13.1 三角形的概念 _同步练.分层反思作业单_ 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形概念，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，融合精准复盘与素养落地，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形定义、三边关系、等腰三角形分类|以概念辨析（如三角形按边分类）和基础计算（第三边取值范围）为主，根治易错点| |能力提升|含参数边长计算、中线分周长问题、不等关系证明|结合考试高频陷阱，强化分类讨论（如等腰三角形腰底讨论）和逻辑推理| |拓展探究|正整数三角形计数、木条组合构成三角形|对接期末压轴，培养枚举能力与空间观念，体现数学思维的严谨性|

13.1 三角形的概念 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景：□自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态：□完全独立 □少量翻书 □略有卡点 一、自习前置速忆（30秒唤醒，杜绝盲目刷题） 1. 三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2. 三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3. 分类：按角分锐角/直角/钝角三角形；按边分不等边/等腰（含等边）三角形。 4. 本节课学生最大陷阱（必考易错）： ① 判断能否构成三角形时，只验证一组两边之和，漏掉"较短两边之和>第三边"； ② 求第三边取值范围时，忘了写成不等式 |a-b|<c<a+b； ③ 等腰三角形边长题不给定腰底时，不讨论两种情况并检验三边关系。 二、基础随堂自检（当堂清零·概念防坑） 1. 三角形共有________条边、________个内角。 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．4，6，8 D．5，6，12 3. 等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长为________。 【自我卡点标记】做题不确定、模棱两可的题号：________ 三、分层自主作业训练（自习/居家分层落实） ★基础巩固（全员必做·根治基础易错） 1. 如图，△ABC中，顶点A所对的边是________，边AB所对的角是________。 2. 下列说法正确的是（ ） A．由三条线段首尾相接组成的图形叫三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．三角形按边可分为等腰三角形和不等边三角形 D．直角三角形一定不是等腰三角形 　 3. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长x的取值范围是________。 4. 下列各组线段能构成三角形的有________（填序号）。 ① 5cm，6cm，10cm； ② 2cm，3cm，6cm； ③ 4cm，4cm，8cm； ④ 3cm，4cm，5cm。 　 5. 等腰三角形的两边长分别为5和11，求它的周长。 　 　 6. 一个等腰三角形的周长为20，一边长为6，求其他两边的长。 　 　 ★★能力提升（自主选做·考试高频陷阱） 1. 已知三角形三边长为2、a、5，且a为整数，求a可能的取值。 　 　 2. 等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。 　 　 　 3. 如图，点D在△ABC内，求证：AB+AC>BD+DC。 　 　 　 4. 若△ABC的三边a、b、c满足 (a-b)²+|b-c|=0，试判断△ABC的形状。 　 　 ★★★拓展探究（学优挑战·期末压轴基础） 1. 已知正整数a、b、c为△ABC的三边，且a<b<c，若b=7，求满足条件的三角形个数。 　 　 　 2. 现有长度分别为2、3、4、5、6的五根木条，从中任取三根，能组成多少个不同的三角形？ 　 　 　 四、自习后置精准复盘（2-3分钟真反思、拒绝形式主义） 1. 本节课错题、卡点题号：________________________ 2. 真实错因（精准勾选，禁止写"粗心"） □三边关系不会用 □等腰忘讨论 □取值范围写错 □判断漏检验 □概念混淆 3. 核心订正（只写关键一步，不抄整题） ________________________________________________ ________________________________________________ 4. 本节课秒杀技巧：判三边能否成三角形，只比"较短两边之和>最大边"一步到位。 5. 遗留不懂的问题（次日课堂解决）：________________ 五、简单学以致用（可选·素养落地） 木工师傅要钉一个三角形木框，已截好两根木条长40cm和70cm，第三根木条的长度应满足________cm<第三根<________cm才合适。 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语：________________________________ ————教师专用（学生打印务必删除整块）———— 参考答案与规范步骤 基础随堂自检 1. 3条边，3个内角 2. C（A:1+2=3不行；B:2+3<6不行；D:5+6<12不行；C:4+6>8） 3. 22（腰只能为9：4+4<9不构成，故三边9,9,4，周长22） ★基础巩固 1. 边BC；∠C 2. C（A需"不在同一直线"；B等边是特殊等腰；D等腰直角存在） 3. 4<x<10（7-3<x<7+3） 4. ①④（①5+6>10√；②2+3<6×；③4+4=8×；④3+4>5√） 5. 解：若腰=5，则5+5>11不成立；故腰=11，三边11,11,5，周长=27 6. 解：①若腰=6，则三边6,6,8，周长20√；②若底=6，则腰=(20-6)/2=7，三边7,7,6√。答：另两边为6和8，或7和7 ★★能力提升 1. 解：5-2<a<5+2，即3<a<7，a为整数，a=4,5,6 2. 解：设腰2x，底y，中线分腰为x,x。①x+2x=12且x+y=15→x=4,y=11，腰8底11（8+8>11√）；②x+2x=15且x+y=12→x=5,y=7，腰10底7（√）。答：腰8底11或腰10底7 3. 证明：延长BD交AC于E。在△ABE中 AB+AE>BE=BD+DE；在△DEC中 DE+EC>DC。两式相加 AB+AE+DE+EC>BD+DE+DC，即AB+AC>BD+DC 4. 解：(a-b)²≥0，|b-c|≥0，和为0故a=b且b=c，即a=b=c，△ABC为等边三角形 ★★★拓展探究 1. 解：a<b<c，b=7，则a为1~6，c>7且a+7>c。对a=1,c>8且c<8→无解；a=2,c=8,9→2个；a=3,c=8,9→2个；a=4,c=8,9,10→3个；a=5,c=8,9,10,11→4个；a=6,c=8,9,10,11,12→5个。合计2+2+3+4+5=16个 2. 解：枚举组合并检验：(2,3,4)√(2,4,5)√(2,5,6)√(3,4,5)√(3,4,6)√(3,5,6)√(4,5,6)√；(2,3,5)×(2,3,6)×(2,4,6)×(3,4,6√已计)。共7个不同三角形 五、简单学以致用 解：设第三根长 x cm，由三角形三边关系 |70-40| < x < 70+40，即 30 < x < 110。 答：第三根木条长度应满足 30 cm < 第三根 < 110 cm。 本节学生高频易错预警（教师专属学情） 1. 三边关系判构成时，学生常只验一组而漏掉"较短两边之和"，需固定口诀"两短边加最大边"； 2. 等腰三角形边长题必须分情况讨论并回代检验三边关系，学生常漏写检验这一步； 3. 已知两边求第三边范围，学生常把"差<x<和"写成"差≤x≤和"，端点取不到； 4. 拓展计数类题目学生枚举不全，建议用列表法按最短边分类避免重复遗漏。 学科网（北京）股份有限公司 $