专题1.4 空间向量的应用（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理从点线面的向量表示（基点、方向向量、法向量）到平行垂直判定，再到空间角（异面直线角、线面角、二面角）和距离（点到线、点到面）求解的完整知识链，构建层层递进的学习支架。 该资料以“转化与化归”思想为核心，将几何推理转化为代数运算，培养数学思维中的逻辑推理和运算求解能力。通过正方体、直三棱柱等实例的即学即练与典例变式，帮助学生建立空间观念，提升几何直观。课中教师可依托题型解析突破建系、法向量求解等重难点，课后学生通过分层练习巩固知识，查漏补缺，体现数学语言的工具性与简洁性。

专题1.4 空间向量的应用 教学目标 1.学生能够熟练掌握空间向量解决立体几何问题的核心公式与方法，精准运用空间向量证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，规范掌握空间角（异面直线角、线面角、二面角）的向量求解步骤。 2.通过将立体几何的几何推理问题转化为空间向量的代数运算问题，培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，提升学生运算求解、逻辑推理以及几何直观的核心素养，学会用程序化方法解决立体几何复杂问题。 3.让学生体会向量工具的通用性和简洁性，打破传统几何纯推理的思维局限，降低立体几何学习难度，增强学生攻克立体几何难题的自信心，培养严谨的数学思维和科学的解题习惯。 教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标运算，判定并证明空间中线线、线面、面面的平行与垂直位置关系。 掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式及求解流程。 能够根据几何体结构，正确建立空间直角坐标系，精准求出点、向量、平面法向量的坐标。 2.难点 根据不规则空间几何体的结构特征，灵活、合理地建立空间直角坐标系，解决建系困难问题。 准确区分三种空间角的取值范围，规避向量夹角与立体几何空间角的换算错误。 复杂立体几何题型中平面法向量的求解、多向量关系梳理，以及结合题目条件灵活转化几何条件与向量关系。 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的___________.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使___________. 【即学即练】 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 3．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由___________列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练】 1．（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 2．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 知识点03 点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：______________________ 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.______________________ 【即学即练】 1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 2．如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 3．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点04 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ①______________________ ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】 1．在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 3．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 题型01 求平面的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【典例1】在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【变式2】在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 题型02 利用向量研究平行问题 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【典例1】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【变式1】（多选）已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 【变式2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 题型03 利用向量研究垂直问题 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例1】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 【变式1】（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【变式2】如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 题型04 异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【典例1】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【变式1】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型05 线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【典例1】（多选）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角的正弦值为 D．若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【变式1】已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 题型06 二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【典例1】在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 【变式1】如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______；二面角的正弦值为_______． 【变式2】如图，在直四棱柱中，，，，，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的正弦值. 题型07 距离问题 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例1】在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式2】在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 1．正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 8．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 10．在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 1．在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 3．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 7．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量的应用 教学目标 1.学生能够熟练掌握空间向量解决立体几何问题的核心公式与方法，精准运用空间向量证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，规范掌握空间角（异面直线角、线面角、二面角）的向量求解步骤。 2.通过将立体几何的几何推理问题转化为空间向量的代数运算问题，培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，提升学生运算求解、逻辑推理以及几何直观的核心素养，学会用程序化方法解决立体几何复杂问题。 3.让学生体会向量工具的通用性和简洁性，打破传统几何纯推理的思维局限，降低立体几何学习难度，增强学生攻克立体几何难题的自信心，培养严谨的数学思维和科学的解题习惯。 教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标运算，判定并证明空间中线线、线面、面面的平行与垂直位置关系。 掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式及求解流程。 能够根据几何体结构，正确建立空间直角坐标系，精准求出点、向量、平面法向量的坐标。 2.难点 根据不规则空间几何体的结构特征，灵活、合理地建立空间直角坐标系，解决建系困难问题。 准确区分三种空间角的取值范围，规避向量夹角与立体几何空间角的换算错误。 复杂立体几何题型中平面法向量的求解、多向量关系梳理，以及结合题目条件灵活转化几何条件与向量关系。 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 【即学即练】 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 2．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 3．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练】 1．（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 2．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 知识点03 点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练】 1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 2．如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明：，又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 【详解】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）略 3．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 则，设平面的法向量为， 则有，即，取，则，即. 则点到平面的距离. 故选：B. 知识点04 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】 1．在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为点为的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为，可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 2．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 【答案】D 【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，，， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 3．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以， 取中点，连接， 因为，，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 因为，，所以四边形为正方形， 故，⊥， 所以为等腰直角三角形， 故，，即⊥， 又，平面， 故⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面； (2) 【详解】（2）因为平面，平面， 所以，， 由（1）得，， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以，解得，或（舍去），负值也舍去， 故平面的法向量为， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 题型01 求平面的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【典例1】在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【变式2】在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 题型02 利用向量研究平行问题 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【典例1】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 【变式1】（多选）已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【详解】对于A选项，在正方体中建立空间直角坐标系，则，，，，所以，， 所以与不共线，所以与不平行，故A错误； 对于B选项，，，所以，， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可求得， 所以，所以与不垂直， 所以不平行于平面，故C错误；    对于D选项，过点作，与相交于点，则四点共面， 又分别是、的中点，所以点为上靠近点的四等分点，所以，所以，所以， 又， 所以，故D正确.    故选：BD 【变式2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 题型03 利用向量研究垂直问题 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例1】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接，，因为分别为的中点，所以且， 同理且，在正方体中，四边形为平行四边形， 所以且，所以，且， 故四边形为平行四边形． 【变式1】（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 【变式2】如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1) 因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. (2) 由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 题型04 异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【典例1】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 【变式1】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，，， 设三棱柱棱长均为1，因，则， 又因，， 所以， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 法二：不妨设底面边长与侧棱长均为1，则易得， 同法一可证：，由空间斯坦纳定理夹角公式： 所以． 故选：B． 【变式2】如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 题型05 线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【典例1】（多选）把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与平面所成角的正弦值为 D．若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】CD 【详解】连接，由题意得，， 因为是直二面角，且平面平面, 所以平面，因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 不妨设正方形边长为2，则， 则， 因为为中点，则，即， 因为为中点，则，即， 对于A，， 则， 因为， 则， 解得，则，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，易得平面的法向量为，与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，因为点到点的距离都是， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 【变式1】已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 故选：A. 【变式2】如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A．    题型06 二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【典例1】在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是______． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，即． 易知平面，故平面的一个法向量为， 则． 由图形可知二面角为钝二面角， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：． 【变式1】如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______；二面角的正弦值为_______． 【答案】 /0.8 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 【变式2】如图，在直四棱柱中，，，，，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由，平面，平面， 可知平面. (2)证明：连接.易得，，故，故， 又底面，在底面内， 所以，而，平面，，故平面. 又平面，故. 而， 又底面，在底面内， 所以，故， 于是， 故 而，平面，， 故平面. （3）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 故，，，，，故， 由（2）平面的一个法向量为 设平面的法向量为， 即 取，则 记平面与平面所成的角为， 则 故，故平面与平面所成角的正弦值为. 题型07 距离问题 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例1】在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 【变式1】如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为，，， 所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）存在，由（1）知，平面且， 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设， 则． 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设点到平面的距离为， 则，解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 【变式2】在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 1．正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将用坐标表示，再计算出面的法向量，最后根据平面与直线所成角的正弦值公式计算出结果 【详解】设正方体的边长为2，并以为z轴的正方向，以为x轴的正方向, 以为y轴的正方向，则， 因此，，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，即，设直线与平面所成角为， 则.    2．在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 3．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】   因为，，，所以， 解得，所以， 因此，外接圆圆心位于中点. 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 4．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 5．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 6．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 7．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 8．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 9．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，设平面的法向量为，建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件求出和平面的一个法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，略. 10．在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） (2)存在，正弦值最大值为 【详解】（1）（i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 1．在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 2．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 3．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 4．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 5．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 6．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 7．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 8．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 10．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为是的中点，所以． 又，所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以． 因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． (2) 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，故， 所以点到平面的距离为， 解得，即平面的法向量． 设平面的法向量为，由， 得， 令，得，所以，即平面的法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $