专题03 圆常考十三大题型突破-2026-2027学年苏科版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

**基本信息** 聚焦圆的13类核心题型，以题载知，覆盖从基础概念到综合应用的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂径定理及应用|5题（含拱桥/筒车实际问题）|结合勾股定理的弦长计算|从圆的轴对称性到垂径定理的应用拓展| |点与圆最值|5题（正方形/矩形背景）|利用对称转化求最短路径|点与圆位置关系的性质延伸| |切线判定与性质|5题（含证明与计算）|“连半径证垂直”等判定方法|切线性质与圆周角定理的综合应用| |阴影面积计算|3题（含旋转/正方形背景）|图形割补与扇形面积公式结合|圆的面积公式与图形变换的融合|

专题03 圆常考十三大题型突破 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 3．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 4．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 5．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 6．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 11．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 12．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 13．如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 14．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【题型04：切线判定与性质综合】 15．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 16．如图，，分别与相切于点，，且，平分． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 17．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 18．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 19．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【题型05 ：圆周角定理】 20．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 21．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 22．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 23．如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 24．如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 25．如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型06：圆内接四边形】 26．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 27．如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型07：三角形的内切圆】 30．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 32．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【题型08：三角形的外接圆】 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 34．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 35．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 36．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 37．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 38．如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 39．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 40．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 41．如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 42．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 43．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 44．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 45．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 46．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米，米，则阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 47．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 48．经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 49．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 50．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 51．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 52．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 53．如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 54．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 55．如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 56．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 57．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆常考十三大题型突破 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 3．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 4．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 5．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】根据垂径定理可知，，的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设两同心圆的圆心为O，连接，，， ∵C为的中点，D为圆弧形道路内侧中点， ∴，， ∴O，E，C，D四点共线，（米）， 设米，则（米）． 在中，由， 得， 解得． ∴（米）． ∴圆弧形水道外侧的半径为483米． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 6．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，可得 ，利用正方形的性质得，，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接，与相交于点，与相交于点，此时的值最小，最小值 ，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 7．如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形性质推出，点在以点为圆心，为半径的半圆上，取的中点，连接，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求出的最小值即为的值． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， 取的中点，则， 即点在以点为圆心，为半径的半圆上， 连接， 在中，，， 由勾股定理得， 根据圆的性质与三角形三边关系得， 当、、共线时，取得最小值，如下图： 此时最小值为，选项符合题意． 8．如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 9．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 10．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又 的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 11．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 12．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 13．如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 14．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 【题型04：切线判定与性质综合】 15．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 16．如图，，分别与相切于点，，且，平分． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，过点作于点， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵是半径， ∴是半径， ∴与相切； (2)10 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用各知识点． （1）连接，过点作于点，根据切线的性质以及角平分线的性质定理得到，即可证明； （2）先证明，然后证明，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴ ， ∵平分 ∴， ， ， ， ， ∵， ∴． 17．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 18．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． (2)3 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的半径为3． 19．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切， 证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）略 （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 【题型05 ：圆周角定理】 20．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 21．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 22．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 23．如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角和圆周角定理得出，，则为等边三角形，从而得到，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，， ，． ， 为等边三角形． ，． ． ∴． 24．如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 25．如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理得到，然后结合得到，然后利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型06：圆内接四边形】 26．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 27．如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得平分，由圆内接四边形的性质得，进而得出． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴． 28．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 29．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵ ∴由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 【题型07：三角形的内切圆】 30．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 31．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 32．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 【题型08：三角形的外接圆】 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 34．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 35．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 36．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 37．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 38．如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 39．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 40．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解的长度，再根据直径所对的圆周角为直角，可求解的长度，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则有，且， ∴为等边三角形， ∴， ∵的直径为12，即， 在中，， ∴的面积是 ． 41．如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，连接，根据正六边形的性质可得全等三角形，则可得到是等边三角形，则可推导出圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接，，． 六边形是正六边形， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 42．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 43．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 44．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 45．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 46．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米，米，则阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积即可． 【详解】解： ． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 47．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 48．经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 49．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 50．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 51．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 52．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出， 据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴ ． 53．如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由题意可得为等边三角形，先求出扇形的面积，再求出等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，，如图， 由题意可得，为等边三角形，则，， 则底边上的高为， 则扇形的面积为， ， 则阴影部分的面积为两个扇形的面积减去等边三角形的面积， 即. 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 54．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 55．如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键． 根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可求解最短路径． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：． 故选：B． 56．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 57．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $