年来，反比例函数作为中考压轴题，出现的次数一直居高不下，仔细研读中考真题不难发现一些常见几何模型，基于此，本文重点介绍常用的几种与反比例结合的几何模型帮助读者梳理解题思路，部分模型结论可以记忆，在考试中套用即可！ 一.模型梳理 【模型一】定值矩形与定值三角形 条件 基本图形 结论 P、Q均为反比例函数上两点，PNy轴，x轴。 【模块二】平行线之间的定值三角形 条件 基本图形 结论 A是上一点，B是上一点，AB // x轴。 【模块三】“重叠型”定值矩形、定值三角形 条件 基本图形 结论 A是上一点，B是上一点，ABx轴，AMy轴。 【模块四】“喇叭”三角形 条件 基本图形 结论 A、B两点分别为反比例函数上不同两点，ACx轴，BDx轴。 （1） （2） （3） 【模块五】中点模型 条件 基本图形 结论 A、B两点分别为反比例函数上不同两点，延长AB交x轴于点F，B为AF的中点 （1）BD是的中位线； （2）C,D为线段OF的三等分点. 【模块六】比例模型 条件 基本图形 结论 M是反比例函数上一点，且（定值）ABx轴交反比例于点C.MHx轴于点H，连接MC，OC. 【模块七】相等模型 条件 基本图形 结论 一次函数与反比例函数交于A和B两点。 （1） （2） 二.题型精析 【题型 1】定值矩形与定值三角形 【例题1】（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得出，利用同高三角形面积比等于底边比，求出的面积，再根据的几何意义求解即可； 解：， ， ， ∵的面积为， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， 图象在第二象限， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 【题型 2】平行线之间的定值三角形 【例题2】（2025·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 【变式2】（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 【题型 3】“重叠”定值矩形、定值三角形 【例题3】（2025·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，若四边形的面积为，则的值为_____． 【答案】 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于得到方程，求解即可． 解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由图可知函数的图象位于第四象限， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式3】（2026·山东滨州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为________． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为，四边形的面积为，即可求解． 解：如图，过点作轴，垂足为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上，且轴， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【题型 4】“喇叭”三角形 【例题4】（2025·广西柳州·三模）反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围； （2）如图，若直线与该函数图像交于、两点，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，的面积为8，动点在轴上运动，当线段与之差最大时，求点坐标． 【答案】（1）第三象限，；（2）；（3）点坐标为 【分析】（1）根据反比例函数的对称性及图象特点可得解答； （2）把A点坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可得到解答； （3）由△AOB 的面积为8可以得到B点坐标，从而得到直线AB的解析式，再根据P、A、B三点共线时 PA与PB的差最大可以得到P点坐标． 解：（1）由题意得：反比例函数图象的另一支在第三象限． 由题意， ∴． （2）∵在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数解析式为：． （3）如图，过点，分别作轴，轴， 设， ∵，都在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴，（舍）， ∴， 又∵， ∴直线的解析式为：， 当，，三点共线时，与之差最大． 在中，令，得， 此时点坐标为． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质及解析式的求法、一次函数解析式的求法、直线所围面积的求法是解题关键． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】解：延长交轴于点，根据，轴，轴，证得四边形为矩形，设点，则得到，，由四边形的面积为12，得到，得到，即可求解． 解：如图所示，延长交轴于点， ∵，轴， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴， 即，解得． 【变式2】（24-25九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，利用点A的坐标求出函数解析式，求出点B的坐标，利用三角形面积公式和梯形面积公式即可求出的面积． 解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则，    ∵， ∴， ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点 ∴，解得， ∴， 把代入得， ∴点B的坐标是， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B 【点拨】此题考查了反比例函数的图象和性质，求出是解题的关键． 【题型 5】中点模型 【例题5】（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， 【变式1】（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积为8，且，反比例函数的图象经过点C，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C点作轴于，设根据的面积为8和勾股定理得到，，求得，根据反比例函数的图象经过点C，即可求出的值． 解：过C点作轴于，如图， 设 则 ∴ ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象经过边的中点，并交于点．若五边形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】设，，根据矩形的性质可表示出点的坐标，根据中点的性质可表示出点的坐标，由反比例函数图象经过点、，可得到与、的关系，以及表示出点的坐标，最后列式计算即可得解． 解：设，，则， 点是的中点， ， 反比例函数的图象经过点， ， 对于，令，即， ， ， 五边形的面积为，即， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是_________． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义可解决问题，四边形的面积可用矩形面积减去和的面积之和，再结合的几何意义即可；借助参量将与表示出来，再比较；由点是中点，可得出与之间的关系，进而可判断点是否为的中点． 解：点和点都在上，且四边形是矩形， ，， 与的面积相等， 故正确； 点在上，且四边形是矩形， ， 又由知：， 所以， 四边形的面积不一定等于矩形面积的一半， 故错误； 令点的坐标是， 四边形是矩形， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， 与不一定相等， 故错误； 由可知， 若点是中点， 则，即， ， 则， 即， 故点是的中点． 故正确． 故答案为：． 【题型 6】比例模型 【例题6】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】设点的坐标为，先求出点的坐标，再代入计算即可． 解：∵点在第一象限，轴于点， ∴可设点的坐标为，则， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， 将点代入函数得：． 【变式1】（2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点，若，则_____． 【答案】3 【分析】连接、，利用同底等高的两个三角形面积相等得到，以及，再利用反比例函数的比例系数的几何意义求解即可． 解：连接、， 四边形是平行四边形， 点、点到对角线的距离相等， ， 轴， ， ， 设点， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 解：点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 【变式3】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 【答案】9 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 解：设点坐标为， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴ 则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，， 则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意得， 解得． 【题型 7】相等模型 【例题7】（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、根与系数的关系等知识点，过作轴于，过作轴于，利用面积法得到，代入数值得到，再联立解析式根据根与系数的和得到，代入求值即可． 解：过作轴于，过作轴于，则， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 联立得到， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，即 解得， 故选：D． 【变式1】（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键． 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解． 解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， 又∵， ∴ ∵和 ∴ 解得： ∵和在上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：C 【变式2】（2026·新疆克孜勒苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作轴，轴，设，则有，可求，，从而可求，即可求解． 解：如图，过点作轴，轴， 设，则有， 由得：，， ， ，，， ， ， 在中： ， 同理可求：； ， ， 整理得：， 即：， ， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数中的几何意义，勾股定理，理解的几何意义掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则___________． 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解． 解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， 又∵， ∴ ∵和 ∴ 解得： ∵和在上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $