第28讲 等比数列及其前n项和讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列及其前n项和核心考点，涵盖基本量计算、中项性质、证明判断等七大题型，按“核心知识-方法技巧-真题示例-巩固练习”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导和分层训练，帮助学生系统构建知识网络，突破高考高频难点。 资料以数学思维和应用意识为导向，如题型1强调“知三求二”方程思想与公比分类讨论，题型7结合传染模型、复利问题培养建模能力。每个题型配套经典真题与梯度练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生运算推理与实际应用能力，实现高效备考。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第28讲 等比数列及其前n项和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 等比数列基本量的计算 核心知识 等比数列通项公式 等比数列前项和公式 时 时 为首项为公比为项数 五个量知三求二 等比数列各项均不能为0 方法技巧 把条件转化为关于与的方程组求解 求和优先讨论公比与两种情况 高次方程注意取舍公比的正负解 巧用幂的运算性质简化指数运算 计算完成后代回原题条件检验 【经典例题1】（26-27高三上·广东·阶段检测）（多选）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据正项等比数列及可得数列的公比，再根据数列通项公式及求和公式即可求解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，， 故选项C，D正确. 【经典例题2】（26-27高二上·全国·课后作业）设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 【答案】 【分析】根据题意，对公比进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式和，列出方程，即可求出结果 【详解】当时，，，， 由，得，所以，与矛盾，故， 所以根据等比数列的前项和公式，有， 化简得，即， 又因为，所以，解得. 【巩固练习1】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 【巩固练习2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 【巩固练习3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据化简得，根据化简得，从而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为且，所以. 由前4项和公式与题设得. 又，所以. 故. 【题型2】 等比中项与下标性质 核心知识 等比中项：若成等比数列则 下标性质：若则 若则 方法技巧 看到下标和相等优先使用下标性质整体代换 等比中项不能直接推出成等比数列 注意必须大于0才存在实数等比中项 选择填空直接用下标性质提速 大题使用下标性质可简单说明条件不可以直接默写结论 【经典例题1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． 【答案】 【详解】依题意得，化简得， 因为成等比数列，由等比中项性质得， 因为，，所以 ，展开并整理得：， 因为，得，又，解得，则， 所以. 【经典例题2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等比数列中，，，则当取得最小值时，（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据等比数列通项，再应用导函数正负得出单调性即可求解最小值即可. 【详解】因为的公比， 因为，所以， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值为4，此时，则． 【巩固练习1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】 4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 【巩固练习2】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知数列是等比数列，若，，则_______． 【答案】 324 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为，， 所以， 又，， 因此. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，等比数列中，下标成等差数列的连续项和仍然成等比数列，而、、的下标间隔相等，因此三者成等比数列，化简即可求解. 【详解】根据等比数列的性质， 代入已知条件，，得： ，整理得：. 【题型3】 等比数列的证明与判断 核心知识 定义法：（为非零常数）则为等比数列 中项法：且则为等比数列 通项形式：数列是等比数列 方法技巧 解答题证明优先选用定义法 由求证明数列必须验证是否满足通项 不能仅通过前几项比值相等判定等比数列 必须强调数列各项不为0 注意区分充分条件与必要条件 【经典例题1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）（多选）记为数列的前项和，则（    ）． A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．当时，数列为等比数列 D．当为等差数列时，存在使得数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用数列第项与前项和的关系，结合等差数列、等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，当时，，而满足上式， 因此，，数列为等比数列，A正确； 对于B，，当时，，而满足上式， ，，数列为等差数列，B正确； 对于C，取符合题设，但等比数列的各项均不为0，C错误； 对于D，记的公差为d，则，取， 令，则，为常数， 因此数列为等差数列，D正确． 【经典例题2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)因为, 所以有, 当时,, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ， 所以， 等式两边同除， ， 令，则， 构造：， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 还原. 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式. 【详解】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． 【巩固练习2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． (2) (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【巩固练习3】（25-26高二下·四川广安·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)∵， ∴， ，，∴， ∴， ∴， ∴数列是以12为首项，4为公比的等比数列 (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由(1)得， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴是以2为首项，为公比的等比数列． ∴ ， 即. （3）, , , , , . 【题型4】 等比数列的函数特性 核心知识 通项为指数型函数 数列递增 数列递减 数列递减 数列递增 数列正负交替不具备单调性 前项和（） 方法技巧 判断单调性先看公比正负直接排除单调 看到的结构可直接判定等比数列 比较项的大小要结合首项符号和公比范围 且才可以类比指数函数性质 注意取正整数 【经典例题1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 【经典例题2】（26-27高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是摆动数列 【答案】A 【分析】代入等比数列的通项公式，求公比，即可判断选项. 【详解】由得， 设数列的公比为，易知， 则，即，，则，从而， 所以数列是常数列． 【巩固练习1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性和必要性，必要性由递增数列定义直接得证，充分性通过构造反例说明不成立. 【详解】首先证明必要性：若“是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意，均有，故，必要性成立. 充分性不成立，理由如下：数列，若， 那么，满足，但数列是摆动数列，不是递增数列. 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 【巩固练习2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解，再进行讨论的取值，由数列的单调性即可求解. 【详解】因为为等比数列，由等比数列的性质可得， 由，两式联立可得或， 若，，则，，可得，则， 且，当时，，递增；当时，，递减， 令，即，解得，即时，，时，， 因此的最大值为，对应； 若，，同理可得， 即， 数列是严格递增的正项等比数列，所有项均大于1， 因此前项积随增大持续递增，不存在最大值，故没有满足条件的. 【巩固练习3】（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】分别证明充分性和必要性. 【详解】根据题意，等比数列中， 若数列为单调递增数列， 则，由于， 则，即或， 当时，，即数列为单调递增数列， 当时，数列正负交替出现，不是单调数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的不充分条件； 若数列为单调递增数列，因为，则，所以， 则，即数列为单调递增数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要条件， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件. 【题型5】 等比数列的片段和性质 核心知识 为等比数列则成等比数列 新数列公比为 前提条件 方法技巧 使用性质前必须检验否则结论不成立 不可以直接写 大题不能直接默写片段和结论需要简单推导 采用整体设元减少大量运算 选择填空满足条件可直接套用结论 【经典例题1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 【经典例题2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 【巩固练习1】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 【巩固练习2】（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 【巩固练习3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 【题型6】 等比数列前n项和的其他性质 方法技巧 先分清总项数为奇数还是偶数 奇偶和公式只适用于公比 遇到数列伸缩取倒数的问题直接利用性质判断新数列类型 大题建议简单推导奇偶和关系 注意分母不能为0 【经典例题1】（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 【经典例题2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【巩固练习1】（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 【巩固练习2】（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】设公比为，推导出，即可求出的值. 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 【题型7】 等比数列的实际应用 核心知识 等比模型对应成倍增长或者成倍衰减 常见模型：复利计息增长率问题裂变繁殖 代表变化次数取正整数 方法技巧 读题识别成倍变化模型确定首项和公比 分清求解目标是求某一项还是求前项总和 复利模型注意区分期数 根据实际背景舍去不符合题意的解 结果要符合现实意义 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 【经典例题2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】用1减去次操作去掉的线段总长度即为余下的各区间长度之和，然后利用等比数列求和公式结合已知数据即可求解． 【详解】记表示第次操作后余下的各区间长度之和， 由于第一次操作去掉的线段长为，第二次操作去掉的线段长为，，第次操作去掉的线段长度为， 因此， 则由题意得， 而，，所以的最小值为6． 【巩固练习1】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据题意，得到第轮训练的模型参数的数量的表达式，结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意知，设第轮训练的模型参数的数量为，则，当时， ， 当时，令，则 ，即 ， 设 ，则1024， 当时，， 当时， ， 当时，， 所以 ，又 ， 所以满足 的最小正整数是14，即当第轮训练的模型参数的数量大于时，的最小值为14． 【巩固练习2】（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设该用户第天使用的分钟数为，由题意可得，构造数列结合等比数列通项公式及前项和公式可得，结合题意列不等式，根据单调性解不等式求解. 【详解】设该用户第天使用的分钟数为， 由题意可得，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设数列的前项和为，则， 要使总费用不超过1元，的整数部分不超过即， 则，化简可得 当，因为随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大， 当时，成立， 当时，，则，故， 所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天. 【巩固练习3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 【答案】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】根据等差中项与等比中项的性质，列出等式求解，进而得出结论. 【详解】设，，是公比为的等比数列，则，． 又因为，所以，整理得：，解得或， 因为，所以，则． 2．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用等比数列下标和相等则项乘积相等的性质求出首项，再排除公比的情况，代入等比数列前项和公式列方程求解公比并舍去不合理解. 【详解】若，由等比数列的性质可知，则， 若，则，不合题意，故， 所以，解得或（舍去）． 3．（26-27高三上·山西·开学考试）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（    ） 参考数据：． A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】由题可知每年投入的研发资金数成以为公比，以为首项的等比数列，再令，通过取对数运算可得，进而可得所求年份. 【详解】由题意知，从年起，每年投入的研发资金数成以为公比的等比数列，设该数列为，则. 令，得，两边取对数，得， 即，所以，即. 所以时，该公司全年投入的研发资金开始超过亿元， 即研发资金开始超过亿元的年份为年． 4．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为,, 由得(1) 由(2)， 将式(2)代入式(1)得： ，解得, 将代入式(2)，得，解得, 所以. 5．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比中项结合是公差为的等差数列，列出方程即可求解． 【详解】由题得，，， 所以， 整理得， 所以，则， 所以． 6．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 8．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先分公比与讨论，排除后利用等比数列求和公式化简求出，再结合算出首项，最后代入通项公式求得． 【详解】设等比数列的公比为， ①若， 由，得， 则，， 显然，所以不满足题意； ②若， 由，得， 因为，所以， 即， 所以，解得， 由，得，解得， 所以， 综上． 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设公比为， 根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即， 由于，变形得，则，故D正确. 10．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以 ， ， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 二、多选题 11．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知等比数列的公比为，，，是的前项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】AD 【详解】等比数列的公比为， 因为，，解得，选项B错误； ，，选项A正确； ， 因为为奇数，所以， 即，选项C错误； 所以， 当为奇数时，，随增大递减，所以， 当为偶数时，，随增大递增，所以，选项D正确. 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项和等比中项的定义即可判断AB，利用等差数列前项和的性质和等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确； 对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误； 对于C，设等差数列的首项为，公差为， 所以， ， ， 所以， 所以，，，，…为等差数列，故C正确； 对于D：设等比数列的公比为， 当时，， 当为偶数时，， 所以，，，，…不是等比数列，故D错误. 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）记等比数列的前项和为，已知，，则（   ） A．的公比 B．是递减数列 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，利用等比数列的性质依次判断即可. 【详解】对于A，由等比数列前项和的性质可得，即，得，解得，故A正确； 对于B，由A知，数列的项正负交替出现，所以是摆动数列，不是递减数列，故B错误； 对于C，由，代入，，可得，所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B．已知是等比数列的前项和，若，，则； C．“等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D．如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 【答案】ACD 【分析】由等差数列的前n项和公式及已知得，即可判断A，根据等比数列片段和的性质知为等比数列，应用等比中项列方程求判断B，根据等额本息还款法的定义判断C，观察题图，确定边长、边的数量变化规律，结合等比数列的定义写出通项公式判断D. 【详解】对于选项A：设等差数列的公差为，则， 所以，则，A对， 对于选项B：在等比数列中为等比数列， 则，所以，可得，B错， 对于选项C：等额本息还款法定义为每期偿还同等数额的款项，故每期还款额构成的数列为常数列，C对， 对于选项D：由题设，初始三角形的周长为，每次操作各边长度变为原来的，边数变为原来的4倍， 故周长是原来的倍，则第个图形的周长，D对. 三、填空题 15．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，则______． 【答案】－144 【分析】先利用前项和公式求出首项与时的通项，再根据等比数列的定义确定参数，最后由等比数列通项公式计算. 【详解】由，得. 当时，； 当时，. 因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式， 即，解得. 此时，公比，故. 16．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 17．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________. 【答案】12 【分析】设数列中的构成公比为的等比数列，列出对应的方程，根据都是质数，求出,再将代入验证. 【详解】假设数列中的构成公比为的等比数列， 所以, 又, 所以, 所以, 因为都是质数，所以能被整除， 所以,即, 所以正整数的最小值为， 验证：当时，由得， 所以, 取，则,符合题意， 所以正整数的最小值为. 四、解答题 18．（湖北部分学校2026-2027学年高三上学期9月开学学业评估数学试卷）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前n项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 又，所以，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 所以 ． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第28讲 等比数列及其前n项和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 等比数列基本量的计算 核心知识 等比数列通项公式 等比数列前项和公式 时 时 为首项为公比为项数 五个量知三求二 等比数列各项均不能为0 方法技巧 把条件转化为关于与的方程组求解 求和优先讨论公比与两种情况 高次方程注意取舍公比的正负解 巧用幂的运算性质简化指数运算 计算完成后代回原题条件检验 【经典例题1】（26-27高三上·广东·阶段检测）（多选）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【经典例题2】（26-27高二上·全国·课后作业）设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 【巩固练习1】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【巩固练习2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【巩固练习3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 【题型2】 等比中项与下标性质 核心知识 等比中项：若成等比数列则 下标性质：若则 若则 方法技巧 看到下标和相等优先使用下标性质整体代换 等比中项不能直接推出成等比数列 注意必须大于0才存在实数等比中项 选择填空直接用下标性质提速 大题使用下标性质可简单说明条件不可以直接默写结论 【经典例题1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． 【经典例题2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等比数列中，，，则当取得最小值时，（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【巩固练习2】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知数列是等比数列，若，，则_______． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型3】 等比数列的证明与判断 核心知识 定义法：（为非零常数）则为等比数列 中项法：且则为等比数列 通项形式：数列是等比数列 方法技巧 解答题证明优先选用定义法 由求证明数列必须验证是否满足通项 不能仅通过前几项比值相等判定等比数列 必须强调数列各项不为0 注意区分充分条件与必要条件 【经典例题1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）（多选）记为数列的前项和，则（    ）． A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．当时，数列为等比数列 D．当为等差数列时，存在使得数列为等差数列 【经典例题2】（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【巩固练习1】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【巩固练习2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【巩固练习3】（25-26高二下·四川广安·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【题型4】 等比数列的函数特性 核心知识 通项为指数型函数 数列递增 数列递减 数列递减 数列递增 数列正负交替不具备单调性 前项和（） 方法技巧 判断单调性先看公比正负直接排除单调 看到的结构可直接判定等比数列 比较项的大小要结合首项符号和公比范围 且才可以类比指数函数性质 注意取正整数 【经典例题1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【经典例题2】（26-27高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是摆动数列 【巩固练习1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【巩固练习3】（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【题型5】 等比数列的片段和性质 核心知识 为等比数列则成等比数列 新数列公比为 前提条件 方法技巧 使用性质前必须检验否则结论不成立 不可以直接写 大题不能直接默写片段和结论需要简单推导 采用整体设元减少大量运算 选择填空满足条件可直接套用结论 【经典例题1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【经典例题2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【巩固练习1】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【巩固练习2】（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【巩固练习3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【题型6】 等比数列前n项和的其他性质 方法技巧 先分清总项数为奇数还是偶数 奇偶和公式只适用于公比 遇到数列伸缩取倒数的问题直接利用性质判断新数列类型 大题建议简单推导奇偶和关系 注意分母不能为0 【经典例题1】（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【经典例题2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习1】（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【巩固练习2】（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【题型7】 等比数列的实际应用 核心知识 等比模型对应成倍增长或者成倍衰减 常见模型：复利计息增长率问题裂变繁殖 代表变化次数取正整数 方法技巧 读题识别成倍变化模型确定首项和公比 分清求解目标是求某一项还是求前项总和 复利模型注意区分期数 根据实际背景舍去不符合题意的解 结果要符合现实意义 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【经典例题2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【巩固练习1】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【巩固练习2】（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【巩固练习3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 2．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（26-27高三上·山西·开学考试）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（    ） 参考数据：． A．年 B．年 C．年 D．年 4．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 二、多选题 11．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知等比数列的公比为，，，是的前项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）记等比数列的前项和为，已知，，则（   ） A．的公比 B．是递减数列 C． D． 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B．已知是等比数列的前项和，若，，则； C．“等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D．如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 三、填空题 15．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，则______． 16．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 17．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________. 四、解答题 18．（湖北部分学校2026-2027学年高三上学期9月开学学业评估数学试卷）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前n项和． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $