2.8 直角三角形全等的判定7大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦直角三角形全等的HL判定定理，承接一般三角形全等判定知识，构建“定理理解-证明探究-应用辨析”学习支架，明确斜边与直角边对应相等的条件要求，区分其与普通全等判定的适用范围。 资料通过分层题型设计，从基础证明到综合应用（如结合垂直平分线、角平分线），培养学生推理能力与几何直观，规范证明书写提升数学语言表达，课中助力教师系统教学，课后帮助学生分层巩固查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 课标要点 1. 理解直角三角形全等 “HL” 判定定理，分清斜边、直角边对应相等的条件要求。 2. 能证明 HL 判定定理，经历定理探究过程，发展几何演绎推理与逻辑思辨能力。 3. 会区分一般三角形与直角三角形全等判定，正确选用方法完成全等证明。 学习重难点 重点： 1. 掌握 HL 判定定理的内容与符号语言，明确该判定仅适用于直角三角形。 2. 会结合普通全等判定方法，多角度证明两个直角三角形彼此全等。 3. 规范书写直角三角形全等证明过程，做到条件完备，推理步骤严谨完整。 难点： 1. 辨析 HL 与普通全等判定的区别，避免在非直角三角形中错误使用 HL 定理。 2. 在复杂图形中挖掘隐含斜边、直角边相等条件，找准全等所需对应边。 3. 综合运用直角三角形性质与全等判定，完成多步推理的几何证明题。 知识点一 用HL证明三角形全等 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 特别提醒 HL判定全等仅适用于直角三角形，只需证明斜边与一条直角边对应相等即可。不可用在普通三角形中，做题需先判定直角。注意区分HL与SSS、SAS等判定方法，书写证明时要明确直角条件，避免定理误用。 即学即练 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 2．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 题型01 用HL证明全等 典｜例｜精｜析 1．如图，在与中，于点．若，求证：． 变｜式｜巩｜固 2．如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 3．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 4．如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 题型02 利用直角三角形全等的判定求长度 典｜例｜精｜析 5．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 变｜式｜巩｜固 6．如图，中，，平分，，垂足为，若，，则的长为___________． 7．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（    ） A． B． C．12 D．10 8．如图，在中，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型03 利用直角三角形全等的判定求角度 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 变｜式｜巩｜固 10．如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 11．如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 12．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 题型04 利用直角三角形全等的判定求解 典｜例｜精｜析 13．如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 变｜式｜巩｜固 14．解决以下问题 感知：如图①，平分，，，易知：． 探究： (1)如图②，平分，，，求证：． 应用： (2)如图③，四边形中，，，，求的值（用含a的代数式表示） 15．如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点． (1)求证：． (2)若点为的中点，，求的长． 16．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 题型05 直角三角形全等的判定与垂直平分线结合 典｜例｜精｜析 17．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 20．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 题型06 直角三角形全等的判定与角平分线结合 典｜例｜精｜析 21．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 变｜式｜巩｜固 22．如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 23．如图，已知，点C是的平分线上一点，，，E、F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为_______． 24．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作，，垂足分别为，若，，求的长． 题型07 直角三角形全等的判定常见辅助线添加 典｜例｜精｜析 25．如图，在四边形ABCD中，AC平分，，于点E． (1)求证：； (2)若，求的值． 变｜式｜巩｜固 26．问题提出：如图，长方形的边上有一点，将长方形沿着直线折叠，顶点落在点处，． (1)分析探究：结合折叠性质，探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)实践解决：若，，求长． 27．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 28．【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 (2)如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 (3)如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 基础通关 1．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ．如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 5．如图，，，要根据“”判定，还需添加的一个条件是______． 6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 7．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 8．如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______． 9．课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 10．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 素养提升 11．如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 12．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为______． 13．如图，的平分线与的垂直平分线相交于，，，则__．    14．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 15．如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则的周长为______． 16．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 17．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为_____时，能使？ 连 18．如图，内角平分线交边于点，交外角的平分线于，连结，，若为等腰三角形，则的度数为 __． 19．综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 20．已知：如图，，，分别平分，． (1)如图，求的度数； (2)如图，作于点，满足，求的度数． 迁移创新 21．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 22．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 23．如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 24．在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 25．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 课标要点 1. 理解直角三角形全等 “HL” 判定定理，分清斜边、直角边对应相等的条件要求。 2. 能证明 HL 判定定理，经历定理探究过程，发展几何演绎推理与逻辑思辨能力。 3. 会区分一般三角形与直角三角形全等判定，正确选用方法完成全等证明。 学习重难点 重点： 1. 掌握 HL 判定定理的内容与符号语言，明确该判定仅适用于直角三角形。 2. 会结合普通全等判定方法，多角度证明两个直角三角形彼此全等。 3. 规范书写直角三角形全等证明过程，做到条件完备，推理步骤严谨完整。 难点： 1. 辨析 HL 与普通全等判定的区别，避免在非直角三角形中错误使用 HL 定理。 2. 在复杂图形中挖掘隐含斜边、直角边相等条件，找准全等所需对应边。 3. 综合运用直角三角形性质与全等判定，完成多步推理的几何证明题。 知识点一 用HL证明三角形全等 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 特别提醒 HL判定全等仅适用于直角三角形，只需证明斜边与一条直角边对应相等即可。不可用在普通三角形中，做题需先判定直角。注意区分HL与SSS、SAS等判定方法，书写证明时要明确直角条件，避免定理误用。 即学即练 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 2．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略； 题型01 用HL证明全等 典｜例｜精｜析 1．如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 2．如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ，       ．   【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】略． 3．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ，即， ，， ． (2) 【分析】（1）由线段的和差等量代换证明，从而证明； （2）根据含角直角三角形的性质可得BE的长，证明是等边三角形，可得，从而根据线段的和差关系，依次求得、的长． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，， 是等边三角形， ， ， ． 4．如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型02 利用直角三角形全等的判定求长度 典｜例｜精｜析 5．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 6．如图，中，，平分，，垂足为，若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．先证明，再设，则 ，根据勾股定理，得，解答即可． 【详解】解：，平分， 于 F，， 故． 在和中 ， ∴， ∴， 在 中，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 即； 故答案为：． 7．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（    ） A． B． C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质． 由角平分线的性质，可得，证明，可得，等量代换，可得，即可得的周长． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长等于． 故选：D． 8．如图，在中，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵于点E， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵, ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）证明得到． （2）由得到，再证明，得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ， ， 解得：． 题型03 利用直角三角形全等的判定求角度 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 10．如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 【答案】(1) 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用证明三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解． （1）先根据判定和为直角三角形，再结合已知和公共边，利用定理证明全等． （2）由全等三角形的性质得，在中求出的度数，再利用三角形外角性质或直角三角形两锐角互余的关系，建立关于的方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得； 故答案为：． 11．如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 12．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 题型04 利用直角三角形全等的判定求解 典｜例｜精｜析 13．如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）证明得到； （2）证明，得到，即，代入解得，再根据勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴． 变｜式｜巩｜固 14．解决以下问题 感知：如图①，平分，，，易知：． 探究： (1)如图②，平分，，，求证：． 应用： (2)如图③，四边形中，，，，求的值（用含a的代数式表示） 【答案】(1)证明：如图②中，作于，交的延长线于， ∵平分，，，则 ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接、作于，交的延长线于，证明即可； （2）连接、作于，交的延长线于，先证明，再证明，然后得到，再根据角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图③，连接、作于，交的延长线于， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴ ∴， ∴． 15．如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点． (1)求证：． (2)若点为的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中： ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． (2) 【分析】（1）先利用HL证明，得到角相等，再通过直角三角形两锐角互余等量代换，推出，证得垂直； （2）由垂直平分得，结合推出，再设，利用线段关系、等腰三角形性质列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：是中点，且， 是的垂直平分线， ． ，，， 为等腰直角三角形，． 设，则． 由（1）全等可知：， ． 在中，由勾股定理： ， ， ， 即， 解得， ， ， 即． 16．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 题型05 直角三角形全等的判定与垂直平分线结合 典｜例｜精｜析 17．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 19．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 【答案】 证明：∵在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴． 【分析】该题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．根据垂直平分线的性质得出，根据角平分线的性质得出，证明，即可解答． 【详解】略 20．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 直角三角形全等的判定与角平分线结合 典｜例｜精｜析 21．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，，证明，得出，同理得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 22．如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，作，，， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：C．    【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键． 23．如图，已知，点C是的平分线上一点，，，E、F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为_______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，设，，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 24．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作，，垂足分别为，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合三角形的外角可得，代入计算即可； （2）连接，作于，根据角平分线的性质可得，再证明，得到，同理得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于， 平分，，， ， 同理，， ， 在和中， ， ∴， ， 同理，， ． 题型07 直角三角形全等的判定常见辅助线添加 典｜例｜精｜析 25．如图，在四边形ABCD中，AC平分，，于点E． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：过点作于点F， 平分，， ． ， ， ， ， ； (2)4 【分析】（1）过点作于点F，先通过角平分线的性质定理证明，然后通过定理证明，由此即可得到结论； （2）通过定理证明，得到，通过（1）中的得到，最后通过线段和差关系即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， 又， ， ． 变｜式｜巩｜固 26．问题提出：如图，长方形的边上有一点，将长方形沿着直线折叠，顶点落在点处，． (1)分析探究：结合折叠性质，探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)实践解决：若，，求长． 【答案】(1)， 理由如下：连接，如图， ∵四边形为长方形， ∴， 由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，再证明，即可得证； （2）设，则，由折叠的性质可得，，求出，，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由折叠的性质可得，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 27．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 28．【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 (2)如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 (3)如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）证明，即可得解； （2）作于点，证明，得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）分三种情况：为直角边，，作直角边，，为斜边，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①当为直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当为斜边，时，如图，作高线，过作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，得， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或或． 基础通关 1．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 2．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． ．如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定，根据题意，易得平分，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，于且， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 5．如图，，，要根据“”判定，还需添加的一个条件是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“”），熟练掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键． 本题利用“”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ①， 在和中， ， ∴， ②， 在和中， ， ∴， 综上所述：还需添加的一个条件是或， 故答案为：或． 6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 7．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴和的面积之比为 故答案为： 9．课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见解析 【详解】解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 10．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 素养提升 11．如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为______． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 13．如图，的平分线与的垂直平分线相交于，，，则__．    【答案】 【分析】首先连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得． 【详解】解：如图，连接，，    是的平分线，，， ，，， , ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质． 14．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【分析】过点作交的延长线于点，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则的周长为______． 【答案】16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，过点P作于点H，连接，由角平分线的性质得到，可证明，得到，同理可得，再证明，，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于点H，连接， ∵的平分线交于点，点是上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴的周长 ， 故答案为：． 16．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 17．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为_____时，能使？ 【答案】3或9 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用；运用勾股定理构建方程是解题的关键． ①当点P在点C左侧时，如图，，可证．得，可求；中，运用勾股定理构建方程，解得；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理，可得，，同法构建方程，解得． 【详解】解：①当点P在点C左侧时，如图，， ∵，， ∴． ∴． 中，，，． 中，， ∴，解得； ②当点P在点C右侧时，如图， 连 连接，同理，可得， 中，，， ∴，解得 综上，或时，． 故答案为：3或9． 18．如图，内角平分线交边于点，交外角的平分线于，连结，，若为等腰三角形，则的度数为 __． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质与判定，延长，过点作于点，于点，于点．首先由角平分线和外角得到，，，依据角平分线的性质定理推导出，得出平分，从而得到，结合为等腰三角形，求出的度数，然后由外角得到，最后根据解答即可． 【详解】解：延长，过点作于点，于点，于点． 平分，平分， ，， ， 又， ， ∴， 平分，平分，，，， ， ， 平分， ， 为等腰三角形， 当时，， ∴， ∴ ； 当时，，， ∴，不合题意； 当时，， ， ∴ ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 19．综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：，， ， ，直线l经过点A， ，即， ， ； （2）； （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用证明三角形全等即可； （2）过点作交于点，同理可得，可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可解答； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，同理可得，可得，证明，利用三角形面积公式求得，进而得到，再求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作交于点， 同理（1）得， ， ，， ， ∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ， 同理（1）中得， ， ∵， ∴， ∴， 的面积为14，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 20．已知：如图，，，分别平分，． (1)如图，求的度数； (2)如图，作于点，满足，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，又，分别平分，，所以，，从而求得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）先证明，所以，又平分，则，得，然后通过平角定义可得，从而求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 由（）得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 迁移创新 21．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形两个锐角互余可知，等量代换可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， ， ， ， 整理可得：. 故选：D. 22．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 23．如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 24．在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴是的角平分线； (2) 证明：由作图知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角． （1）利用平行线的性质结合等边对等角求得，即可证明结论成立； （2）证明，推出，，再证明，得到，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 25．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 【答案】（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，再根据求解； （2）过D作交延长线于E，由，，得，即得，可证明，得，，则，再由勾股定理求即可； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，，则，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）过D作交延长线于E，如图： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $