1.4 空间向量的应用【重点•题型】精讲-2026-2027学年高二上学期数学重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦空间向量的应用这一核心知识点，系统梳理直线的方向向量与平面的法向量概念，构建用向量方法判定空间平行、垂直关系，求解异面直线角、线面角、二面角及点面距、线面距、面面距的知识体系，形成从基础概念到综合应用的递进学习支架。 该资料以新课标核心素养为导向，通过知识点诠释细化概念理解，8类重难点题型覆盖选择、填空、解答题，如用待定系数法求法向量培养推理能力，向量坐标运算解决空间角问题发展模型观念，助力学生用数学眼光观察空间形式，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

专题1.4 空间向量的应用 【知识点一、直线的方向向量与平面的法向量】 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使___________或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的___________．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【知识点二、用向量方法判定空间中的平行关系】 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【知识点三、用向量方法判定空间中的垂直关系】 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即___________． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识点四、用向量方法求空间角】 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则___________． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有______________________． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【知识点五、用向量方法求空间距离】 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离___________，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：___________，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离___________ . 重难点题型1 直线的方向向量与平面的法向量 1．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A．B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 6．（25-26高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为___________． 7．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为______． 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 10．（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 重难点题型2 用空间向量研究平行、垂直问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 2．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 5．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则______． 6．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 7．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 8．如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 重难点题型3 求点到平面的距离 1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 6．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 7．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离__________. 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 重难点题型4 求平行平面之间的距离 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 5．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 重难点题型5 求异面直线之间的夹角 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 6．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 8．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 重难点题型6 求线面角 1．（24-25高二上·四川自贡·阶段检测）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求四面体的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 3．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 4．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 重难点题型7 求二面角 1．（2026·四川绵阳·三模）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 2．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（25-26高二下·广西柳州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（25-26高二下·云南大理·期末）如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求锐二面角的余弦值． 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 4．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二下·贵州铜仁·期中）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 6．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 7．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 9．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为________.    三、解答题 10．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)求的面积． 11．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 14．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 15．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16．（25-26高一下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量的应用 【知识点一、直线的方向向量与平面的法向量】 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【知识点二、用向量方法判定空间中的平行关系】 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【知识点三、用向量方法判定空间中的垂直关系】 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识点四、用向量方法求空间角】 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【知识点五、用向量方法求空间距离】 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 重难点题型1 直线的方向向量与平面的法向量 1．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】空间向量的坐标运算、求平面的法向量 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【难度】0.88 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 6．（25-26高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间点的对称性求解. 【详解】关于平面对称的点横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称点的坐标为. 故答案为: 7．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面的法向量上的投影向量为， 即， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故答案为： 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明、求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 10．（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 重难点题型2 用空间向量研究平行、垂直问题 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 2．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意得，则，再解方程即可． 【详解】，， ，解得，． 故答案为：2． 5．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用向量垂直求参数、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 故答案为： 6．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 7．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 8．如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.94 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故； （2） 故， 因此，故 重难点题型3 求点到平面的距离 1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法、求点面距离 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 6．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】因为， 所以， 设平面EFG的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 7．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】利用空间向量坐标公式计算出、可求出平面法向量，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】，， 设平面的法向量为， 则，取，则,，故， 则. 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】表示出，再根据点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 重难点题型4 求平行平面之间的距离 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 2．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、求点面距离、证明线面垂直 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 3．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 4．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 5．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 重难点题型5 求异面直线之间的夹角 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 3．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 5．（2026高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 在中，，，，所以, 设，则， ，则， 设异面直线与所成角为，， 则， 所以. 6．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 7．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 8．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、空间向量的加减运算 【分析】应用空间向量的数量积公式及运算律计算，再运用夹角公式计算求解. 【详解】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 故答案为：. 重难点题型6 求线面角 1．（24-25高二上·四川自贡·阶段检测）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、线面角的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 1．（25-26高二下·天津·阶段检测）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求四面体的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.6 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）通过建系证明直线的方向向量与平面的法向量平行，得出线面垂直的结论，从而确定夹角正弦值。 （2）利用第一问线面垂直的结论，将线段DF直接作为四面体的高即可求解. （3）分别求出两个平面的法向量，利用法向量数量积公式即可求解. 【详解】（1）由题意得平面，且平面，则且， 因为，所以， 又因为，所以且，即两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，因为是的中点， 则，，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则，即， 则，即与平面的法向量平行，即平面， 所以直线与平面所成的角为，其正弦值为. （2）由上知平面，且平面，所以是四面体的高， 则， 因为平面，且平面，所以， 则，， . （3）易得平面的法向量为， ，设平面的法向量为， 则，令，则，即， 平面与平面所成的角为， 则. 3．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． (2) (3) 【难度】0.47 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）构造面面平行即可证线面平行； （2）结合（1）找出直线与直线所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法即可确定的位置，进而根据等积法即可求出三棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 4．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，则面，过作交于点，连接和． 因为平面，所以． 因为，，平面，，所以平面. 又平面，所以. 则即为平面与平面的夹角，即． 又，所以，所以， 而，则，所以． 所以四边形为平行四边形，故 (2) 【难度】0.42 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、二面角的概念及辨析、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面平行的判定定理，结合面面角的定义得到，进而求得，结合得到四边形为平行四边形，即可证得. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面与平面的法向量，根据题意求出点坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以为轴，为轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设，根据题（1）可得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面法向量为， 则，即，令，则，所以. 又平面与平面所成角的余弦值为， 所以，整理得，解得. 此时，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 重难点题型7 求二面角 1．（2026·四川绵阳·三模）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)以 为坐标原点， 所在平面 为 平面， 建立空间直角坐标系. 由题意可取. 设. 因为 ， 所以.(1) 又. 由 ，得即.(2) 同理， 由 ， 得即.(3) 由(2)，(3)联立可得. 代入(1)，得. 因为 在平面 的上方， 所以. 故. 于是. 因为 为上底面 的中心，所以. 所以. 而平面 的方程为 ， 其一个法向量为 . 因此 ，从而. (2). 【难度】0.45 【知识点】空间位置关系的向量证明、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）由已知条件中既有长度关系，又有线面位置关系与角度关系，故可建立空间直角坐标系求解. 取 为原点, 所在平面 为 平面，先求出点 的坐标，再由向量 的方向判断其与平面 的垂直关系. （2）在第(1)问所建坐标系的基础上，先求平面 与平面 的法向量， 再利用两个法向量所成角的余弦值求得两平面的夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）由点的坐标可知， 平面 上各点的 坐标都为 ， 故平面 的一个法向量可取为. 又 . 故平面 的一个法向量可取为. 于是两平面的夹角 满足. 故平面 与平面 的夹角的余弦值为. 2．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，然后用空间向量计算垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可；（3）利用向量的投影计算即可. 【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 （2）因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量. 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求空间图形上的点的坐标、求平面的法向量、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， （2）直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. （3）平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 4．（25-26高二下·广西柳州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)取的中点，连接，，    因为是的中点，则，， 又因为和都垂直于平面，则 且，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【难度】0.57 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）作辅助线，根据平行性质可得，进而可证线面平行； （2）分析可知平面，平面，，，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为为正三角形，为中点，则. 又因为平面，平面，则， 且，，平面，可知平面， 由题意可知：，，则， 由（1）可知：，平面，所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（25-26高二下·云南大理·期末）如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)连接，，，因为为正三角形且， 为的中点，所以，，又，， 所以，则， 又，，， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面 (2)． 【难度】0.6 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接，，，利用勾股定理逆定理证明，再证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的平面角为，则， 所以锐二面角的余弦值为． 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：过点作，垂足为，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又因为底面，底面，所以，又， 所以平面. (2) 【难度】0.63 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又四边形为平行四边形，则，所以， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 又，则，所以，， 设平面法向量为，则，所以，即， 取，则，所以， 因为底面，所以为平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接． 因为为正方形，所以为中点， 又因为为的中点， 所以为的中位线，． 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【难度】0.7 【知识点】证明线面平行、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）通过正方形对角线互相平分得出的中位线，进而由线面平行的判定即可求解， （2）通过方法一向量法，以为原点空间建系，由两个平面的法向量求夹角即可求解，或通过方法二几何法，作两个平面的交线结合垂直关系直接找到二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）略 （2）方法一 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，，    所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法二 因为平面，平面，平面， 所以，． 因为底面为正方形，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 在平面内过作， 因为，且平面，平面，所以平面平面， 有平面，   平面，平面，所以，，为平面与平面夹角或其补角， 因为底面为正方形，所以，又，，故即为所求的角， 又，所以平面与平面夹角的余弦值为． 2．（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，过作交于，连接， 因为，，且， 所以四边形为矩形，四边形为矩形， 所以，且，，且，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (2) 【难度】0.44 【知识点】面面角的向量求法、面面平行证明线面平行、证明线面平行 【分析】（1）过作连接，证得四边形和为矩形，进而证得平面和平面，得到平面平面，利用面面平行的性质，即可得到平面． （2）根据二面角的定义，得到和，过点作，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以即为平面与平面所成的二面角， 所以，同理可得， 过点作交于点， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，以和过点且平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 可得， 则，即平面与平面所成的二面角的正弦值. 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又底面为正方形，且E为AB中点，所以，且， 则,故四边形为平行四边形，则， 因为平面， 平面，所以平面； (2)． 【难度】0.66 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点，求证，利用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点建系，利用法向量求夹角. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 则， 由图可知，平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 4．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)在三棱台中，， 因为，所以， 因为，所以, 所以， 即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面； 所以平面平面； (2)． 【难度】0.57 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定即可证明； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量，平面的法向量为， 则，令，解得：，， 则平面的法向量 由，解得：，令，， 则平面的法向量 设平面与平面的夹角为， 所以 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.74 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 2．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 3．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 4．（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 二、填空题 5．（25-26高二下·贵州铜仁·期中）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 6．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 7．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 【答案】1 【难度】0.42 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、点到平面距离的向量求法 【分析】利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可. 【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为， ，，， 中边上的高为，则， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此点到平面的距离， 所以点到平面的距离的最大值为． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】判断面面平行、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 9．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为________.    【答案】 【难度】0.4 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求空间向量的数量积 【分析】由空间向量夹角公式求解即可. 【详解】取的中点，连接，易有平面， 故， , , 设， 由题意，则， ， 则， 则， 设与所成的角为， 则有， 故答案为：.    三、解答题 10．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)或． (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据条件可知，，结合向量共线的性质，结合模的公式，即可求解； （2）根据三角形的顶点坐标，利用模长公式求边长以及夹角，最后代入三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 11．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.7 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间中两点间的距离 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【难度】0.52 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.68 【知识点】空间位置关系的向量证明、用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 14．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明面面平行 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 15．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 (2) 【难度】0.61 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 16．（25-26高一下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接， 因为底面，平面， 所以，， 因为，，平面，所以⊥平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； (2) 【难度】0.72 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，平面，从而证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出法向量，利用线面角正弦公式求解 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 平行四边形为正方形，故， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， 设直线与平面所成角大小为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的大小为. 17．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【难度】0.65 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）解法1：根据线面角的定义作出线面角的平面角，计算即可求解；解法2：建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面，且平面，， 则平面． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以直线与平面所成角的正弦值为．   解法2：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形， 所以，，，，则， 因为是的中点，故，所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在四棱锥中， ∵，，∴三角形为等腰直角三角形． 如图取中点，连接．则，且 ∵四边形为正方形，∴， 又∵， ∴．∴． 又∵，且，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． (2) 【难度】0.62 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，可证明平面，从而可证明平面平面. （2）建立恰当空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）略. （2）如图，在平面内过点作，交于点. 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为， ，令，则，，故， 设直线与平面所成的角为，则 ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $