13.1三角形的概念（分层作业，15大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以“三角形的概念”为核心，采用A、B、C三级分层设计，从基础概念巩固到综合应用再到思维拔高，形成完整知识进阶路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|三角形定义、表示方法、分类、周长计算等基础知识点|以选择、填空题为主，结合具体图形辨析，巩固抽象能力与几何直观，如三角形定义的图形识别、按边/角分类| |B组|三角形概念综合应用，如共角三角形计数、直角三角形识别|综合解答题，融合多个基础知识点，提升推理意识，如复杂图形中三角形的识别与关系判断| |C组|复杂图形计数、规律探究、等腰三角形存在性问题|探究性题型，涉及图形规律、动态问题，发展空间观念与创新意识，如三角形个数规律探究、动点形成等腰三角形问题|

分层作业 13.1 三角形的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的定义 题型02 三角形周长与边长的计算 题型03 三角形的表示方法 题型04 判断三角形的对边对角及邻边邻角 题型05 判断三角形的形状 题型06 三角形的分类 题型07 根据部分信息判断三角形类型 题型08 按边对三角形进行分类 题型09 等腰三角形周长的计算 B组 能力进阶 题型 三角形的概念·综合应用 C组 思维拔高 题型01 图形中三角形的识别与表示 题型02 复杂图形中三角形的计数 题型03 三角形的个数问题 题型04 画三角形与组合计数问题 题型05 三角形个数的规律探究 题型06 等腰三角形的存在性问题 三角形的定义题型01 1．（25-26八年级·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 4．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 三角形周长与边长的计算题型02 1．（25-26八年级·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为______ 3．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为___________． 4．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 5．已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 三角形的表示方法题型03 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 2．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 判断三角形的对边对角及邻边邻角题型04 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 4．如图，∠A的对边是_________；∠B的对边是_______；边AC的对角是___________；边BD的对角是____________. 5．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______ 判断三角形的形状题型05 1．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是（  ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2 倍，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 5．（25-26七年级·新疆·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，，． (1)在坐标系中标出 A，B，C； (2)判断的形状，并求面积． 三角形的分类题型06 1．只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形． A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 2．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．三角形按边可以分为：______三角形和不等边三角形；按角分为：______三角形、_____三角形和钝角三角形． 4．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 5．在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 根据部分信息判断三角形类型题型07 1．（24-25八年级上·浙江温州·联考）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 3．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 5．定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 按边对三角形进行分类题型08 1．一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（　　） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．下列说法正确的是（   ） ①等腰三角形是等边三角形   ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形   ③等腰三角形至少有两条边相等 A．①②③ B．②③ C．①③ D．③ 3．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 4．在等腰中，若，则__________． 5．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 等腰三角形周长的计算题型09 1．（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________． 4．已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长． 5．已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 三角形的概念·综合应用题型 1．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则图中以为公共角的“共角三角形”有(　)对. A．6 B．9 C．12 D．15 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是________三角形． 3． 如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 6．如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 图形中三角形的识别与表示题型01 1．图中有____ 个三角形，用符号表示这些三角形_______________________________________ ． 2．如图，共有______个三角形；在中，所对的角是______；在中，所对的边是______；以为边的三角形有______． 3．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 4．[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 5．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 复杂图形中三角形的计数题型02 1．（25-26八年级上·海南·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 4．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 5．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 三角形的个数问题题型03 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有_____________个三角形． 4．（25-26八年级上·吉林松原·月考）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 5．观察图形，回答问题． (1)图中共有多少个三角形？ (2)写出其中以为边的三角形． (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以为公共角的“共角三角形”有哪些？ 画三角形与组合计数问题题型04 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 2．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 3．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有_____个三角形出现． 4．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 三角形个数的规律探究题型05 1．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 2．观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 4．（25-26七年级·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 5．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 等腰三角形的存在性问题题型06 1．线段，作等腰三角形，那么（    ） A．能作出的三角形只有1个 B．能作出的三角形只有2个 C．能作出的三角形只有3个 D．不能作出 2．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（  ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 3．如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 4．在直角坐标系中有和两点，在坐标轴上有一点C， 使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有_________个 5．（25-26七年级上·江苏南京·月考）数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成． (1)当为等腰三角形时， 若，则______； 若，则______； 若，则______（用含的式子表示）． (2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.1 三角形的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的定义 题型02 三角形周长与边长的计算 题型03 三角形的表示方法 题型04 判断三角形的对边对角及邻边邻角 题型05 判断三角形的形状 题型06 三角形的分类 题型07 根据部分信息判断三角形类型 题型08 按边对三角形进行分类 题型09 等腰三角形周长的计算 B组 能力进阶 题型 三角形的概念·综合应用 C组 思维拔高 题型01 图形中三角形的识别与表示 题型02 复杂图形中三角形的计数 题型03 三角形的个数问题 题型04 画三角形与组合计数问题 题型05 三角形个数的规律探究 题型06 等腰三角形的存在性问题 三角形的定义题型01 1．（25-26八年级·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 4．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 三角形周长与边长的计算题型02 1．（25-26八年级·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的周长，一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识．根据题意列方程即可求解． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，，周长为， ， 解得， 则三边长分别为，且满足，三边能构成三角形. 故答案为：． 3．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为___________． 【答案】16cm． 【分析】根据比例设三角形的三边分别为2k、3k、4k，然后根据周长为36列出方程求解即可． 【详解】设三角形的三边分别为2k、3k、4k， 根据题意得，2k+3k+4k=36， 解得k=4， 所以，最大的边长为4×4=16cm． 故答案为16cm． 【点睛】本题考查了三角形，利用“设k法”表示出三边求解更简便． 4．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长___________，___________，___________． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 5．已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 三角形的表示方法题型03 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：以为角的三角形是， 故答案为：． 判断三角形的对边对角及邻边邻角题型04 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 4．如图，∠A的对边是_________；∠B的对边是_______；边AC的对角是___________；边BD的对角是____________. 【答案】 OC； OD； ∠AOC； ∠BOD. 【分析】根据组成三角形的线段叫做三角形的边可得∠A、∠B的对边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角可得边AC、BD所对的角． 【详解】∵∠A、∠B分别在△AOC和△BOD中， ∴∠A、∠B所对的边分别是OC，OD ∵边AC、边BD分别在△AOC和△BOD中， ∴边AC的对角是∠AOC；边BD的对角是∠BOD. 故答案是：OC，OD，∠AOC， ∠BOD. 【点睛】考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 5．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______ 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 判断三角形的形状题型05 1．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是（  ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和是180°，求得第三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状． 【详解】第三个角的度数=180°-32°-74°=74°， 所以，该三角形是等腰三角形. 故选B. 【点睛】此题考查了三角形的内角和公式以及三角形的分类． 2．一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答． 【详解】解：∵最小的角是，， ∴最大的角小于， ∴这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2 倍，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】因为三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.如果三角形的这一个外角等于与它相邻内角的2倍,且等于与它不相邻一个内角的2倍.可以算出：这个相邻的内角等于60度,另一个不相邻内角等于60度.则：第三个角只能是60度.所以此三角形为等边三角形. 【详解】解：因为，三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍， 所以，这个相邻的内角等于：（度），外角是：120度； 因为，外角等于与它不相邻的一个内角的2倍， 所以，另一个不相邻内角等于度.则：第三个角只能是60度. 所以,此三角形为等边三角形. 故选D 【点睛】本题考查了三角形等边三角形的判定，熟练掌握三角形外角和内角性质是解题的关键. 4．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是___________，原来这张纸片的形状是___________三角形，也是___________三角形． 【答案】 67 锐角 等腰 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类．三角形的内角和是，因此用减另外两个角的度数之和即可求出撕去的这个角是多少；然后根据三角形分类的标准填空，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解： ， 三角形三个角都小于，所以原来这张纸片的形状是锐角三角形； ，所以原来这张纸片的形状也是等腰三角形． 答：撕去的这个角是；原来这张纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形． 故答案为：67，锐角，等腰． 5．（25-26七年级·新疆·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，，． (1)在坐标系中标出 A，B，C； (2)判断的形状，并求面积． 【答案】(1) 解：如图所示， (2)直角三角形； 【详解】（1）略； （2）由坐标易知： 平行于轴，平行于轴，即为． 为直角三角形． ． 三角形的分类题型06 1．只看三角形的一个角，（    ）判断出它是什么三角形． A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能 【答案】C 【分析】本题考查判断三角形的性质，根据三角形的一个角的大小，判断是否能确定三角形的类型，若该角为直角或钝角，则可确定；若为锐角，则无法确定． 【详解】当三角形的一个角是直角或钝角时，该三角形分别为直角三角形或钝角三角形，此时可以判断． 若该角是锐角，则剩余两角之和为钝角，可能构成锐角、直角或钝角三角形，无法确定． 因此，只看一个角不一定能判断出三角形的形状， 故选C． 2．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的分类判断即可． 【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确； （2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； （3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误； （4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 故选：A． 【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答． 3．三角形按边可以分为：______三角形和不等边三角形；按角分为：______三角形、_____三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 4．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 5．在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 【答案】(1)解：满足“有两条边相等，三个内角均为锐角”的三角形即可， 如图：中，，都为锐角． (2)满足“有两条边相等，有一个内角为直角”的三角形即可， 如图：中，，． (3)满足“有两条边相等，有一个内角为钝角”的三角形即可， 如图：中，，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 根据部分信息判断三角形类型题型07 1．（24-25八年级上·浙江温州·联考）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 3．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据露出的角的类型，逐一判断三角形类型，仅露出一个锐角时无法确定其余两角，不能判断三角形类型． 【详解】解：A、露出两锐角，第三角必为锐角，是锐角三角形； B、露出直角，是直角三角形； C、仅露一锐角，无法确定其余两角，不能判断类型； D、露出钝角，是钝角三角形． 故选：C． 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 5．定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查新定义、两点之间，线段最短、三角形形状的判定， ①如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点，得到，，根据“两点之间，线段最短”得，即可得出结论； ②根据题意得出点在长方形内（含边界），分情况讨论即可， 理解和掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴； 当点、重合时，， 综上所述，，故命题①是真命题； ∵，， ∴点在长方形内（含边界）， 当点与点或点重合时，； 当点与点或点重合时，三角形不存在； 当点在长方形内或边上时（顶点除外），； 综上所述，若，，则不可能是锐角，故命题②是真命题． 故选：A． 按边对三角形进行分类题型08 1．一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（　　） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形，根据至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形，即可判断． 【详解】解：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） ①等腰三角形是等边三角形   ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形   ③等腰三角形至少有两条边相等 A．①②③ B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查三角形分类与等腰、等边三角形的定义，掌握基础概念即可逐个判断得出结论． 【详解】解：∵ 等腰三角形只有两条边相等时不是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，∴ ①说法错误． ∵ 三角形按边分类可分为三边都不等的不等边三角形，和至少两边相等的等腰三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形，不能单独分类，∴ ②说法错误． ∵ 等腰三角形的定义为至少有两条边相等的三角形，∴ ③说法正确． 因此只有③正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 4．在等腰中，若，则__________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】在等腰中，为钝角， 是等腰的顶角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 5．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴a=b=c， ∴ 是等边三角形． 【点睛】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键． 等腰三角形周长的计算题型09 1．（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________． 【答案】8或7 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，先得出，再结合等腰三角形的周长进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵以a，b为边长的等腰三角形， ∴周长是或， 故答案为：8或7 4．已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长． 【答案】22 【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长． 【详解】当4为腰，9为底时， ∵4+4＜9， ∴不能构成三角形； 当腰为9时， ∵9+9＞4， ∴能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：9+9+4＝22． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论. 5．已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】16或17 【分析】利用绝对值与平方的非负性求得、的值，再根据等腰三角形的性质讨论可能的边长组合，最后计算周长． 【详解】解：由题意，得解得 ①当腰长为5时， 所以能构成三角形，周长为； ②腰长为6时， 所以能构成三角形，周长为． 故该等腰三角形的周长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性、二元一次方程组的解法以及等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题关键是根据非负性求出的、值，再分情况讨论等腰三角形的腰长并验证三边关系． 三角形的概念·综合应用题型 1．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则图中以为公共角的“共角三角形”有(　)对. A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了新定义问题，难度较中等，关键要做到不重不漏． 本题先判断出含有的三角形共有4个，即可求解． 【详解】解：含有的三角形共有4个，即； 因此共有6对，分别为①；②；③；④即；⑤；⑥即； 故选：A ． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）在中，的补角是，则是________三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 3． 如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果． 【详解】 C点所有的情况如图所示： 故选C. 有4个点. 故选C. 【点睛】本题考查了学生阅读图象的能力，解决本题关键突破口是找准与 AB平行的两条直线． 4．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 5．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据直线、射线、线段和角的定义画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短，可知点为的交点时的值最小，即可求解； （）由三角形的面积公式可得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线、射线、线段、即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 【答案】(1)4个 (2) 由（1） 知是直角三角形， ， ； (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）略 （3）解：，， ， ， ． 图形中三角形的识别与表示题型01 1．图中有____ 个三角形，用符号表示这些三角形_______________________________________ ． 【答案】 5 ，，，， 【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．由三角形的概念，结合图形可知，图中以 为一个顶点的三角形有、、，不以为顶点的三角形有、，所以共有5个三角形． 【详解】图中有5个三角形，用符号表示这些三角形，，，，． 2．如图，共有______个三角形；在中，所对的角是______；在中，所对的边是______；以为边的三角形有______． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 3．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 【答案】 3 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． 根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可． 【详解】解：以为中线的三角形是；以为角平分线的三角形是；以为高线的钝角三角形有、、共3个， 故答案为：；；． 4．[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)以点C为顶点的三角形是， (2)以为角的三角形是，， (3)以为边的三角形是，， (4)图中的直角三角形是，；等腰三角形是， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行求解即可； （3）根据三角形的相关定义进行求解即可； （4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形是，； （2）解：以为角的三角形是，，； （3）解：以为边的三角形是，，； （4）解：图中的直角三角形是，；等腰三角形是，． 5．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 复杂图形中三角形的计数题型02 1．（25-26八年级上·海南·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的定义．解题关键在于准确识别图中由三条线段首尾顺次连接所构成的封闭图形．按照一定的顺序（例如从小到大或从左到右等）去找出图中所有符合三角形定义的图形，然后统计其数量即可． 【详解】解：图中的三角形有、、，共个， 故选：C． 2．如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，    图中有共8个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 4．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 5．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1) 图中有6个三角形：，，，，，． (2) 锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）略 （2）略 三角形的个数问题题型03 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 2．如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有_____________个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·吉林松原·月考）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 5．观察图形，回答问题． (1)图中共有多少个三角形？ (2)写出其中以为边的三角形． (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以为公共角的“共角三角形”有哪些？ 【答案】(1)5 (2)       (3)与    与   与 【分析】（1）按从小到大的顺序数出所有三角形，避免重复遗漏； （2）根据边的定义，找出所有以为边的三角形； （3）按定义找出以为公共角的三角形对． 【详解】（1）解：图中有，，，，，共个三角形； （2）解：以为边的三角形有：，，； （3）解：以为公共角的“共角三角形”有：与，与，与． 画三角形与组合计数问题题型04 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 2．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数． 【详解】解：如图示： 设立方体的边长为，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为，面对角线为，体对角线为．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是 、、、、、 中之一， 有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是． 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能是解决问题的关键． 3．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有_____个三角形出现． 【答案】0或3或4或8 ． 【分析】根据条件，画出符合条件的图形，再数三角形的个数即可． 【详解】（1）当四个点有两个点在一直线时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形， 如图，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是：4个， 1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是：4个， 这个图形中三角形的个数是：4+4=8（个）； （2）当三个点在一条直线时，如图，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形； （3）如下图，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形； （4）当四点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形； 故答案为0或3或4或8 【点睛】本题考查排列组合图形的计数．根据条件，画出符合条件的图形是解题关键. 4．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查三角形的个数，熟练掌握三角形的定义，是解题的关键： （1）根据三角形的定义，进行判断即可； （2）根据三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，以为一边的三角形有：，，，共3个， 故答案为：3； （2）如图，以A为顶点的三角形有：，，，，，，共6个； 故答案为：6． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1) 解：所画三角形如图所示， ，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）图略 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 三角形个数的规律探究题型05 1．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 2．观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 ## 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 4．（25-26七年级·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 5．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 等腰三角形的存在性问题题型06 1．线段，作等腰三角形，那么（    ） A．能作出的三角形只有1个 B．能作出的三角形只有2个 C．能作出的三角形只有3个 D．不能作出 【答案】B 【分析】有两种情形：三角形的三边分别为或； 【详解】解：已知线段，， 作等腰三角形， 有两种情形： 三角形的三边分别为或； 故选：B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 2．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（  ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 3．如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 4．在直角坐标系中有和两点，在坐标轴上有一点C， 使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有_________个 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，分别讨论当、和时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【详解】解：如图， 若，则有，，共3个点， 若，则有点，，共3个点， 若，则有、共2个点， ∴以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，这样的C点有8个， 故答案为：8 5．（25-26七年级上·江苏南京·月考）数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成． (1)当为等腰三角形时， 若，则______； 若，则______； 若，则______（用含的式子表示）． (2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数． 【答案】(1)；或； (2)的值有无数个 【分析】（1）根据可得结论； 根据，判断出或，由此可得结论； 判断出可得结论； （2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个，由此即可判断． 本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，翻折变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1），表示的数是， 表示的数是． 故答案为：； 当时，， 为等腰三角形， 或， 点表示的数为或， 或． 故答案为：或； 当时， ∵，， ． 故答案为：； （2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个， 的值有无数个， ， 的值有无数个． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $