2.7 探索勾股定理 讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，系统构建从基础应用到综合拓展的学习支架，涵盖已知两边求第三边、列方程求解、实际应用、面积问题、逆定理判断及综合运用六大题型，衔接直角三角形概念与后续几何综合知识。 资料以典例引领结合举一反三设计，通过网格图形、《九章算术》古题等情境培养数学眼光中的几何直观，借助方程推理、逆定理验证发展数学思维中的推理意识，结合旗杆测量、隧道路程等实际问题强化数学语言的模型应用。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

浙教版（2024）八年级上册 2.7 探索勾股定理 题型专练 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 【典例】依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（　　） A.2 B. C. D.2.5 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　） A.20 B.25 C.35 D.30 【举一反三2】直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A.6 B.8 C. D. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是　  　． 【举一反三4】如图，数轴上点B所表示的数为﹣2，AB⊥OB，且AB为一个单位长度，点P在数轴上，且OP＝OA，则点P所表示的数为　   　． 【举一反三5】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）a＝6，c＝10，求b； （2）a＝40，b＝9，求c； （3）c＝34，a：b＝8：15，求a，b． 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 【典例】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（　　） A.10.5步 B.16.5步 C.24.5步 D.25.5步 【举一反三1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 【举一反三2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　  　尺． 【举一反三3】学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）． （1）若旗杆的高度AB＝x米，那么绳子的长度可以表示为 　  　米（用含x的代数式表示）． （2）求旗杆AB的高度． 【题型3】勾股定理的实际应用 【典例】如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A.7 B.8 C.9 D.10 【举一反三1】如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有2块木板，尺寸分别为：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；能从这扇门通过的木板是（　　） A.①号 B.②号 C.①、②号均能通过 D.①、②号都不能通过 【举一反三2】王英同学从A地出发，沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（　　） A.100米 B.50米 C.米 D.米 【举一反三3】木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）． 【举一反三4】如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 　 　km． 【举一反三5】小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高是9m，请你帮小强计算这块菜地的面积． 【题型4】勾股定理的面积问题 【典例】如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在等腰中，，，且，以边、、为直径画半圆，其中所得两个月形图案和图中阴影部分的面积之和等于(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长是__________． 【举一反三3】如图，中，，，以的三边向外作正方形，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________． 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 【典例】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    ) A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三1】已知的三边长分别为，，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】在中，，，，则边上的高为_________． 【举一反三3】在中，，，边上的中线，则的长为          ． 【举一反三4】如图，在中，点是上一点，，求的面积． 【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 【典例】如图，在网格中，点，，都是格点网格线的交点，则的形状是(    ) A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【举一反三1】如图，四边形中，，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，已知在中，于，，，则______． 【举一反三4】如图，有一块菜地，已知，，，，，求这块地的面积． 浙教版（2024）八年级上册 2.7 探索勾股定理 题型专练（参考答案） 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 【典例】依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（　　） A.2 B. C. D.2.5 【答案】B 【解析】∵依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，且每一方格的边长为1， ∴阴影正方形的边长， 故选：B． 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　） A.20 B.25 C.35 D.30 【答案】B 【解析】在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12， ∴AC20， 在Rt△ACB中， AB25， 故选：B． 【举一反三2】直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A.6 B.8 C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，斜边为13．所以斜边上的高＝12×5÷13． 故选：D． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是　  　． 【答案】10 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴由勾股定理，得 AB10． 故答案为：10． 【举一反三4】如图，数轴上点B所表示的数为﹣2，AB⊥OB，且AB为一个单位长度，点P在数轴上，且OP＝OA，则点P所表示的数为　   　． 【答案】± 【解析】∵OA，OP＝OA， ∴OP， ∴点P所表示的数是到原点的距离为的数，即±． 故答案为：±． 【举一反三5】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）a＝6，c＝10，求b； （2）a＝40，b＝9，求c； （3）c＝34，a：b＝8：15，求a，b． 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，a＝6，c＝10， 根据勾股定理，得：b； （2）在Rt△ABC中，a＝40，b＝9， 根据勾股定理，得：c； （3）在Rt△ABC中c＝34，a：b＝8：15， 设a＝8k，则b＝15k， 根据勾股定理，得a2+b2＝c2， 即（8k）2+（15k）2＝342， 解得：k＝2或﹣2（舍去）， ∴a＝2，b＝1.5， ∴a＝8k＝16，b＝15k＝30． 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 【典例】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（　　） A.10.5步 B.16.5步 C.24.5步 D.25.5步 【答案】C 【解析】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：AB＝3x， 甲共行走：AC+BC＝7x， ∵AC＝10， ∴BC＝7x﹣10， 又∵∠A＝90°， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2， 解得：x＝0（舍去）或x＝3.5， ∴AB＝3x＝10.5， AC+BC＝7x＝24.5， 即甲走了24.5步， 故选：C． 【举一反三1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 【答案】D 【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：D． 【举一反三2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　  　尺． 【答案】4.55 【解析】如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺， 设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 即折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【举一反三3】学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）． （1）若旗杆的高度AB＝x米，那么绳子的长度可以表示为 　  　米（用含x的代数式表示）． （2）求旗杆AB的高度． 【答案】解：（1）设AB＝x米，则绳子长为（x+1）米， 故答案为：（x+1）； （2）在Rt△ACE中，AC＝x米，AE＝（x﹣1）米，CE＝6米， 由勾股定理得：（x﹣1）2+62＝（x+1）2， 解得：x＝9， 答：旗杆AB的高度为9米． 【题型3】勾股定理的实际应用 【典例】如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【解析】两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：D． 【举一反三1】如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有2块木板，尺寸分别为：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；能从这扇门通过的木板是（　　） A.①号 B.②号 C.①、②号均能通过 D.①、②号都不能通过 【答案】B 【解析】∵长方形门框高为2m，宽为1.5m， ∴长方形门框对角线长度为：， ∵2.4＜2.5＜2.7， ∴①号木板不能通过，②号木板能通过， 故选：B． 【举一反三2】王英同学从A地出发，沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（　　） A.100米 B.50米 C.米 D.米 【答案】D 【解析】∵沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地， ∴∠BCA＝90°，AB＝100米，BC＝50米， ∴AC50， 故选：D． 【举一反三3】木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【解析】∵42+62＝52≠72＝49， ∴这扇纱窗不是直角，故不合格． 故答案为：不合格． 【举一反三4】如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 　 　km． 【答案】4 【解析】∵∠C＝90°，AC＝6km，BC＝8km， ∴， ∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（km）； 即：打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为4km； 故答案为：4． 【举一反三5】小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高是9m，请你帮小强计算这块菜地的面积． 【答案】解：∵两边长分别为41m，15m，第三边上的高是9m， ∴第三边的长为±40±12， ∴第三边的长为52或28， 这块菜地的面积为： 52×9＝234平方米或28×9＝126平方米． 【题型4】勾股定理的面积问题 【典例】如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，， 又，． 故选：D. 根据勾股定理和半圆的面积公式，知． 【难度】基础题 【举一反三1】如图，在等腰中，，，且，以边、、为直径画半圆，其中所得两个月形图案和图中阴影部分的面积之和等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在等腰中，，，，，，，， 故选：D． 【举一反三2】如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长是__________． 【答案】  【解析】由题意知，，，且， 正方形的面积为．正方形的边长是． 故答案为：． 【难度】基础题 【举一反三3】如图，中，，，以的三边向外作正方形，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________． 【答案】  【解析】根据题意知，，，， 故答案是． 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 【典例】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    ) A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】A 【解析】A、，能构成直角三角形，故选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意． 故选：A． 【难度】基础题 【举一反三1】已知的三边长分别为，，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的三边分别为，，，且，是直角三角形，两直角边是，，的面积为：． 【举一反三2】在中，，，，则边上的高为_________． 【答案】  【解析】在中，，，，，为直角三角形，且，直角边为，， 设斜边上的高为， 根据三角形的面积有：， 解得， 故答案为． 【难度】中档题 【举一反三3】在中，，，边上的中线，则的长为          ． 【答案】  【解析】是中线，，，，，即，是直角三角形，则， 又，． 故答案为． 【举一反三4】如图，在中，点是上一点，，求的面积． 【答案】解：在中，，，，，．．是直角三角形．． 又，．  【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 【典例】如图，在网格中，点，，都是格点网格线的交点，则的形状是(    ) A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】，，，，，是等腰直角三角形． 故选：A． 【举一反三1】如图，四边形中，，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在中，，，，，，，，， 根据勾股定理逆定理得是直角三角形，，． 故选：C． 【举一反三2】如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据已知可得是的垂直平分线，，，，，，，，是直角三角形，． 【举一反三3】如图，已知在中，于，，，则______． 【答案】  【解析】，，，，，，，． 故答案为：． 【举一反三4】如图，有一块菜地，已知，，，，，求这块地的面积． 【答案】解：连结， 在中，，，，，， 在中，，，，，是直角三角形，四边形的面积  学科网（北京）股份有限公司 $