第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学人教A版集合与常用逻辑用语单元提高篇测试卷，19题150分，覆盖集合运算、逻辑用语、充分必要条件等核心知识，梯度合理，通过新定义题型（如“元和集”）考查抽象能力与创新意识，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系、存在量词命题|基础巩固，如第3题辨析量词命题| |多选|3/18|命题否定、集合新运算|能力提升，如第11题定义集合运算| |填空|3/15|命题否定、集合元素特性|细节考查，如第13题集合相等求参数| |解答|5/77|集合综合应用、新定义问题|创新应用，如第19题“元和集”“元差集”，考查数学思维与表达|

第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解不等式得到，结合，利用交集概念求出答案. 【解答过程】，解得， 由题可知，，所以. 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 3．（5分）（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A. 4．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【解答过程】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 5．（5分）（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）设，命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据题意解不等式，根据集合的关系推导即可． 【解答过程】命题，即， 命题，即， 又， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． 6．（5分）（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【解答过程】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B. 7．（5分）（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【解答过程】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A. 8．（5分）（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【解答过程】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C．若集合中只有一个元素，则 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解题思路】对于A，利用全称命题的否定要求易得；对于B，求出集合，即可判断；对于C，由时满足条件排除选项；对于D，利用充要条件的判定方法易得. 【解答过程】对于A，根据全称命题的否定要求，可得命题“，”的否定是“，”，即A错误； 对于B，因且且，可知集合A的真子集个数是，故B正确； 对于C，当时，方程即，只有1个实根为，满足条件，故C错误； 对于D，由，若，则，即“充分性”不成立；又由可得且，即由能推出，故“必要性”成立. 故“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（2026·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【解题思路】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【解答过程】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）若命题，，则是____________. 【答案】， 【解题思路】利用命题否定的规则求解即可. 【解答过程】由题意得，， 则是，. 故答案为：，. 13．（5分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为____________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性列方程求，，由此可求结论. 【解答过程】因为有意义，所以， 因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以，， 所以，又， 所以， 此时 ，，满足要求， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____________． 【答案】15 【解题思路】确定U的元素，根据题意作出韦恩图，确定集合B的元素，即可求得答案. 【解答过程】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)实数的值为或； 当时，；当时，． 【解题思路】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 16．（15分）（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【解题思路】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 17．（15分）（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①，不等式恒成立；②或. 【解题思路】（1）根据给定条件，分离参数，再利用二次函数求出最小值即可. （2）①写出命题的否定；②求出命题，再求出一真一假的范围. 【解答过程】（1）不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数m的取值范围是. （2）①命题使得不等式成立是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题q的否定是：，不等式恒成立. ②不等式，依题意，，不等式成立， 则 m 需大于 2x 在该区间的最小值，当时，，当且仅当时取等号，则， 命题，由（1）知，命题，由命题p，q中有且仅有一个为真命题， 得真假，有且，即；或假真，有且，即， 因此或， 所以实数m的取值范围是或. 18．（17分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【解题思路】（1）利用交集运算和补集运算求解即可； （2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； （3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【解答过程】（1）当时，， ， 所以. 或； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 或 解得：或 综上：， 故实数的取值范围是. 19．（17分）（25-26高一上·上海·开学考试）设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． (1)若的“元和集”为，求：集合； (2)在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； (3)若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 【答案】(1)当时，，当时，； (2)； (3)或或. 【解题思路】（1）分，，，，讨论，结合定义求的“元和集”由条件列方程求，由此可得结论； （2）由定义可得的“元差集”为，由条件求，再求的真子集个数，由定义可求的“元差集”，讨论结合条件列方程求，再求的真子集个数，相加可得结论； （3）由条件可证明，设，可推出的可能值，讨论结合定义求结论. 【解答过程】（1）当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为，由已知有， 当时，集合含有个元素的子集有 ， 不妨设，则， 故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为， 不妨设，的“元和集”为， 则，，，， 相加可得，故， 所以，故， 当时，集合含有个元素的子集为， 集合的“元和集”为，该集合只有个元素，与条件矛盾， 综上， 当时，满足条件的不存在， 当时，， 当时，； （2）当时，，集合的含有个元素的子集有， 不妨设，则集合的“元差集”为， 由已知，， ，故， 此时，其真子集有个， 当时，，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 因为，， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 所以所有满足条件的的真子集个数之和， （3）由已知，，都为自然数， 不妨设，则， 因为为元集，且元素之和为，又， 故， 设，则， 因为的“元和集”中最大元素不超过，故， 所以或或或， 当时，，，与条件矛盾， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 3．（5分）（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 4．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）设，命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 7．（5分）（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C．若集合中只有一个元素，则 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（6分）（2026·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 11．（6分）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）若命题，，则是____________. 13．（5分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为____________. 14．（5分）（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 16．（15分）（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 17．（15分）（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 18．（17分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（17分）（25-26高一上·上海·开学考试）设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． (1)若的“元和集”为，求：集合； (2)在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； (3)若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $