专题06 二次函数重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题06 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................2 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................2 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................3 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................4 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................7 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】.......................9 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................12 【题型09：二次函数的平移变换】...............................................15 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................15 【题型11：二次函数的交点个数问题】...........................................16 【题型12：抛物线与一次函数的交点问题】......................................17 【题型13：抛物线与x轴的交点问题】...........................................19 【题型14：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................19 【题型15：根据交点确定不等式的解集】........................................20 【题型01 ：二次函数的概念】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）下列函数中，属于二次函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）下列函数表达式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） 2．（15-16九年级·安徽马鞍山·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若抛物线经过和两点，则 ． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其周长之比记为，则 ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．D．点和在抛物线上，则 7．（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 11．（24-25九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是 ． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 3．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25八年级下·重庆江北·期末）在同一直角坐标系中，函数与（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川广安·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（14-15九年级下·全国·课后作业）抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 1．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其中点，对称轴是直线．现在给出下列的4个结论： ①；②；③；④若m为任意的实数，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 5．如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 7．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【题型09：二次函数的平移变换】 1．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（  ） A．B． C． D． 4．把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的图象对应的二次函数关系为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 6．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．抛物线的对称轴为直线，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知抛物线经过和两点，则a值为 ． 3．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 4．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … ，两点都在该函数的图象上，若，则m的值为 ． 5．抛物线经过点，，则b的值为 ． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线的对称轴是 ． 7．已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 8．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线 ． 【题型11：二次函数与x 轴的交点个数问题】 1．抛物线y=2x2－2x+1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 4．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型11：抛物线与一次函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 3．（2023·福建泉州·二模）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 2.将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 2.函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 3.如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ． 4．已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为 ． 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 2．如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 38．如图，二次函数．与一次函数的图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为 ． 3．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................3 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................4 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................7 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................10 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................18 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】.......................27 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................38 【题型09：二次函数的平移变换】...............................................47 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................49 【题型11：二次函数的交点个数问题】...........................................52 【题型12：抛物线与一次函数的交点问题】......................................55 【题型13：抛物线与x轴的交点问题】...........................................61 【题型14：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................62 【题型15：根据交点确定不等式的解集】........................................65 【题型01 ：二次函数的概念】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）下列函数中，属于二次函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，是二次函数，故该选项符合题意； D、，x的最高次数是3，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）下列函数表达式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数．分析各选项，只有A选项明确满足条件． 【详解】解：∵ 二次函数要求最高次项为 ，且系数不为零． 对于A：，其中 ，是二次函数． 对于B：，是一次函数，不是二次函数． 对于C：，不是二次函数． 对于D：， 可能为0，不一定是二次函数． ∴ 只有A是二次函数． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，根据定义判断即可． 根据二次函数的定义（形如，且），逐一分析各选项． 【详解】：为一次函数，最高次数为1，排除； ：含项，非整式函数，排除； ：中未限定，当时为一次函数，不满足二次函数条件，排除； ：展开后为，满足，是二次函数； 故选． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）若是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由二次函数定义求参数，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零，因此指数需满足 ，且系数，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数， 指数必须满足，且二次项系数， 即，且， 解得，且， ， 故答案为：． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 2．（15-16九年级·安徽马鞍山·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）二次函数的图像的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的顶点坐标是作答即可． 【详解】二次函数的图像的顶点坐标是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式确定开口方向及对称轴，分 ， ，三种情况，分别考虑即可求解． 【详解】解：点A在点B的左侧， ． 中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，； 当时，y随x的增大而减小，； 当时，若，则， 解得； 综上可知，与满足的条件是：且． 故答案为：且． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若抛物线经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，再结合抛物线经过和两点，则对称轴是直线，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又抛物线经过和两点， 对称轴是直线． ． 故答案为：． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出C点坐标． 【详解】解：连接交于D，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入, 得， 解得（舍去）， ， ，， 故C点坐标为：． 故答案为：B． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其周长之比记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，再进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    【答案】8 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：9 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴二次函数的最小值是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可. 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下，当时，y随着x的增大而减小，当时，与时的函数值相等，即. 故选：D. 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的旋转，熟练掌握抛物线的旋转是解题的关键．根据抛物线解析式求出点坐标．在由题意得到旋转后顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与纵轴交于点，则点坐标为， 抛物线对称轴为，顶点坐标为， 将此抛物线绕点顺时针旋转， 新的顶点坐标为， 故新的抛物线的解析式为． 故选A． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴直线的位置，与轴交点的位置得出，，，故；由图象可知：，，即，故；由对称轴，，则，故有；由图象可知：顶点的纵坐标大于，从而得出不等式，求解即可得出，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象开口可知：， 由对称轴可知：， ∴， 又由抛物线与轴的交点可知：， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、由图象可知：，， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵对称轴，， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由图象可知：顶点的纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C． D．点和在抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点的函数值、距离比较法是解题关键．观察抛物线交轴正半轴，，可判断，由，两点，可得对称轴为直线，可判断，当时，，可判断由)离对称轴的水平距离比)离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线交轴正半轴， ，错误，不符合题意； 的图象与轴交于，两点， 对称轴为直线，错误，不符合题意； 由图知，表示的点在与之间， ，错误，不符合题意； 抛物线开口向下，，， 离对称轴的水平距离比离对称轴的水平距离小， ，正确，符合题意； 故选：． 7．（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【答案】 【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值． 【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上， ∴设点C的坐标为(x，x2−2x)． ∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴， ∴点B的坐标为(x，x)． ∵点B在点C的上方，设BC的长为L， ∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x−)2＋， ∵a＝−1＜0， ∴L有最大值， ∴线段BC长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，将坐标代入函数解析式得：， 解得； 将坐标代入函数解析式得：， 解得：， 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段有两个公共点， 不符合题意，舍去； 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段只有一个公共点， 符合题意； 如图，要使抛物线与线段只有一个公共点， 当时，，当时，， 即且 解得， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由函数图象可得二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而可得与轴的另一个交点为，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由函数图象可得：二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 故与轴的另一个交点为， 故当时，的取值范围是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由题意易得点，设点B、D的横坐标分别为、，则有，然后可得二次函数的对称轴为直线，进而问题可求解． 【详解】解：令，则有，即， ∵， ∴， 设点B、D的横坐标分别为、， ∵轴，， ∴，即， 根据二次函数的对称性可得：二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴； 故答案为3． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（   ） A．1 B． C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，本题中不知道是正数还是负数，所以要分情况讨论．二次函数的对称轴为，所以可知当时，二次函数有最大值；当时，二次函数有最小值，因为，所以可知当时，二次函数有最大值，可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 当时，二次函数有最大值， 解得：， 当时，二次函数有最小值， 二次函数的对称轴为， ， 当时，有最大值， 可得：， 解得：， 综上所述的值为或． 故选：D． 3．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案选B ． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25八年级下·重庆江北·期末）在同一直角坐标系中，函数与（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项正确，符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D故选：d故选：D． 2．（22-23九年级上·四川广安·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：把一次函数和二次函数联立起来， ， 那么，， 移项可得，， 即， ， 即或， 解得或 一次函数与二次函数的交点在轴或点，两个交点应有一个交点在轴上和另外一个交点第一或四象限； A、由一次函数图象与二次函数的两个交点有一个在轴，但另一个交点在第二象限，故此选项错误； B、由于一次函数与二次函数的两个交点，在第一和三象限，故此选项错误； C、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上和另一个交点在第四象限，故此选项正确； D、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上，但另一个交点在第三象限，此选项错误； 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与二次函数图象的知识，识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 对于选项A、C，由结合a的正、负性，判断二次函数的图象的开口方向与直线应经过的象限，是否存在矛盾，由此即可作出判断； 对于选项B、D，由二次函数的图象的开口方向和对称轴得到a、b的正负性，判断此时直线是否与y轴的正半轴还是负半轴相交，由此即可作出判断． 【详解】解：A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除； B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意； C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除； D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除． 故选：B． 6．（14-15九年级下·全国·课后作业）抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 1．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 3．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其中点，对称轴是直线．现在给出下列的4个结论： ①；②；③；④若m为任意的实数，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，，，则可判断①；由抛物线过点，即当时，，可判断②；由抛物线与轴有两个交点，即可判断③；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④．掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知，， 对称轴为直线， ， ，故①正确； 抛物线的图象与轴交于，两点，其中点， 当时，，即，故②正确； 抛物线的图象与轴交于，两点， ，故③不正确； 当时，函数有最大值， 若为任意实数，则， ，故④不正确， 故选：B． 4．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 5．如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A． 6．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 7．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 【题型09：二次函数的平移变换】 1．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得平移后的抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移两个单位长度，可得， 再向右平移一个单位长度，可得， ∴平移后的抛物线解析式是． 故选：C． 2．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是． 故选：D． 3．将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：A． 4．把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的图象对应的二次函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．直接利用平移规律“左加右减，上加下减” 解题即可． 【详解】解：二次函数的图象向右平移2个单位，向上平移1个单位， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点． 故选：D． 6．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的平移，熟练掌握函数平移的特点是解题的关键，根据函数的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据函数的平移规律可得： 抛物线先向左平移1个单位长度，得：， 再向下平移2个单位长度，得：， 故答案为：． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．抛物线的对称轴为直线，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴为直线，计算即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故选：B． 2．已知抛物线经过和两点，则a值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过和两点可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：∵抛物线经过和两点 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． 故答案为：5． 3．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴是解题的关键． 根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 4．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … ，两点都在该函数的图象上，若，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数的对称性， 首先根据二次函数的对称性得到对称轴为直线，然后由得到，进而求解即可． 【详解】∵当和时，y都等于2 ∴对称轴为直线 ∵，两点都在该函数的图象上，若， ∴ ∴． 故答案为：1． 5．抛物线经过点，，则b的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 根据二次函数与x轴的两个交点是关于对称轴对称的两点结合对称轴公式，进行求解即可． 【详解】抛物线经过点，， ∴， 则． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴对称轴为， 故答案为：． 7．已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 8．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论． 【详解】解：∵二次函数图像经过点和， ∴该二次函数图像的对称轴是直线 故答案为：． 【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键． 【题型11：二次函数与x 轴的交点个数问题】 1．抛物线y=2x2－2x+1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数． 解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个． 故选C． 2．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 3．二次函数与轴的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，令，则，然后通过根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：令，则， ∴， ∴抛物线与轴有个交点， 故选：． 4．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与轴交点个数的情况，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数间的关系是解题的关键． 二次函数与判断二次函数图象与x轴的交点个数，需计算对应的一元二次方程的判别式Δ．若，则有两个交点；，有一个交点；，无交点． 【详解】解：令，得方程．计算判别式． 因，方程有两个不相等的实数根， 故二次函数图象与x轴有两个交点． 故选A． 5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，根据二次函数与x轴有交点得到，列不等式求解即可，注意二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点， ∴方程有实数解， ∴且， 解得且， 故选：C． 6．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 【题型11：抛物线与一次函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 3．（2023·福建泉州·二模）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解． 【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，   ，令，则或，则点， 将点的坐标代入并解得：， 二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：， 联立，消去整理得：， ， 解得： ， 当或时，直线与这个新图象有三个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 2.将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向下平移的原则，结合顶点恰好落在x轴上，令纵坐标为0，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向下平移a个单位长度，所得到的抛物线解析式为， 抛物线的顶点恰好落在x轴上， 故， 解得． 故选：A． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 2.函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，根据函数与x轴的交点为即可求出答案． 【详解】解：∵函数与x轴的交点为， 即当或时，， ∴方程的实数根，， 故答案为：，， 3.如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的另一个解为， 故答案为：． 4．已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，熟练一元二次方程与函数的关系是解题的关键． 根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一元二次方程的解． 【详解】解：∵ 抛物线与直线相交于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴关于的方程的解为或． 故答案为：，． 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 2．如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 38．如图，二次函数．与一次函数的图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）．依据题意，由可得，结合与关于y轴对称，与关于y轴对称，可以作图，再由不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 又∵与关于y轴对称，与关于y轴对称， ∴作图如下． ∵， ∴此时不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围． ∴． 故答案为：． 3．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与轴的交点问题，利用交点来确定不等式的解集，因为二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，所以二次函数与轴的另一个交点为，再结合开口方向向下，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， 由图得出二次函数的开口方向向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $