第03讲 等比数列及其前n项和（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖基本量计算、判定证明、性质应用及前n项和等内容，按知识解构（概念、公式、性质）到题型破译（7大题型）系统架构，通过知识精讲、方法指导（如“知三求二方程法”）、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破高频难点。 讲义创新采用“题型+方法+变式”教学模式，如用“符号公比分类法”解析单调性问题，结合真题溯源与课本典例挖掘高考素材，培养学生数学思维与应用意识。分层设置自主检测与变式练习，确保高效突破中档题，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第03讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1等比数列 知识点2等比数列的前n项和公式 知识点3等比数列及其前n项和的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 等比数列基本量的计算 【方法技巧】知三求二方程法 题型2 等比数列的判定与证明 题型3 等比数列项的性质 题型4 等比数列中的单调性与最值问题 【方法技巧】符号公比分类法 题型5 等比数列前n项和的性质 题型6 等比数列的简单应用 题型7 等差数列与等比数列的综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列基本量的计算 全国一卷T14（5分） 全国二卷T10（6分） 全国二卷T9（6分） 全国甲卷（文）T17（12分） 等比数列的证明 ________ ________ 全国甲卷（理科）T18（1）（5分） 等比数列的求和 全国二卷T10（6分） 全国一卷T13（5分） 全国二卷T9（6分） 全国甲卷（文）T17（12分） 考情分析 近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n项和公式及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属于数列模块的基础中档必考内容。 复习目标 1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n项和公式，能精准完成基本量运算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。 2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为________； （2）公比是每一项与其________的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的________，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是________． 等比数列通项公式的变形：________． 4．等比数列与单调性 当________或________时，是递增数列； 当________或________时，是递减数列； 当________时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）________，奇数项与偶数项异号． 自主检测 1．在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 知识点2 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 自主检测 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 4．设为等比数列的前n项和，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．15 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则________；若，则________． 推广：若，则________． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则________，若项数为，则________． （4）当时，连续项的和（如）仍组成________（公比为________，）．注意：这里连续m项的和均非零． 自主检测 5．记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 6．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 题●型●破●译 题型1 等比数列基本量的计算 例1-1（2025·甘肃平凉·二模）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 例1-2（2026·黑龙江黑河·一模）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 方法技巧 知三求二方程法 将所有已知条件统一转化为关于首项和公比的方程（组），结合通项公式与前项和公式列方程求解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证的特殊情况，避免漏解；涉及与混合条件时，利用和拆分求解。 【变式1-1】（2025·吉林吉林·三模）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．－129或53 B．－127或55 C．－129或55 D．－127或53 【变式1-2】（2025·四川内江·二模）已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）记为等比数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)判断，，是否成等差数列？请说明理由． 题型2 等比数列的判定与证明 例2-1（2025·湖北孝感·二模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； 例2-2（2026·河北衡水·一模）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； 【变式2-1】（2025·四川广安·三模）已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； 【变式2-2】（2025·海南三沙·三模）已知数列的首项为，点在函数的图象上． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； 【变式2-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，且，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 题型3 等比数列项的性质 例3-1（2026·湖北武汉·二模）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 例3-2（2025·宁夏固原·二模）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式3-1】（2025·广西贺州·模拟预测）已知等比数列，公比，且，则______． 【变式3-2】（2025·广东肇庆·一模）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3·变考法】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比且的等比数列，前项积为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型4 等比数列中的单调性与最值问题 例4-1（2025·辽宁丹东·二模）设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4-2（2025·广东中山·二模）设为等比数列， 则“为递增数列”是“存在，使得 ”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 符号公比分类法 单调性由首项的符号与公比的范围共同决定：或时数列递增，反之递减；时数列为摆动数列，无单调性。 最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意为正整数的约束。 【变式4-1】（2025·安徽黄山·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【变式4-2】（2026·山西阳泉·二模）（多选）已知数列，满足，且为递增数列，下列说法正确的有（   ） A．若为等比数列，则公比可能大于1 B．若为等比数列，则公比可能小于-1 C．若为等差数列且，则公差可能小于0 D．若为等差数列且，则公差一定大于0 【变式4-3】（2026·陕西榆林·二模）已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（    ） A．和既有最大值，又有最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最大值，无最小值 D．无最小值，有最小值 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1（2025·湖南郴州·一模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 例5-2（2025·江苏镇江·二模）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则___________. 题型6 等比数列的简单应用 例6-1（2025·黑龙江七台河·一模）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 例6-2（2025·广西南宁·三模）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式6-1】（2025·福建宁德·一模）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·江苏扬州·模拟预测）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了16只小老鼠，一共有18只；2个月后，每对老鼠各生了16只小老鼠，一共有162只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则_________． 【变式6-3】（2026·山东聊城·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 题型7 等差数列与等比数列的综合 例7-1（2025·河北承德·二模）已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 例7-2（2025·广东东莞·一模）记为等比数列的前项和，已知，，且． (1)求的通项公式； (2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 【变式7-1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 【变式7-2·变考法】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【变式7-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列是等比数列． （1）若，，求q与； （2）若，，求． 2．设等比数列的前n项和为 .已知求和 . 3．已知数列的前n项和为，若，求． 4．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 5．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年． （1）碳14的年衰变率为多少（精确到） （2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？ 6．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 7．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1等比数列 知识点2等比数列的前n项和公式 知识点3等比数列及其前n项和的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 等比数列基本量的计算 【方法技巧】知三求二方程法 题型2 等比数列的判定与证明 题型3 等比数列项的性质 题型4 等比数列中的单调性与最值问题 【方法技巧】符号公比分类法 题型5 等比数列前n项和的性质 题型6 等比数列的简单应用 题型7 等差数列与等比数列的综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列基本量的计算 全国一卷T14（5分） 全国二卷T10（6分） 全国二卷T9（6分） 全国甲卷（文）T17（12分） 等比数列的证明 ________ ________ 全国甲卷（理科）T18（1）（5分） 等比数列的求和 全国二卷T10（6分） 全国一卷T13（5分） 全国二卷T9（6分） 全国甲卷（文）T17（12分） 考情分析 近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n项和公式及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属于数列模块的基础中档必考内容。 复习目标 1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n项和公式，能精准完成基本量运算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。 2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 自主检测 1．在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，即，即. 2．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得， 所以． 知识点2 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 自主检测 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为.根据题意可得， 解得或.因为各项均为正数，所以. 4．设为等比数列的前n项和，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．15 【答案】B 【详解】当时，，此时，不符合题意； 当时，由题意得，则， 所以，解得， 所以，， 所以. 知识点3 等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 自主检测 5．记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 【答案】C 【详解】因为数列为等比数列， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以． 6．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 题●型●破●译 题型1 等比数列基本量的计算 例1-1（2025·甘肃平凉·二模）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 例1-2（2026·黑龙江黑河·一模）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ①若， 由，得， 则，， 显然，所以不满足题意； ②若， 由，得， 因为，所以， 即， 所以，解得， 由，得，解得， 所以， 综上． 方法技巧 知三求二方程法 将所有已知条件统一转化为关于首项和公比的方程（组），结合通项公式与前项和公式列方程求解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证的特殊情况，避免漏解；涉及与混合条件时，利用和拆分求解。 【变式1-1】（2025·吉林吉林·三模）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．－129或53 B．－127或55 C．－129或55 D．－127或53 【答案】A 【详解】设数列的公比为，由已知其首项为， 所以，即， 解得或， 所以或， 解得或. 【变式1-2】（2025·四川内江·二模）已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）记为等比数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)判断，，是否成等差数列？请说明理由． 【答案】(1) (2)，，成等差数列； 由（1），可得． 由于 ， 所以，成等差数列． 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得， 解得， 所以，． （2），，成等差数列； 由（1），可得， 由于 ， 所以，成等差数列． 题型2 等比数列的判定与证明 例2-1（2025·湖北孝感·二模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 (2)（i）；（ii）． 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 例2-2（2026·河北衡水·一模）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)∵， ∴， ，，∴， ∴， ∴， ∴数列是以12为首项，4为公比的等比数列 (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由(1)得， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴是以2为首项，为公比的等比数列． ∴ ， 即. （3）, , , , , . 【变式2-1】（2025·四川广安·三模）已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和． 【答案】(1)证明：由得，又因为， 所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列； 所以，解得． (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）， 又， 则， 两式相减得， 化简得． 【变式2-2】（2025·海南三沙·三模）已知数列的首项为，点在函数的图象上． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 【答案】(1)因为点在函数的图象上， 所以，即， 整理得， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得； (2)（i）； （ii），设数列从第项开始，连续项的和为， ， ，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数， 因为恒为奇数，所以必须为奇数， 题意等价于存在正整数，使得③， 当为正偶数时， 令， ，因此， ，即是的倍数， 所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件， 当为正奇数时， 令， ，奇次幂保持余数， ，即除以余， 所以为奇数， 证明如下：取（取数列第一项为连续段起点）， 代入③得，解出， 为奇数，则为偶数，设，， ，， 所以能被整除，为整数， 又，代入得，即是正整数， 所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意， 即满足条件的正整数是全体正奇数，即． 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i），， ， 所以①， ②， ①②得， ， 所以； （ii）略 【变式2-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，且，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，， 所以， 又，故， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，的前项和 . 题型3 等比数列项的性质 例3-1（2026·湖北武汉·二模）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 例3-2（2025·宁夏固原·二模）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 【变式3-1】（2025·广西贺州·模拟预测）已知等比数列，公比，且，则______． 【答案】256 【详解】因为等比数列中，且公比， 可得，，成等比，且公比为， 又因为，所以可得， 可得． 【变式3-2】（2025·广东肇庆·一模）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 【变式3-3·变考法】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比且的等比数列，前项积为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】因为为等比数列，且，， 由. 由， 因为，所以. 题型4 等比数列中的单调性与最值问题 例4-1（2025·辽宁丹东·二模）设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时， 当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值， 即“”不是“有最小值”的充分条件； 必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有， 且随增大趋向正无穷。 此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大， 即会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若有最小值，必然， 即“”是“有最小值”的必要条件； 综上，""是"有最小值"的必要不充分条件. 例4-2（2025·广东中山·二模）设为等比数列， 则“为递增数列”是“存在，使得 ”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当“为递增数列”时，对任意“，必有 ”，故充分性成立； 假设等比数列的公比是，首项是1，则数列依次为， 当时，有，使得 ，但不是递增数列，故必要性不成立； 故“为递增数列”是“存在，使得 ”的充分而不必要条件. 方法技巧 符号公比分类法 单调性由首项的符号与公比的范围共同决定：或时数列递增，反之递减；时数列为摆动数列，无单调性。 最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意为正整数的约束。 【变式4-1】（2025·安徽黄山·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 【变式4-2】（2026·山西阳泉·二模）（多选）已知数列，满足，且为递增数列，下列说法正确的有（   ） A．若为等比数列，则公比可能大于1 B．若为等比数列，则公比可能小于-1 C．若为等差数列且，则公差可能小于0 D．若为等差数列且，则公差一定大于0 【答案】ACD 【详解】因为为等比数列，设公比为，因为，所以，所以为等比数列，公比为，首项为， 若为递增数列，则有，或，即或， 故A正确，B错误， 因为为等差数列且，则，，，因为为递增数列， 所以，所以， 若，则，因为，所以，符合条件，故C正确， 因为为等差数列且，所以，所以，， 当时，，因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-3】（2026·陕西榆林·二模）已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（    ） A．和既有最大值，又有最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最大值，无最小值 D．无最小值，有最小值 【答案】A 【详解】设等比数列公比， ，， 且，则， 等比数列的前项和， 则，其中， ①当为奇数时，， 则，即，故的最小值为. 又由，可得，所以； ②当为偶数时，， 则，即，故的最大值为. 又由，可得，所以； 综合①②可得，任意， 有最大值，最大值为；也有最小值，最小值为， 故既有最大值，又有最小值； 等比数列的前项积， 由，则， 所以，且，则， 当为奇数时，，与同号； 当为偶数时，，与异号； 故各项的符号依次为： 又，又由，则， 又因为数列单调递减， 所以必存在，使得当时，恒有，即. 由题意， 则当时，则，故数列单调递减； 当时，则，故数列单调递减（非严格）； 当时，则， 又数列单调递减，且，即数列必先增后减； 所以不论取何值，都存在最大值. 由于各项的符号的变化规律，可知最大值与最小值都存在， 且最大值即为正项中绝对值最大的项，而最小值即为负项中绝对值最大的项. 故既有最大值，又有最小值. 故选：A. 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1（2025·湖南郴州·一模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则，与的题设矛盾，故； 根据等比数列前项和公式可得 ① ， ② ； 将②除以①，化简得，解得； 又. 例5-2（2025·江苏镇江·二模）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则___________. 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 题型6 等比数列的简单应用 例6-1（2025·黑龙江七台河·一模）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 例6-2（2025·广西南宁·三模）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】设该用户第天使用的分钟数为， 由题意可得，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设数列的前项和为，则， 要使总费用不超过1元，的整数部分不超过即， 则，化简可得 当，因为随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大， 当时，成立， 当时，，则，故， 所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天. 【变式6-1】（2025·福建宁德·一模）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 【变式6-2】（2025·江苏扬州·模拟预测）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了16只小老鼠，一共有18只；2个月后，每对老鼠各生了16只小老鼠，一共有162只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则_________． 【答案】 【详解】假设个月后共有老鼠只，则个月后共有老鼠只， 所以， 又，所以， 所以数列是以为首项为公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·山东聊城·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【详解】由题意，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故， 所以， ， 由，得， 整理得对任意，且恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的最大整数为. 题型7 等差数列与等比数列的综合 例7-1（2025·河北承德·二模）已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 【答案】B 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则， 所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，， 当时，， 所以，不是常数数列，满足题意， 所以， 所以， 所以. 例7-2（2025·广东东莞·一模）记为等比数列的前项和，已知，，且． (1)求的通项公式； (2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，，成等差数列，理由如下： 由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律， 则，即，所以. 因为， 即，所以，，成等差数列． 【分析】 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 因为，则，可得， 且，则，可知，， 可得，解得， 所以或. （2）略 【变式7-1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 【变式7-2·变考法】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 【变式7-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 【答案】(1)，是等差数列 (2)9，63 【分析】 【详解】（1）当时，有， 当时，有， 又因为，所以时也成立， 因此数列的通项公式为．             因为，所以是等差数列． （2）由（1）知，， 由，得，             由题知，所以， 所以，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数， 即集合中元素的个数为9， 所有元素的和为63． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 3．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列是等比数列． （1）若，，求q与； （2）若，，求． 【答案】（1），； （2）或. 【分析】 【详解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为， 因为，，可得，即，解得， 所以. （2）设等比数列的公比为，因为，， 可得，即，解得或， 当时，可得，则； 当时，可得，则. 2．设等比数列的前n项和为 .已知求和 . 【答案】当时， ；当时， 【详解】设的公比为，由题设得 解得或 ， 当时， ； 当时， 3．已知数列的前n项和为，若，求． 【答案】 【详解】当时：, 当时： . 所以数列为以为首项，2为公比等比数列. 所以. 4．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 【答案】 【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求 5．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年． （1）碳14的年衰变率为多少（精确到） （2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？ 【答案】（1）；（2）4221. 【分析】 【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为，n年后的残留量为，则是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则 ，所以衰变率． 即碳14的年衰变率为； (2)设动物约在距今n年前死亡，由，得 ， 解得，所以动物约在距今4221年前死亡． 6．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 7．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【答案】(1)证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． (2)99 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $